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文檔簡介

1、 學會學習，學會思考，學會做人高中知識點：點到直線的距離公式的七種推導方法湖南省 黃愛民 趙長春已知點 直線求點P到直線 的距離。（因為特殊直線很容易求距離，這里只討論一般直線）一、 定義法證：根據定義，點P到直線 的距離是點P到直線 的垂線段的長，如圖1，設點P到直線的垂線為 ，垂足為Q，由 可知 的斜率為 的方程：與聯立方程組解得交點 二、 函數法證：點P到直線 上任意一點的距離的最小值就是點P到直線的距離。在上取任意點 用兩點的距離公式有，為了利用條件上式變形一下，配湊系數處理得：當且僅當時取等號所以最小值就是 三、不等式法證：點P到直線 上任意一點Q的距離的最小值就是點P到直線的距離。

2、由柯西不等式：當且僅當時取等號所以最小值就是四、轉化法證：設直線 的傾斜角為 過點P作PM 軸交于M 顯然所以 易得MPQ （圖2）或MPQ（圖3）在兩種情況下都有所以 五、三角形法證：P作PM 軸交于M，過點P作PN 軸交于N（圖4）由解法三知；同理得 在RtMPN中，PQ是斜邊上的高六、參數方程法證：過點作直線 交直線于點Q。(如圖1)由直線參數方程的幾何意義知，將 代入 得整理后得 當 時，我們討論 與 的傾斜角的關系：當 為銳角時 （）有（圖2）當 為鈍角時 （）有（圖3）得到的結果和上述形式相同，將此結果代入得圖五七、向量法證：如圖五，設直線的一個法向量，Q直線上任意一點，則。從而點P到直線的距離為：附：方案一：設點P到直線的垂線段為PQ，垂足為Q，由PQ可知，直線PQ的斜率為（A0），根據點斜式寫出直線PQ的方程，并由與PQ的方程求出點Q的坐標；由此根據兩點距離公式求出PQ，得到點P到直線的距離為d 方案二：設A0，B0，這時與軸、軸都相交，過點P作軸的平行線，交于點；作軸的平行線，交于點，由得.所以，PPSS×由

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