1、第五節第五節 曲線的凸凹性與拐點曲線的凸凹性與拐點 Oxy圖圖3-8定定理理 設設函函數數 f x在在區區間間, a b上上具具有有二二階階導導數數， （1）如如果果在在, a b上上 0fx，則則曲曲線線 yf x在在, a b上上為為凹凹弧弧； （2）如如果果在在, a b上上 0fx，則則曲曲線線 yf x在在, a b上上為為凸凸弧弧. 定義定義 1 設曲線設曲線 yf x在區間在區間, a b內各點都有切內各點都有切線，在切點附近如果曲線弧總位于切線的上方，則稱曲線，在切點附近如果曲線弧總位于切線的上方，則稱曲線線 yf x在在, a b內是凹的或稱為凹弧， 也稱內是凹的或稱為凹弧，

2、 也稱, a b為曲為曲線線 yf x的凹區間；如果曲線弧總位于切線的下方，的凹區間；如果曲線弧總位于切線的下方，則稱曲線則稱曲線 yf x在在, a b內是凸的或稱為凸弧，也稱內是凸的或稱為凸弧，也稱, a b為為 yf x的凸區間的凸區間. 由由定定義義知知，曲曲線線2yx是是凹凹的的，曲曲線線yx是是凸凸的的. 對對于于 fx的的增增減減性性可可有有 fx的的導導數數， 即即 fx來來判判定定，由由此此可可得得出出曲曲線線凹凹凸凸性性的的判判別別法法. 例例 1 判判斷斷曲曲線線422yxx的的凹凹凸凸性性. 解解 3244 ,124yxxyx 顯然，在顯然，在, 上恒有上恒有0y ，故

3、曲線，故曲線422yxx在在, 上是凹的上是凹的 例例 2 判斷曲線判斷曲線lnyx的凹凸性的凹凸性. 解解 1yx ，21yx 當當0,x時時，0y ，故故曲曲線線lnyx在在0,上上凸凸的的. 例例 3 判判斷斷曲曲線線3yx的的凹凹凸凸性性. 解解 23yx ，6yx 當當0 x 時時，0y，故故曲曲線線3yx在在,0上上是是凸凸的的； 當當0 x 時時，0y ，故故曲曲線線3yx在在0,上上是是凹凹的的. 點點0,0為為曲曲線線3yx凹凹凸凸弧弧的的分分界界點點，稱稱為為曲曲線線3yx的的拐拐點點. 解解 ,fD （1）321212yxx ，236241232yxxxx ； （2）令令

4、0y ，得得10 x ，223x ； （3）12,x x將將, 分分成成三三個個區區間間，列列表表討討論論： x ,0 0 20,3 23 2,3 y + 0 - 0 + y 拐拐點點0,1 拐拐點點2 11,3 27 例例 4 判判斷斷曲曲線線43341yxx的的凹凹凸凸性性并并求求出出拐拐點點. 則當則當,0 x 及及2,3時，曲線是凹的；當時，曲線是凹的；當20,3x時，曲線是凸的時，曲線是凸的. （4）拐點是）拐點是0,1和和2 11,3 27. 例例 5 研研究究曲曲線線3yx的的凹凹凸凸性性及及拐拐點點. 解解 ,fD 3213yx ，3229yx x 當當0 x 時，時，y不存在， 它將不存在， 它將, 分成兩個區間分成兩個區間.列表討論：列表討論： x ,0 0 0, y + - y 拐拐點點0,1 則則,0為為曲曲線線的的凹凹區區間間；0,為為凸凸區區間間.曲曲線線的的拐拐點點是是0,0. 作作業業： 習習題題452 1,3 ,3 2,4 ,4 內容小結內容小結曲線凹凸與拐點的判別曲線凹凸與拐點的判別作業作業P 2(2), (4), 3(2), (4), 4, 5Ixx