1、高等數(shù)學(xué)下冊(cè)復(fù)習(xí)提綱第八章 多元函數(shù)微分學(xué)本章知識(shí)點(diǎn)(按歷年考試出現(xiàn)次數(shù)從高到低排列):復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（）條件極值-拉格朗日乘數(shù)法（）無條件極值（）曲面切平面、曲線切線（）隱函數(shù)（組）求導(dǎo)（）一階偏導(dǎo)數(shù)、全微分計(jì)算（）方向?qū)?shù)、梯度計(jì)算（）重極限、累次極限計(jì)算（）函數(shù)定義域求法（）1. 多元復(fù)合函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)例 設(shè)其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.解 ，析 1）明確函數(shù)的結(jié)構(gòu)(樹形圖)這里，那么復(fù)合之后是關(guān)于的二元函數(shù).根據(jù)結(jié)構(gòu)圖，可以知道：對(duì)的導(dǎo)數(shù)，有幾條線通到“樹梢”上的，結(jié)果中就應(yīng)該有幾項(xiàng)，而每一項(xiàng)都是一條線上的函數(shù)對(duì)變量的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的乘積.簡(jiǎn)單的說就是，“按線相乘，分線相加”.2）是的簡(jiǎn)寫形

2、式，它們與的結(jié)構(gòu)相同，仍然是的函數(shù).所以對(duì)求導(dǎo)數(shù)為.所以求導(dǎo)過程中要始終理清函數(shù)結(jié)構(gòu)，確保運(yùn)算不重、不漏.3）f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，從而連續(xù)，所以.練 1. 設(shè)其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.2. 設(shè)其中f二階可導(dǎo)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.2. 多元函數(shù)極值例1. 求函數(shù)的極值.解 （1）求駐點(diǎn).由 得兩個(gè)駐點(diǎn) ，（2）求的二階偏導(dǎo)數(shù)，（3）討論駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)在處，有，由極值的充分條件知 不是極值點(diǎn)，不是函數(shù)的極值；在處，有，而，由極值的充分條件知 為極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極大值.析 1）這是二元函數(shù)無條件極值問題.2）解題步驟：第一步是求出駐點(diǎn)-一階偏導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)；第二步求目標(biāo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)；第

3、三步求出駐點(diǎn)的判別式，判斷是否為極值點(diǎn)以及極大極小.2. 將正數(shù)12分成三個(gè)正數(shù)之和 使得為最大.解：令，則解得唯一駐點(diǎn)，故最大值為析 1）題目是為了熟悉條件極值的求法-拉格朗日乘數(shù)法.這里拉格朗日函數(shù)也可寫成. 2）由于目標(biāo)函數(shù)是乘積形式，而其和為常數(shù)，可以利用均值不等式.方法較為簡(jiǎn)單，但沒有拉格朗日乘數(shù)具有一般性.3. 求函數(shù)在圓上的最大值與最小值.解 先求函數(shù)在圓內(nèi)部可能的極值點(diǎn).令解得點(diǎn)，而.再求函數(shù)在圓周上的最值.為此做拉格朗日函數(shù)，解之得，而.比較三值可知，在圓上函數(shù)最大值為，最小值為.析 1）在閉域上求函數(shù)最值只需找出在開區(qū)域和邊界上的可疑點(diǎn)，最后比較函數(shù)值即可.而不需要判斷是否

4、為極值點(diǎn).2）在求方程組的解時(shí)，要注意方程的對(duì)稱性，必要時(shí)也可做換元處理，以簡(jiǎn)化計(jì)算.3）本題在邊界上的最值也可考慮寫出圓周的參數(shù)方程，將問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題.練 1. 求的極值.2. 證明函數(shù)有無窮多個(gè)極大值，但無極小值.3. 在橢球面的第一卦限求一點(diǎn)，使該點(diǎn)的且平面與三坐標(biāo)面圍成的四面體的體積最小.4. 求拋物線與直線之間的距離.3. 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用例1. 求曲面平行于平面的切平面方程.解 令 ，曲面在點(diǎn)處的法向量為，已知平面的法向量為，而切平面與已知平面平行，所以，從而有， （1）又因?yàn)辄c(diǎn)在切面上，應(yīng)滿足曲面方程 （2）(1)、（2）聯(lián)立解得切點(diǎn)為及，所以所求切平面方程為： ，

5、或 .析 1）由于已經(jīng)給出平面的法向量，關(guān)鍵是求出切點(diǎn)，直接利用平面的點(diǎn)法式方程即可.2） 法向量的求法:由曲面方程得 . 如果曲面方程為 ,那么,或 . 對(duì)應(yīng)的法向量就為 或 . 3）注意不要把 寫成 ，它們的分量是對(duì)應(yīng)成比例而不一定相等，否則將得出錯(cuò)誤結(jié)論.4）兩個(gè)平面要獨(dú)立寫出，千萬不要用大括號(hào)聯(lián)立.還有就是萬萬不可把平面方程寫成了直線啊.2. 求曲線，在點(diǎn)處的切線及法平面方程.解 曲線方程為 ，取為自變量，則和看作的函數(shù)，即.那么曲線的切向量.方程組兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，解得 .將點(diǎn)代入，得切向量為.所以曲線在點(diǎn)處的切線為，法平面為.析 1）曲線方程為參數(shù)形式在點(diǎn)處對(duì)應(yīng)參數(shù)為，那么曲線在處的

6、切向量為.由直線的對(duì)稱式（點(diǎn)向式）方程可得切線方程為，法平面方程為.2）若曲線方程是一般式(隱函數(shù)形式)，則，那么曲線在處的切向量為.由于此公式較為復(fù)雜，我們經(jīng)常從三個(gè)變量中選取一個(gè)作為參數(shù)，剩余兩個(gè)看作其函數(shù)例題中的解法就是如此.練 1. 設(shè)曲線 繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到一旋轉(zhuǎn)曲面，求該曲面在點(diǎn)指向外側(cè)的單位法向量.2. 求橢球面上某點(diǎn)處的切平面的方程，使過已知直線.3. 在曲線 上求點(diǎn)，使該點(diǎn)處的切線平行于平面.4. 求曲線在點(diǎn)處的切線方程.4. 隱函數(shù)(組)導(dǎo)數(shù)例1. 設(shè) ，求 ，.解 方程兩端對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得 即 =；方程兩端對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得 即 =.析 當(dāng)然題目也可用公式法求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，那是

7、將看成是三個(gè)自變量，的函數(shù)，即，處于同等地位. 方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，是自變量，是，的函數(shù)，它們的地位是不同的.2. 設(shè) ，求.解 方程組兩端對(duì)求導(dǎo)，得即則 ，.同樣方程組兩端對(duì)求導(dǎo)，得, .析 1) 方程組確定的隱函數(shù)個(gè)數(shù)等于方程的個(gè)數(shù),而每個(gè)函數(shù)自變量的個(gè)數(shù)為“方程組中所有變量個(gè)數(shù)”減“方程的個(gè)數(shù)”. 2) 大家解線性方程組時(shí)可以用代入法或直接使用求解公式.練1. 設(shè)方程確定隱函數(shù)，求和. 2. 設(shè)函數(shù) 由方程確定,求和.3. 設(shè) ,而是由方程所確定的函數(shù),其中都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).求 .4. 設(shè) ，,其中都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).求 ，和.5. 偏導(dǎo)數(shù)及全微分例1. 設(shè)，求 ，.解 ，.析

8、1) 利用一元函數(shù)求導(dǎo)即可.對(duì)其中變量求導(dǎo),其余的自變量都看作常數(shù). 2) 也可利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式求導(dǎo).2. 已知，求 .解 .于是，.析 1) 此類題目“先代后求”,或“先求后代”.對(duì)于確定一點(diǎn)的一般選后一種方法.2) 另外分段函數(shù)在分界點(diǎn)處要用偏導(dǎo)數(shù)定義來求.3. 設(shè)，求解 設(shè) ，則 ，所以 ， ，從而 =練 1. 設(shè)，求.2. 求 在點(diǎn)處的全微分.3. 求 的全微分.4. 證明函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在不連續(xù)，而在可微6. 方向?qū)?shù)級(jí)梯度例 求 在的梯度及沿方向的方向?qū)?shù).解 ,而 故 ,則在處的梯度為 .又,故其方向余弦為,所以 沿方向的方向?qū)?shù)為.析 1) 熟悉方向?qū)?/p>

9、數(shù)和梯度概念及求法. 2) 需要注意的是只有在才可用求方向?qū)?shù).如分段函數(shù)在分界點(diǎn)常用定義求出方向?qū)?shù).練 設(shè)函數(shù)求函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)7. 二重極限及累次極限例1. 討論 的收斂性.解 令其值隨的不同而變化，故極限不存在2. .練 1. 討論二元函數(shù)在點(diǎn)的二重極限及兩個(gè)二次極限.2. 討論函數(shù)在點(diǎn)的連續(xù)性.第九、十章 多元函數(shù)積分學(xué)本章知識(shí)點(diǎn)(按歷年考試出現(xiàn)次數(shù)從高到低排列):利用高斯公式計(jì)算曲面積分（）利用格林公式計(jì)算曲線積分（）先一后二或先二后一計(jì)算三重積分（）交換二重積分的積分次序（）利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分（）利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分（）第一類曲線、第一類曲面積分的計(jì)算（）利用斯托

10、克斯公式計(jì)算第二類曲線積分（）1. 第二類曲面積分及高斯公式例 計(jì)算，其中是拋物面介于平面和之間部分的下側(cè).解 方法一 利用高斯高斯,將曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分. 作輔助面,取上側(cè).記與所圍區(qū)域?yàn)?則.方法二 投影法,將曲面積分轉(zhuǎn)化成二重積分.先計(jì)算.將分成前后兩部分:,取前側(cè);,取后側(cè).再計(jì)算.所以. 方法三 利用兩類曲面積分之間的關(guān)系,將所有坐標(biāo)面上的積分轉(zhuǎn)化為一個(gè)坐標(biāo)面上的積分.因?yàn)榍嫦聜?cè)上任一點(diǎn)處的法向量為，所以，由，知，所以.析 1) 遇到第二類曲面的積分的題目,首選高斯公式. 2) 當(dāng)積分曲面不是封閉曲面時(shí),可添加輔助面使成為封閉的. 3) 若被積函數(shù)在曲面所圍的區(qū)域里有奇點(diǎn)時(shí),不

11、可使用高斯公式.這時(shí),一般用投影法.有些情況也可做輔助面將奇點(diǎn)包圍,然后在多連通區(qū)域上使用高斯公式. 4) 做題步驟:一,畫出積分區(qū)域圖;二,檢查積分曲面是否封閉,被積函數(shù)在封閉曲面所圍區(qū)域上是否具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).否則,做出相應(yīng)的輔助面;三,使用高斯公式,將第二類曲面積分轉(zhuǎn)化成三重積分,看清楚;四,檢查是否忘了減掉輔助面的積分(如果有的話),檢查三重積分的正負(fù)號(hào)與曲面的外內(nèi)測(cè)是否對(duì)應(yīng). 5）注意試用高斯公式后積分區(qū)域的變化.練 1. 計(jì)算 其中為旋轉(zhuǎn)拋物面,圓柱面和坐標(biāo)面在第一象限內(nèi)所圍成的空間區(qū)域的外側(cè).2. 計(jì)算 其中為曲面的上側(cè). 3. 計(jì)算,其中 為任一不經(jīng)過原點(diǎn)的閉曲面外側(cè).2.

12、第二類曲線積分與格林公式例1. 計(jì)算，其中l(wèi) 為由點(diǎn)經(jīng)橢圓 的上半弧到點(diǎn)再沿直線回到A的路徑解 ，由格林公式原式= =.2. 計(jì)算,其中是從原點(diǎn)沿直線到點(diǎn)的一段弧. 若是某個(gè)函數(shù)的全微分, 求出一個(gè)這樣的函數(shù)。解 ,.因?yàn)?,所以存在函數(shù)使得是其全微分.下面用兩種方法求.方法一方法二 故析 1) 這節(jié)的題目類型有:封閉曲線積分直接應(yīng)用格林公式,積分與路徑無關(guān)取新路徑,求積分表達(dá)式的原函數(shù),兩類曲線積分的轉(zhuǎn)化等. 2) 遇到第二類曲線的積分的題目,首選格林公式. 3) 當(dāng)積分曲線不是封閉曲線時(shí),可添加輔助線使成為封閉的. 4) 若被積函數(shù)在曲線所圍的區(qū)域里有奇點(diǎn)時(shí),不可使用格林公式.這時(shí),一般用

13、曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算.有些情況也可做輔助線將奇點(diǎn)包圍,然后在多連通區(qū)域上使用格林公式. 5) 注意檢查積分曲線的封閉性,被積函數(shù)的解析性,二重積分的正負(fù)號(hào),函數(shù)的次序以及其偏導(dǎo)數(shù).練1計(jì)算，其中l(wèi) 是上半圓周 和x軸圍成平面區(qū)域邊界的正向2. 計(jì)算曲線積分其中L為圓上從點(diǎn)經(jīng)第一象限到點(diǎn). 3. 計(jì)算，其中l(wèi) 為正向曲線4. 計(jì)算 ,其中L為曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的曲線段.5. 計(jì)算 ,其中L是從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的曲線段.3. 二重積分的計(jì)算例1. 計(jì)算 ,其中為直線和拋物線所圍成的平面區(qū)域.解 如果將視為X型域，應(yīng)先對(duì)積分，則需將分為兩部分，所以將視為Y型域，先對(duì)積分. 于是 .2. 計(jì)算 .解

14、 因 不能用初等函數(shù)形式表達(dá)出來，故無法計(jì)算.通過交換積分次序來改變這種狀況，所給的二次積分是將視為型區(qū)域，即，可見是由及圍成.現(xiàn)將看作型區(qū)域，于是， .3. 求 ，其中D是由圓和所圍成的平面區(qū)域.解 將積分區(qū)域D表為大圓D1=減去小圓D2=，再利用對(duì)稱性與極坐標(biāo)變換即可。 由對(duì)稱性 。 所以，I =.析 1）選擇積分次序要考慮到兩個(gè)因素：被積函數(shù)和積分區(qū)域，其原則是：要使二個(gè)積分都能積分出來，且使計(jì)算盡量簡(jiǎn)單. 2）通過二重積分改變積分次序，其步驟是：由所給二次積分，寫出的不等式表示，還原為積分區(qū)域，最好畫出的圖形，再將按照選定的次序重新表示為不等式形式，寫出新次序的二次積分.3）極坐標(biāo)的選取一般根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的情況來決定. 如果被積函數(shù)的形式為及積分區(qū)域?yàn)閳A域時(shí)經(jīng)常用極坐標(biāo). 有時(shí)用直角坐標(biāo)函數(shù)積不出也可采用極坐標(biāo).練 1. 計(jì)算，其中為由所圍成的第一象限部分2. 計(jì)算積分，其中是由直線及圍成的區(qū)域.3. 計(jì)算，其中為圓周和及直線所圍成的在第一象限的區(qū)域.4. 計(jì)算 ，其中為圓周所圍成的在區(qū)域.4. 三重積分的計(jì)算例1. 設(shè)實(shí)數(shù)，求由曲面與平面圍成的有界區(qū)域的體積.解 先求曲面與平面的交線在XOY面的投影,聯(lián)立，解得 .所以積分區(qū)域在坐標(biāo)面上的投影為 .那么，2.