1、專題（一）二面角的求法命題人：羅軍偉 審題人：李世延1. 引言二面角及其平面角的概念是立體幾何最重要的概念之一，在歷年高考中幾乎都要涉及.尤其是在數學新課改的大環境下，要求對二面角求法的掌握變得更加靈活.二面角的概念發展、完善了空間角的概念；而二面角的平面角不但定量描述了兩相交平面的相對位置，同時它也是空間中線線、線面、面面位置關系的一個匯集點.研究二面角的求法，可以進一步培養學生的空間想象能力和邏輯思維能力，為培養學生的創新意識和創新能力提供了一個良好的契機.在求解二面角的問題中，通常首先要定位出二面角的平面角，而這也是學生在解題中感到最為陌生和棘手的問題.特別是若二面角的楞隱而不露其解題的

2、難度又會增大.本文從二面角的概念定義入手，通過分類求解二面角的題型類別，探尋二面角的解題思路，并對二面角求解方法加以總結歸類.1.1 二面角的相關概念OABOABl新教材在二面角中給出的定義如下：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.圖1定義只給出二面角的定性描述，關于二面角的定量刻畫還必須放到二面角的平面角中去研究.教材如下給出了二面角的平面角的概念：二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內作射線，則為二面角的平面角.2. 二面角的求解方法對二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，從而將三維空間中的求角問題轉化為二維空間并可以通過三角形的邊角問題加以解決.定

3、位出二面角為解題的關鍵環節，下面就二面角求解的步驟做初步介紹：一、“找”：找出圖形中二面角，若不能直接找到可以通過作輔助線補全圖形定位二面角的平面角二、“證”：證明所找出的二面角就是該二面角的平面角三、“算”：計算出該平面角由于定位二面角的難度較大，對于求解二面角還有一種思路就是繞開定位二面角這一環節，通過一些等價的結論或公式或用空間向量等方法來直接求出二面角的大小.本文將根據這兩種解題思路對二面角的解題方法做一一介紹.2.1 定位二面角的平面角，求解二面角二面角常見題型中根據所求兩面是否有公共棱可分為兩類：有棱二面角、無棱二面角.對于前者的二面角的定位通常采用找點、連線或平移等手段來定位出二

4、面角的平面角；而對于無棱二面角我們還必須通過構造圖形如延展平面或找公垂面等方法使其有“無棱”而“現棱”再進一步定位二面角的平面角.2.1.1 直接法對于圖形中已有二面角的平面角，只要加以證明認定，然后可直接計算求解.PBADCE圖2例1 如圖2，已知PA面ABC，ABBC,PC的垂直平分線DE交AC于D，交PC于E.PA=AB=1,PB=BC求二面角E-BD-C的大小.2.1.2 定義法根據二面角平面角的定義，其解題步驟一般既是：定棱，找點，連線，解答。即：在二面角棱上選擇恰當的點，過此點作出二面角的平面角，如抓住共底的等腰三角形的性質選擇公共棱的中點連接得到二面角；在兩個平面為共底且對應全等

5、的三角形，可以選擇公共垂足連線得到二面角的平面角等。PBADC圖3例2 在如圖3所示的三棱錐P-ABC中，AB=AC=PB=PC=2,BC=,PA=.求二面角P-BC-A的大小. 2.1.3三垂線（逆）定理法根據三垂線定理及其逆定理，如圖4所POA示在半平面內找一點P，作PO面于O,并從垂足O作棱的垂線OA交棱于A點，連接PA,則PAO就是二面角的平面角. 圖4ADCBM圖5例3 在正方體中，為面中心，求二面角的大小.2.1.4 垂面法如果空間中有與二面角的棱垂直的平面，則該平面與兩個半平面的交線所成的角即為二面角的平面角.上述結論可進一步引申：推論：空間中存在分別與二面角的兩個半平面垂直的平

6、面，則該平面與兩個半平面的交線所成的角即為二面角的平面角.PAC圖6B例4 如圖6，二面角內一點到兩個半平面、的距離分別為、.到棱的距離為,求二面角的大小.ACGEB圖7例5 如圖7,在正三棱柱中,截面側面,若,求平面與平面所成二面角（銳角）的大小. 2.1.5 平移法由空間中平行直線、平行平面的性質，利用中位線平移，平行四邊形平移，AOCBFDE圖8定比分點平移等方法將所求二面角由難度較大的平面角定位轉化為易知易求的平面角中進行求解.例6（本題關鍵在利用平移棱的垂線進行解題）在正三棱柱中,是的中點，,求二面角的大小.ADCBK圖9EFO例7 在棱長為1的正方體中，E是BC的中點，試求面與平面

7、所成二面角的大小.2.1.6 補體法通過補全一個恰當的圖形或延展平面使二面角更加容易定位或凸顯，進而更方面求解，尤其在求解無棱二面角問題中更能現出其突出的優點.ACGMB圖10P例8 如圖10,正三棱柱的各棱長均為1,M是棱CC中點,求截面ABM與底面ABC所成二面角的大小.2.1.7 無棱找棱法PRQ圖11如圖11中只現出兩個局部半平面的一個公共點P，圖中沒有給出二面角的棱.此時,若在二面角的兩個半平面內各存在一條直線且相互平行,則過P分別作這兩條直線的垂線PQ和PR,則QPR就是二面角的平面角.例9如圖12,P-ABCD為正四棱錐，邊長為,求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值.2.2

8、不作平面角，直接求解二面角對于有些定位二面角平面角比較困難的題目，可以繞過定位二面角的平面角這一環節，利用一些等價的公式或結論進行求解可以方面解題. 射影面積法圖13CBAOS設二面角的大小為，面內有一個面積給S的封閉圖形,給圖形在面內的射影面積為,則.例10 求正四面體任意兩個面所成二面角的大小.ADCBE圖14F例11 如圖14,在正方體中,E為CC中點，F在BB上,且BF=BB,求平面AEF在底面ABCD所成二面角的余弦值.專題（二）立體幾何大題中有關距離的求法1、求空間距離中，求點到平面的距離是重點，求兩條異面直線間的距離是難點 2、求點到平面的距離通常有四種方法 (1)直接法，即直接由點作垂線，求垂線段的長 (2)轉移法，轉化成求另一點到該平面的距離 (3)體積法 例題分析：例1、如圖，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中點 求 (1)Q到BD的距離；(2)P到平面BQD的距離 BACDOGH例2、如圖，在棱長為2的正方體中，G是