1、 函數是描述事物運動變化規律函數是描述事物運動變化規律的數學模型。如果了解了函數的變的數學模型。如果了解了函數的變化規律，那么也就基本把握了相應化規律，那么也就基本把握了相應事物的變化規律。因此研究函數的事物的變化規律。因此研究函數的性質，如函數在什么時候遞增或遞性質，如函數在什么時候遞增或遞減，有沒有最大值或最小值，函數減，有沒有最大值或最小值，函數圖像有什么特征等等，是非常重要圖像有什么特征等等，是非常重要的。的。 引引 入入觀察下列函數圖象觀察下列函數圖象,體會它們的特點（變化規律）體會它們的特點（變化規律）: 探探 究究 在上面的六幅函數圖象中在上面的六幅函數圖象中,有的圖象由左至右是

2、上升的有的圖象由左至右是上升的;有的圖有的圖象是下降的象是下降的;還有的圖象有的部分是下降的還有的圖象有的部分是下降的,有的部分是上升的有的部分是上升的.函函數圖象的數圖象的“上升上升”“”“下降下降”反映了函數的一個基本性質反映了函數的一個基本性質-單調性單調性.如何描述函數圖象的如何描述函數圖象的“上升上升”“”“下降下降”呢呢? 以二次函數以二次函數f(x)=x2 為例為例,列出列出x,y的對應值表的對應值表:x -4-3 -2 -1 01234f(x)=x2 16941014916 對比左圖和上表對比左圖和上表,可以發現什么規律可以發現什么規律?圖象在圖象在y軸左側軸左側“下降下降”,

3、也就是也就是,在區間在區間(-,0上隨著上隨著x的的增大增大,相應的相應的f(x)反而隨著反而隨著減小減小;圖象在圖象在y軸右側軸右側“上升上升”,也就是也就是,在區間在區間(0,+)上隨著上隨著x的的增大增大,相應的相應的f(x)也隨著也隨著增大增大. 規規 律律如何利用函數解析式f(x)=x2描述“隨著x的增大,相應的f(x)反而隨著減小.”“隨著x的增大,相應的f(x)也隨著增大.”?有同學認為可以這樣描述:在區間(0,+)上, x1x2時,有f(x1)f(x2).他并且畫出了如下示意圖,你認為他的說法對嗎? 探探 究究xyO14x1x2 對于二次函數對于二次函數f(x)=x2 ,我們可

4、以這樣來描述我們可以這樣來描述“在區間在區間(0,+) 上隨著上隨著x的增大的增大,相應的相應的f(x)也隨著增大也隨著增大.”:試一試:你能仿照這樣的描述,說明函數f(x)=x2在區間(-,0上是減函數嗎? 規規 律律定 義 設函數f(x)的定義域為I:如果對于定義域I內的某個區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1x2時,都有f(x1)f(x2),那么就說函數f(x)在區間D上是增函數增函數(increasing function).如果對于定義域I內的某個區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1x2時,都有f(x1)f(x2),那么就說函數f(x)在區間D上是減函數減函數(d

5、ecreasing function). 新新 課課 如果函數如果函數y=y=f(xf(x) )在區間在區間D D上是增函數或減函數，那么就說函數上是增函數或減函數，那么就說函數y=y=f(xf(x) )在在 這一區間具有（嚴格的）單調性，區間這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D D叫做函數叫做函數y=y=f(xf(x) )的單調區間。的單調區間。例1 下圖是定義在區間-5,5的函數y=f(x),根據圖象說出函數的單調區間,以及在每一單調區間上,它是增函數還是減函數? 解解:函數y=f(x)的單調區間有-5,-2),-2,1),1,3),3,5.其中y=f(x)在區間-5,-2) ,1,3)上

6、是減函數,在區間-2,1), 3,5上是增函數. 例例 題題 例2:物理學中的波意耳定律p=k/V(k為正常數)告述我們,對于一定量的氣體,當其體積V減小時,壓強p將增大.試用函數的單調性證明之.證明:12341.設(自變量);2.比(函數值);3.判(函數值大小關系);4.結(論) 例例 題題探究：探究：畫出反比例函數畫出反比例函數 的圖象。的圖象。（1）這個函數的定義域）這個函數的定義域I是什么？是什么？（2）它在定義域）它在定義域I上的單調性是怎樣的？證明上的單調性是怎樣的？證明你的結論。你的結論。xy1 通過觀察圖象，先對函數是否具有某種性質做通過觀察圖象，先對函數是否具有某種性質做出

7、猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想的正確出猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想的正確性，是研究函數性質的一種常用方法。性，是研究函數性質的一種常用方法。1.( )(0,).fxx 例 函 數在上 是 增 函 數 還 是減 函 數 ？ 證 明 你 的 結 論設設x1，x2（0，+），且），且x1x2，則則22111)(,1)(xxfxxf 212111)()(xxxfxf 2112xxxx 0), 0(,2121 xxxx01221 xxxx0)()(21 xfxf12()()f xf x.), 0(1)(上上是是減減函函數數在在函函數數 xxf111Ox y1 取取x1=-1，x2=1f（-

8、1）=-1f（1）=1-11f（-1）f（1）1( )(,0).f xx函數在上是減函數嗎？1()(, 0 )(0 ,)fxx 能 說 ：函 數的 單 調 遞 減 區 間 是嗎 ？5、討論函數討論函數f(x)= x +1x在在(0,+) 上的單調性上的單調性. 解：設解：設 0 x1 x2,則則0 x1 x2 x1 - x2 0, )1()1()()(221121xxxxxfxf)11()(2121xxxx)()(211221xxxxxx)11)(2121xxxx當0 x1 x2 1時， 0 x1 x2 1 , 1- 0 211xx211xx)11)(2121xxxx即f ( x1) f (

9、x2 ) f ( x2)(2)當1x1 1， 0 0 f ( x1) f ( x2)所以f(x)在（0，1）上是減函數，在（1，+）上是增函數上是增函數課堂練習課堂練習課本第課本第3232頁頁 練習練習1 1、2 2、3 3、4 4。 練練 習習 課外作業 課本第39頁 A 組第1、2（1）、3題 作作 業業Rx圖象上有一個最低點（圖象上有一個最低點（0,0），即對于），即對于任意的任意的 ，都有，都有).0()(fxf圖象沒有最低點。圖象沒有最低點。畫出下列函數的草圖，并根據圖象解答下列問題畫出下列函數的草圖，并根據圖象解答下列問題： 1 說出說出y=f(x)的單調區間，以及在各單調區間上的

10、的單調區間，以及在各單調區間上的單調性；單調性；2 指出圖象的最高點或最低點，并說明它能體現指出圖象的最高點或最低點，并說明它能體現函數的什么特征？函數的什么特征？ (1) (2) 32)(xxf12)(2xxxfxyooxy2-1 1最大值最大值 一般地，設函數一般地，設函數y=f(x)的定義域為的定義域為I，如果如果存在實數存在實數M滿足：滿足： （1）對于任意的）對于任意的xI，都有都有f(x)M; （2）存在存在x0I，使得使得f(x0) = M那么，稱那么，稱M是函數是函數y=f(x)的的最大值最大值 2最小值最小值 一般地，設函數一般地，設函數y=f(x)的定義域為的定義域為I，如

11、果如果存在實數存在實數M滿足：滿足： （1）對于任意的）對于任意的xI，都有都有f(x)M; （2）存在存在x0I，使得使得f(x0) = M那么，稱那么，稱M是函數是函數y=f(x)的的最小值最小值 2、函數最大（小）值應該是所有函數值中最大（小）的，即對于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M） 注意：注意：1、函數最大（小）值首先應該是某一個函數值，即存在x0I，使得f(x0) = M；例例1：“菊花菊花”煙花是最壯觀的煙花是最壯觀的煙花之一。制造時一般是期望煙花之一。制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂在它達到最高點時爆裂如果煙花距地面的高度如果煙花距地面的高度h m與時間與時間t s

12、之間的關系為之間的關系為 那么煙花沖出后什么時候那么煙花沖出后什么時候是它爆裂的最佳時刻？是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少這時距地面的高度是多少（精確到（精確到1m）？）？187 .149 . 4)(2ttth解：作出函數解：作出函數h(t)= -4.9t2+14.7t+18的圖象的圖象(如右如右圖圖).顯然，函數圖象的頂點就是煙花上升的最高顯然，函數圖象的頂點就是煙花上升的最高點，頂點的橫坐標就是煙花爆裂的最佳時刻，點，頂點的橫坐標就是煙花爆裂的最佳時刻，縱坐標就是這時距地面的高度縱坐標就是這時距地面的高度. 由于二次函數的知識，對于由于二次函數的知識，對于h(t)=-4.9t2+

13、14.7t+18,我們有我們有: 29)9 . 4(47 .1418)9 . 4(45 . 1)9 . 4(27 .142ht 時，函數有最大值當 于是，煙花沖出后于是，煙花沖出后1.5秒是它爆裂的最佳時刻秒是它爆裂的最佳時刻,這這時距地面的高度為時距地面的高度為29 m.例2.求函數 在區間2，6上的最大值和最小值 12xy解：設x1,x2是區間2,6上的任意兩個實數，且x1x2,則) 1)(1()(2) 1)(1()1() 1(21212)()(121212122121xxxxxxxxxxxfxf 由于2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,于是)()(, 0)()(2121xfxfxf

14、xf 即所以，函數 是區間2,6上的減函數.12xy 因此,函數 在區間2,6上的兩個端點上分別取得最大值和最小值，即在點x=2時取最大值，最大值是2，在x=6時取最小值，最小值為0.4 .12xy12xy判斷函數的最大判斷函數的最大( (小小) )值的方法值的方法 1.二次函數:利用二次函數的性質求函數的最大(小)值 （配方法） 2. 利用圖象求函數的最大(小)值 （圖像法）3.利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值 如果函數如果函數y=f(x)在區間在區間a，b上單調遞上單調遞增增，則函數，則函數y=f(x)在在x=a處有處有最小值最小值f(a),在在x=b處有處有最大值最大值f(b) ； 如果函數如果函數y=f(x)在區間在區間a，b上單調遞上單調遞減減，在區，在區間間b，c上單調遞上單調遞增增則函數則函數y=f(x)在在x=b處有處有最小值最小值f(b)； 課堂練習課堂練習1、函數函數f(x)=x2+4ax+