1、平面向量的數量積2.4 平面向量的數量積平面向量的數量積及運算律及運算律平面向量的數量積2.4 平面向量的數量積及運算律平面向量的數量積及運算律問題情境問題情境:sF 一個物體在力一個物體在力F 的作用下產生了位移的作用下產生了位移s，那么力那么力F 所做的功應當怎樣計算？所做的功應當怎樣計算？| s|F|W cos其中力其中力F 和位移和位移s 是向量，是向量， 是是F 與與s 的夾角，而功是數量的夾角，而功是數量. 如果把功如果把功W看成是兩個向量看成是兩個向量F 與與s 的某種的某種運算運算結果結果,那么這個結果那么這個結果是一個數量是一個數量,它不僅與長度有關它不僅與長度有關,還與兩個

2、向量的夾角有關還與兩個向量的夾角有關.顯然顯然,這是一種新的運算這是一種新的運算.平面向量的數量積平面向量的數量積的定義平面向量的數量積的定義（1）兩向量的數量積是一個數量，而不是向量，）兩向量的數量積是一個數量，而不是向量， 符號由夾角決定符號由夾角決定 已知兩個非零向量已知兩個非零向量a 和和b ，它們的夾角為它們的夾角為 ，我們把數量，我們把數量 叫做叫做a 與與b 的數量積（或內積），記作的數量積（或內積），記作a b ，即即 cos|ba cos|baba 規定：零向量與任意向量的數量積為規定：零向量與任意向量的數量積為0，即即 0 0a （2） a b不能寫成不能寫成ab ，ab

3、表示向量的另一種運算表示向量的另一種運算 點號點號“”不能省略不能省略.2.4 平面向量的數量積及運算律平面向量的數量積及運算律平面向量的數量積思考思考1 1：對于兩個非零向量對于兩個非零向量a與與b，設其夾，設其夾角為角為，那么，那么acoscos的幾何意義如何？的幾何意義如何？ab bO OA AB BA A1 1思考思考2 2：對于兩個非零向量對于兩個非零向量a與與b，設其夾角為，設其夾角為，acoscos叫做向量叫做向量a在在b方向上的投影方向上的投影. .那么該投影一定是正數嗎？向量那么該投影一定是正數嗎？向量b在在a方向上的投影是什么？方向上的投影是什么？ 不一定；不一定；bcos

4、.| |a|cos|cos平面向量的數量積思考思考3 3：根據投影的概念，數量積根據投影的概念，數量積ab=a| |bcos的幾何意義如何？的幾何意義如何？ 數量積數量積ab等于等于a的模與的模與b在在a方向上的方向上的投影投影bcos的乘積，或等于的乘積，或等于b的模與的模與a在在b方向上的投影方向上的投影acos的乘積的乘積，平面向量的數量積向量的夾角向量的夾角OABba若若 ，a 與與b 同向同向0 OABba若若 ，a 與與b 反向反向180 OABab 若若 ，a 與與b 垂直，垂直，90 ba 記作記作 兩個非零向量兩個非零向量a 和和b ，作作 ， ，則，則 叫做向量叫做向量a

5、和和b 的夾角的夾角aOA bOB AOB)1800( OABab 2.4 平面向量的數量積及運算律平面向量的數量積及運算律平面向量的數量積例題講解例題講解例例1已知已知|a |=2，|b |=3，a與與b的夾角為的夾角為 ，求，求a b135cos32232.4 平面向量的數量積及運算律平面向量的數量積及運算律135(1)(2) a /b (3)a b(3)當當a b時時, a b =|a | |b |cos900 = 0解解:(1) a b =|a | |b |cos(2) 當當a/ b時時,則則 =00或或1800當當=1800 ，ab = |a |b |cos1800 = -|a |b

6、 | = - 6當當=00 ，ab = |a |b |cos00 = |a |b |= 6平面向量的數量積討論總結性質討論總結性質：2.4 平面向量的數量積及運算律平面向量的數量積及運算律 （1 1）當當a 與與b b 同向時，同向時，a b =| a | | b |，當當a 與與b 反向反向時，時， a b = - | a | | b | 特別地特別地aaaaaa |2或或（4） | a b | | a | | b |（2 2）ab a b=0 ( (判斷兩向量垂直的依據判斷兩向量垂直的依據) ) （3）|cosbaba (用于求兩個向量的夾角）用于求兩個向量的夾角）注意注意2aaa平面向量

7、的數量積數量積的運算律數量積的運算律)()()(bababa（2）交換律）(abba（1）分配律）()(cabacba（3）想一想：向量的數量積滿足結合律嗎？想一想：向量的數量積滿足結合律嗎？2.4 平面向量的數量積及運算律平面向量的數量積及運算律對于非零向量對于非零向量a，b，c，(ab)c有意義嗎？有意義嗎？(ab)c與與a(bc)相等嗎？為什么？相等嗎？為什么？ (ab)ca(bc)平面向量的數量積例題講解例題講解2 2、求證：、求證：2222)(bbaaba22)()(bababa2.4 平面向量的數量積及運算律平面向量的數量積及運算律平面向量的數量積（1）00 a（3）（4）若）若 ，則對于任一非零，則對于任一非零 有有0ab0 ba00 a（2）|baba（5）若）若 ，則，則 至少有一個為至少有一個為0 baba、（6）對于任意向量）對于任意向量 都有都有cba 、）（）（cbacba（7） 是兩個單位向量，則是兩個單位向量，則ba與22ba0（8）若）若 ，則，則0, ,cc