1、為了用向量來研究空間的線面位置關系，首先我為了用向量來研究空間的線面位置關系，首先我們要用向量來表示直線和平面的們要用向量來表示直線和平面的“方向方向”。那么。那么如何用向量來刻畫直線和平面的如何用向量來刻畫直線和平面的“方向方向”呢？呢？一、直線的方向向量一、直線的方向向量e ABle 直線直線l上的向量上的向量 以及與以及與 共線共線的向量叫做直線的向量叫做直線l的的方向向量方向向量。e e 由于垂直于同一平面的直線是互相平行的由于垂直于同一平面的直線是互相平行的, 所以，可以所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來刻畫平面的用垂直于平面的直線的方向向量來刻畫平面的“方向方向”。二、平面的

2、法向量二、平面的法向量平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向線段所在直線垂的有向線段所在直線垂直于平面直于平面 ，則稱這個向量垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面 ,記作記作 ，如果如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做平面叫做平面 的的法向量法向量. n n n n An l 給定一點給定一點A和一個向量和一個向量 ,那么過點那么過點A,以向量以向量 為法向量的平面是完全確定的為法向量的平面是完全確定的.n n 幾點注意幾點注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一個平面的所有法向量都互相平行一個平面的所有法向量都互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向

3、量是平面的法向量，向量 是是 與平面平行或在平面內，則有與平面平行或在平面內，則有0n m n m 由兩個三元一次方程由兩個三元一次方程組成的方程組的解是組成的方程組的解是不惟一的，為方便起不惟一的，為方便起見，取見，取z=1z=1較合理。較合理。其實平面的法向量不其實平面的法向量不是惟一的。是惟一的。(2,2,1),(4,5,3),ABACABC 例2：已知求平面的 單位法向量。nxyz解：設平面的法向量為（ ， ， ），(2,2,1)0(4,5,3)0,nABnACxyzxyz 則，（ ， ， ）， （ ， ， ）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1( , 1,1),2

4、n3|2n 12 2 (-33 3ABC求平面的單位法向量為， ，）問題：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 設出平面的法向量為),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐標兩個不共線的找出（求出）平面內的111222(3), ,0000 x y za xb yc zn an ba xb yc z 根根據據法法向向量量的的定定義義建建立立關關于于的的方方程程組組個解，即得法向量。解方程組，取其中的一)4(平面的法向平面的法向量不惟一，量不惟一，合理取值即合理取值即可。可。l1l21e 2e 三、平行關系：三、平行關系： l11n 1e 111222(,),(,),lea b

5、 cna b c設直線 的方向向量為平面 的法向量為則121 21 2/00;lena abbc c1n 1 2 2n 面面面面平平行行 三、平行關系：三、平行關系：ABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE，/MNCDE平平面面例例4 4 如圖，已知矩形如圖，已知矩形和矩形和矩形所在平面互相垂直，點所在平面互相垂直，點分別在對角線分別在對角線上，且上，且求證：求證：ABCDEFxyzMNl11e l22e 四、垂直關系：四、垂直關系：11l 1n 1111/enen l1e 111222222,0, /abca b cenabc當時111222( ,),(,),ea b c

6、na b c若則121212/,.lenenaa bb cc1n 1 2 2n 1212110nnnn A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中點，求證：中點，求證：D1F1111DCBAABCD 例例5.5.在正方體在正方體中，中，E、F分別是分別是BB1,1,，平面平面ADE 證明：設正方體棱長為證明：設正方體棱長為1， 建立如圖所示坐標系建立如圖所示坐標系，則則1(1,0,0)(1,1,)2DADE ，11(0, 1)2D F 又又因因為為00n DAn DE 則則由由，得得 所以所以1D FADE 平平面面ADEnxyz 設設平平面面的的一一個個法法向向量量為為 =(=( ， ， )

7、)000102xxyz 12xyz 則則 = =0 0，不不妨妨取取，得得01 -2n 所所以以 = =( ( ， ， ) )/1D F n 所所以以鞏固性訓練11.設設 分別是直線分別是直線l1,l2的方向向量的方向向量,根據下根據下 列條件列條件,判斷判斷l1,l2的位置關系的位置關系.ba,)3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3()2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 (bababa平行平行垂直垂直平行平行鞏固性訓練21.設設 分別是平面分別是平面,的法向量的法向量,根據根據 下列條件下列條件,判斷判斷,的位置關系的位置關系.vu,)4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2()4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuvu垂直垂直平行平行相交相交鞏固性訓練3/llll1、設平面、設平面 的法向量為的法向量為(1,2,-2),平面平面 的法向量為的法向量為(-2,-4,k),若若 ，則，則k= ；若；若 則則 k= 。2、已知、已知 ，且，且