1、數學：2.4.2空間兩點間的距離公式教案（新人教B版必修2）空間兩點間的距離公式【情景導入】（多媒體投影） 三樓屋頂有一蜂窩，住戶報119，消防官兵擬用高壓水槍擊 落蜂巢，但水槍有效射程只有20米，而消防車也只能到達 宅基線距離樓房角A處8米遠的坡坎邊，若屋的長、寬、高 分別為15米、10米、4.2米，蜂巢能被擊落嗎？ 【引導】 師：這是一個很有趣的實際應用題， 同學們你能根據題意畫 出符合條件的示意圖嗎？ 生：閱讀題目，并作出相應的空間圖形。師：好！顯然據題意知蜂巢能否被擊落，實質上就是比較圖 形中消防車所對應的點距離三樓屋頂對應的長方體的一頂點 間的距離與水槍有效射程的大小，這個問題可以通

2、過立體幾 何的知識可以解決，但我們想換一種思維即采用代數的方法， 借助于空間直角坐標系利用這兩點的空間坐標來表示出兩點 的距離，我們就可以解決上面的這個實際應用題。這就是我 們這一節將要學習的：（書寫課題）空間直角坐標系。【新知探究】【引導】師： 距離是幾何中的基本度量， 幾何問題和一些實際問題經 常涉及距離，如建筑設計中常常需要計算空間兩點間的距離， 通過上一節的學習，我們知道建立空間直角坐標系后，空間 中的任一點P與一組有序實數對 （x,y,z）建立了一一對應的 關系，類比平面兩點間的距離公式的推導，你能猜想一下空 間兩點、間的距離公式嗎？ 生：空間兩點、間的距離公式為：（由于有前面學習的

3、基礎學生完全能借助平面上兩點間的距 離公式，考慮到此距離與豎坐標有關，猜想出空間兩點間的 距離公式。）師：很好！猜想是我們探索未知世界的一種重要的思維方法， 但終歸是猜想只有和嚴格的數學邏輯思維的證明，這樣才算 是一個完整的思維過程。下面我們考慮如何根據兩點的坐標 來證明兩點間的距離公式為：【引導】師：為了使同學們更好的理解空間兩點間的距離公式的推導 過程，我們按照由特殊到一般的思維過程先研究比較簡單的 情形。然后再利用類比的方法推廣到一般情況。【師生互動】師：如果兩點P1、P2是三個坐標平面中的其中一個平面上的任意兩點，如何計算這兩點之間的距離？它們適合公 式嗎？生：作圖并分別寫出兩點P1、

4、P2在三個坐標平面中的 坐標，并思考如何求出兩點間的距離。師：巡視指導，并點拔：若兩點P1、P2都在平面XOY中，兩點的坐標的形式是什么？實質上這兩點的距離是否 就是平面上兩點兩點間的距離，利用兩點間的距離公式驗證 它是否符合？師：顯然平面上兩點間的距離公式是空間兩點間距離公式的 特殊情況，如果P(x,y,z)那么它到坐標原點O的距離如何 求解呢？如圖：設點P在XOY平面上的射影是B,則B點的 坐標根據空間中點的坐標的定義是什么？如何在空間立體圖 形中求出OP的長？ 生：觀察圖形通過立體幾何知識分析圖中的線面關系？ 師：引導學生回顧求解空間中兩點間的距離的思想，即將空 間問題最終轉化為平面問題

5、，常常在一些平面圖形中求解， 如在三角形、梯形中。生：回答教師提出的問題，教師及時糾正學生的錯誤，并由 學生口述解題過程，教師板書：據題意知點P在平面XOY上的射影B點的坐標是(x,y,o)， 在平面XOY中，由于PB平面XOY故PBOB因此在直角三角 形OBP中，根據勾股定理：因為，所以，這說明，在空間直角坐標系）0-XYZ中，任意一點P（x,y,z）與原點的距離【師生互動】師：如果的長是定值R,則方程表示何圖形？ 生：思考并與同桌交流。師：巡視指導，并適時點拔：在平面直角坐標系中，方程表示以原點為圓心，半徑為的圓據此類比方程左端的形式 與我們學習的那個知識相似？它表示的幾何意義是什么？在空

6、間中滿足條件的點構成什么圖形？生：回答，此過程中可能會引起學生的爭論，教師要注意正 確的引導。【點撥】師：在平面直角坐標系中，方程表示以原點為圓心，半徑為 的圓，據此，學生不難將此推廣到空間，得出表示以原點為 球心，半徑為的球面類似地不難將平面直角坐標系中的中點公式也可以推廣到空 間直角坐標系中。即如果，則兩點的中點P的坐標為。 師：有了上基礎，我們不難將0P的長度推廣到空間任意兩 點間的距離公式，證明過程如下：（多媒體投影）【點拔】空間兩點、間的距離反映在立體幾何中，實質上是以、作為 長方體的一條體對角線的端點的所在體對角線的長，其中此 長方體的長為，寬為，高為。師：下面我們通過具體例題來說

7、明兩點間距離公式的應用。 (多媒體投影)已知A(x,2,3)、B(5,4,7)，且|AB|=6，求x的值。【引導】師：利用空間兩點間的距離公式，尋找關于x的方程，解方 程即得。生解答并回答解題過程|AB|=6，二即，解得x=1或x=9二x=1或x=9【點撥】 求字母的值，常利用方程的思想，通過解方程或方程組求解。證明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)為頂點的三角形厶ABC是一等腰三角形.解答：由兩點間距離公式得：由于，所以ABC是一等腰三角形(多媒體投影)3.點P在坐標平面xOy內，A點的坐標為(-1,2,4)， 問滿 足條件|PA|=5的點P的軌跡是什么？【引導】師：因點

8、P一方面在坐標平面xOy內，另一方面滿足條件|PA|=5，即點P在球面上，故點P的軌跡是坐標平面xOy與 球面的交線。生：思考并解答（多媒體投影）設點P的坐標為（x, y, z）。點P在坐標平面xOy內，二z=0|PA|=5,即卩=25,點P在以點A為球心，半徑為5的球面上，點P的軌跡是坐標平面xOy與以點A為球心，半徑為5的 球面的交線，即在坐標平面xOy內的圓，且此圓的圓心即為A點在坐標平面xOy上射影（-1,2，0）。點A到坐標平面xOy的距離為4，球面半徑為5,在坐標平面xOy內的圓的半徑為3。點P的軌跡是圓=9，z=0。【點拔】師： 對于空間直角坐標系中的軌跡問題， 可用平面直角坐標

9、 系中的軌跡問題的求解方法類比解決。（遷移應用一）（多媒體投影）1.已知A（2,5,-6），在y軸上求一點B,使得|AB|=7。【引導】師：注意Y軸上點的坐標的特點。 生：B（0,2，0）或B（0,8，0）。（多媒體投影）2.點P在坐標平面xOz內，A點的坐標為（1,3,-2），問滿足條件|PA|=5的點P的軌跡方程。答案：點P的軌跡方程是=16,y=0。新知探究（二）【引導】學習了空間直角坐標系后，我們就可在空間直角坐 標系中研究空間幾何圖形的有關問題。用坐標法解決有關立 體幾何問題時，與其它方法相比，可以避免煩瑣的說理、證 明，因此坐標法在求解有關立體幾何問題中有著較廣泛的應 用，特別是在

10、學習了向量的有關知識后，如將坐標法與向量 方法相結合，那在研究立體幾何問題時將顯得更優越。下面 我們通過具體例題來說明它的應用。（多媒體投影）例2.在四面體P-ABC中，PA PB PC兩兩垂直，設PA=PB=PC=a求點P到平面ABC的距離。【引導】師： 通過前面的學習， 我們可以通過坐標法即用代數的方法 解決幾何問題，同學們回想一下坐標法解題的步驟是什么？ 你能否將在平面上解決問題的方法遷移到空間當中去？ 生：坐標法解題的步驟是：第一步：建立適當的平面直角坐 標系，用坐標和方程表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾 何問題轉化為代數問題； 第二步：通過代數運算，解決代數問題，第三步：把代數運算

11、結果翻譯成幾何結論。 師：同學們解答此題，然后教師用多媒體投影： 解：根據題意，可建立如圖所示的空間直角坐標系P-xyz，則P（0,0，0），A（a,o,o），B（o,a,o），C（o,o,a）.過P作PH平面ABC交平面ABC于H,貝UPH的長即為點P到 平面ABC的距離。PA=PB=PC,H為ABC的外心，又ABC為正 三角形，二H為ABC的重心。由重心的坐標公式有：可得H點的坐標為，二|PH|=。點P到平面ABC的距離為。【點拔】（多媒體投影）師：坐標法求解立體幾何問題時的三個步驟：在立體幾何 圖形中建立空間直角坐標系；依題意確定各相應點的坐 標；通過坐標運算得到答案。遷移應用（二）（多

12、媒體投影）如圖在正方體OABC- D1A1B1C的棱長為a, 求MN的長。學生解答，然后教師投影：【知能總結】（學生總結教師點評） 本節課學習的主要內容有:（多媒體投影）（1） 空間中兩點間的距離公式及其推導。（2） 球面方程（3） 空間中兩點間距離公式的簡單應用：應用坐標法解立體幾何中的有關問題。教學思想與方法：（1） 培養學生類比的方法和養成嚴謹論證的思維習慣。（2） 體會由特殊到一般解決問題的思維方法。作業：P147B組第1題和第3題。附一：板書設計： 課題：空間中兩點間的距離公式 一空間中兩點間的距離公式的推導。1空間中點P到坐標原點的距離。2任意兩點的距離公式。3鞏固練習二空間中兩點

13、間的距離公式在立體幾何中的應用。例題 三小結123作業附二。教學札記：本節課在課堂教學設計中，力求從如下幾個方面使課堂教學 達到最優化：1學生參與課堂教學的整個過程，所有知識的生成和問題 的解決都是在教師的適當引導下，由學生探究完成的。讓學 生成為課堂教學的主人，教師只起導演的作用，摒棄以教師 為中心的課堂教學觀，通過具體的教學過程來看整堂課學生 是不僅全員參與學，而且學生還參與教，把教與學的角色集 于一身。沒有學生積極參與的課堂教學，是談不上開發學生潛能的。而且通過設置 難度適宜的問題和教師的巧妙點拔使學生敢于提出問題、發 表見解，并使學生看問題與見解是否有挑戰性與獨創性。學 生的主動創造是

14、課堂教學中最令人激動的一道風景，而創造 這樣的景觀絕非教師一日之功。如在在推導空間兩點間的距 離公式時，我并不是直接給出公式而是讓學生根據所學的平 面上兩點間的距離公式進行大膽的類比猜想，調動了學生的 學習熱情，使學生經歷一個從易到難，從特殊到一般的過程。 其目的在于讓學生掌握類比的方法和養成嚴謹的思維習慣。 （2）通過將所學知識與生活中有實際聯系的蜂巢能否被擊落 這樣一個有趣的問題的導入，增強了講授的吸引力，因為只 有設好疑，才能促進學生去解疑;惟有激情趣，才能吸引學 生去聽、去想、去思考，這樣極大的調動了學生學習的熱情 和課堂氣氛，使課堂上的人際交往產生了良好的合作氛圍。 激發了學生探究新

15、知的欲望和合作探究的精神，通過現代技 術的使用提高了教學效率和教學效果。1.1.1構成空間幾何體的基本元素教案一、教學目標1、知識與技能目標：掌握空間點、線、面之間的相互關 系以及相互之間的位置關系。2、過程與方法目標：通過讓學生探究點、線、面之間的 相互關系，掌握文字語言、符號語言、圖示語言之間的相互轉化。3、情感、態度與價值目標：通過用集合論的觀點和運動 的觀點討論點、線、面、體之間的相互關系培養學生會從多 角度，多方面觀察和分析問題，體會將理論知識和現實生活 建立聯系的快樂，從而提高學生學習數學的興趣。二、教學重點和難點重點：點、線、面之間的相互關系，以及文字語言、符號語 言、圖示語言之

16、間的相互轉化。難點：從集合的角度理解點、線、面之間的相互關系。三、教學方法和教學手段在上課前將問題用學案的形式發給各組學生，讓學生先在課 下研究探討，在課上以小組為單位就學案中的問題展開討論 并發表自己組的研究結果，并引導同學展開爭論，同時利用 課件給同學一個直觀的展示，然后得出結論。下附學生的學 案四、教學過程教學環節教學內容師生互動設計意圖課題引入讓同學們觀察幾個幾何體，從感性上對幾何體有個初步的認 識，并總結出空間立體幾何研究的幾個基本元素。 學生觀察、討論、總結，教師引導。提高學生的學習興趣新課講解基礎知識能力拓展探索研究一、構成幾何體的基本元素。點、線、面二、從集合的角度解釋點、線、

17、面、體之間的相互關系。 點是元素，直線是點的集合，平面是點的集合，直線是平面 的子集。三、從運動學的角度解釋點、線、面、體之間的相互關系。1、點運動成直線和曲線。2、直線有兩種運動方式：平行移動和繞點轉動。3、平行移動形成平面和曲面。4、繞點轉動形成平面和曲面。5、注意直線的兩種運動方式形成的曲面的區別。6、面運動成體。四、點、線、面、之間的相互位置關系。1、點和線的位置關系。點A2、 點和面的位置關系。3、 直線和直線的位置關系。4、直線和平面的位置關系。5、平面和平面的位置關系。通過對幾何體的觀察、討論由學生自己總結。 引領學生回憶元素、集合的相互關系，討論、歸納點、線、 面之間的相互關系

18、。通過課件演示及學生的討論，得出從運動學的角度發現點、 線、面之間的相互關系。引導學生由生活中的實際例子總結出點、線、面之間的相互 位置關系，讓學生有個感性認識。培養學生的觀察能力。 培養學生將所學知識建立相互聯系的能力。讓學生在觀察中發現點、線、面之間的相互運動規律，為以 后學習幾何體奠定基礎。培養學生將學習聯系實際的習慣，鍛煉學生由感性認識上升 為理性知識的能力。課堂小結1、學習了構成幾何體的基本元素。2、掌握了點、線、面之間的相互關系。3、了解了點、線、面之間的相互的位置關系。由學生總結歸納。培養學生總結、歸納、反思的學習習慣。 課后作業試著畫出點、線、面之間的幾種位置關系 學生課后研究完成。 檢驗學生上課的聽課效果及觀察能力。附：1.1.1構成空間幾何體的基本元素學案（一）、基礎知識1、幾何體：2、長方體：3、長方體的面：4、長方體的棱：5、長方體的頂點：6、構成幾何體的基本元素：7、你能說出構成幾何體的幾個基本元素之間的關系嗎？（二）、能力拓展1、 如果點做連續運動，運動出來的軌跡可能是因此點是立體幾何中的最基