1、實驗二 傅里葉分析及應用、實驗目的（一）掌握使用 Matlab 進行周期信號傅里葉級數展開和頻譜分析1、學會使用 Matlab 分析傅里葉級數展開，深入理解傅里葉級數的物理含義2、學會使用 Matlab 分析周期信號的頻譜特性二）掌握使用 Matlab 求解信號的傅里葉變換并分析傅里葉變換的性質1、學會運用 Matlab 求連續時間信號的傅里葉變換2、學會運用 Matlab 求連續時間信號的頻譜圖3、學會運用 Matlab 分析連續時間信號的傅里葉變換的性質三） 掌握使用 Matlab 完成信號抽樣并驗證抽樣定理1、學會運用 MATLAB 完成信號抽樣以及對抽樣信號的頻譜進行分析2、學會運用

2、MATLAB 改變抽樣時間間隔，觀察抽樣后信號的頻譜變化3、學會運用 MATLAB 對抽樣后的信號進行重建、實驗條件Win7 系統，MATLAB R2015a三、實驗容1、分別利用Matlab符號運算求解法和數值計算法求下圖所示信號的FT,并畫出其頻譜圖（包括幅度譜和相位譜 ）注：圖中時間單位為：毫秒 （ms）。Code:ft = sym( ' (t+2)*(heaviside(t+2)-heavisi de(t+1)+(heaviside(t+1)-heav iside(t-1)+(2-t)*(heaviside( t-1)-heaviside(t-2)');fw = sim

3、plify(fourier(ft);subplot(2, 1, 1);ezplot(abs(fw); gridon ;'amp spectrum'符號運算法Code:dt = 0.01;t = -2: dt: 2;ft(t+2).*(uCT(t+2)-uCT(t+1)+(u CT(t+1)-uCT(t-1)+(2-t).*(uCT (t-1)-uCT(t-2);N = 2000;k = -N: N;w = pi * k / (N*dt);數值運算法2、試用Matlab命令求F(j )10Code：syms t ;fw =sym( '10/(3+i*w)-4/(5+i*w

4、)')；ft = ifourier(fw, t);ezplot(ft), gridon;廣的傅里葉反變換'并繪出其時域信號圖。(20 exp(-3 t) heaviside(t) -8 exp(-5 t) heaviside(t)/( 2 )t兩個單邊指數脈沖的疊加on);title('FWA2')tri =Of-atri FT3、已知門函數自身卷積為三角波信號，試用Matlab命令驗證FT的時域卷積定理Codef = sym( 'heaviside(t+1) - heaviside(t-l)' fw = simplify(fourier(f);

5、F = fw.*fw;subplot(211);ezplot(abs(F), -9, 9), grid4、設有兩個不同頻率的余弦信號，頻率分別為 fi 100Hz， f23800Hz ；現在使用抽樣頻率fs 4000 Hz對這三個信號進行抽樣，使用 MATLAB命令畫出各抽樣信號的波形 和頻譜，并分析其頻率混疊現象>t2 = -0.007:ts:0.007;Code :>fst = cos(2*f1*pi*t2);f1 = 100;% f1 = 100 hz>subplot(223);plot(t1, ft,':'),ts = 1/4000;% sample

6、= 4000hzhold ondt = 0.0001;>stem(t2, fst), gridon ;t1 = -0.007:dt:0.007;>axis(-0.006 0.006 -1.5 1.5)ft = cos(2*f1*pi*t1);>xlabel( 'Time/s'),ylabel('fs(t)')subplot(221);plot(t1,ft),grid on ;>title('Sample sig nal'); holdoffaxis(-0.006 0.006 -1.5 1.5)>xlabel( 

7、9;Time/s'),ylabel('f(t)')fsw=ts*fst*exp(-1i*t2'*w);title('Cos ine curve');>subplot(224); plot(w, abs(fsw),>grid onCos ine curve-3x 10 Cos freq spectrumx 10Sample sig nalTime/sx 10-3x 10 Sample freq spectrumx 10f1 = 100Hz將代碼中f1設為3800即可JCos ine curveSample sig nalx 10x 10

8、 Sample freq spectrumx 10f2 = 3800Hz5、結合抽樣定理，利用 MATLAB編程實現Sa(t)信號經過沖激脈沖抽樣后得到的抽樣信號fs t及其頻譜建議：沖激脈沖的周期分別取 4*pi/3 s、pi s、2*pi/3 s三種情況對比，并利用fst構建Sa(t)信號。(*改動第一行代碼即可)Ts = 4/3;% impulse period = 4*pi/3t2 = -5: Ts: 5;t1 = -5:0.01:5;fst = sin c(t2);ft = si nc(t1);subplot(2, 2, 3)subplot(2, 2, 1)plot(t1, ft,&

9、#39;:'), holdonplot(t1, ft), gridonstem(t2, fst), gridonaxis(-6 6 -0.5 1.2)axis(-6 6 -0.5 1.2)title('Sa(t)')title('Sampli ng sig nal')N = 500; k = -N: N;Fsw = Ts*fst*exp(-1i*t2'*W);Sa(t) freq spectrumSampli ng sig nalspectrum of Sampli ng sig nal沖激脈沖的周期=4*pi/3 sSa(t) freq spe

10、ctrumSa(t)1.510.50Sampli ng sig nal-20 0 20 spectrum of Sampli ng sig nal沖激脈沖的周期=pi sSa(t)1.50.50-2020JiSa(t) freq spectrumSampli ng sig nalspectrum of Sampli ng sig nal沖激脈沖的周期=2*pi/36、已知周期三角信號如下圖所示注：圖中時間單位為：毫秒（ms）:fink（1）試求出該信號的傅里葉級數自己求或參見課本P112或P394，利用Matlab編程 實現其各次諧波如1、3、5、13、49的疊加，并驗證其收斂性；an =-s

11、in2 (?wr)zbn = 01諧波幅度收斂速度：Origi nal wave911 1 11 ¥ . " 1 1 aj y wwwww0.20.2vrVVV01 il0:E E H1 class H-wave3 class H-wave-4-2-213 class H-wav e1 0.8 - -0 111:-4-202449 class H-wav e1 0.8 - -0 :11-4-2024第k階諧波波形The Itimes superposeThe 3times superpose10.80.

12、60.40.20The 13times superpose-4-20240.20The 49times superposei i-4-2024前K次諧波的疊加figure(3);N = 4;a0 = 1/2;for k = 1: Nn = 1: 2: n class(k);an = 4./( n*pi).A2);ft = an *cos(pi* n'*t);ft = ft + a0;subplot(2, 2, k); plot(t, ft);axis(-4, 4, 0, 1)title('The',num2str(nclass(k), superpo

13、se' );end'timesCode：figure(1);t = -2*pi: 0.001: 2*pi;f = abs(sawtooth(0.5*pi*t, 0.5); plot(t, f), gridon ;axis(-4, 4, -1,2)title( 'Origi nal wave');nclass = 1,3, 13, 49;figure(2);N = 4;a0 = 1/2;for k = 1: Nn = n class(k);an = 4./( n*pi).A2);（2）用Matlab分析該周期三角信號的頻譜三角形式或指數形式均可。當周期三角信號的周

14、期（如由2ms 1ms或由2ms 4ms）和寬度（如2ms 1ms）分別變化時，試觀察 分析其頻譜的變化。dt=0.01;t=-4:dt:4;ft=(t>=-1 &t<0).*(t+1)+(t>0&t <=1).*(1-t);%subplot(2,1,1)%plot(t,ft);grid onn=2000：k=-n:n：w=pi*k/( n*dt)：f=dt*ft*exp(-i*t'*w)： dt=0.01;t=-4:dt:4;ft=(t>=-0.5&t<0).*(t+1)+(t>0&t<=0.5).*(1

15、-t);%subplot(2,1,1) %plot(t,ft);grid on n=2000;k=-n:n;w=pi*k/( n*dt); f=dt*ft*exp(-i*t'*w); f=abs(f):周期為2ms周期為1ms四、實驗結論和討論1、凡是等步長離散采樣一定會產生頻率混疊現象。根據采樣定理，當采樣頻率fs.max大于信號中最高頻率fmax的2倍時(fs.max>2fmax)，采樣之后的數字信號才能完整保留原始信號中的信息。第四題中，f=3800hz時，采樣頻率 4000hz 明顯小于 f ，故發生了混疊2、諧波疊加實驗： 可以看出隨著波次的疊加， 波形越來越趨近于原始波形， 正體現了傅里葉級數對原函數的還