1、高等數學輔導第一章               函數張彩芬 重點提示:1.求函數定義域的方法2.判斷函數奇偶性3.基本初等函數一、 函數的一般研究、函數的概念1.         常量與變量²      常量：在某一過程中數值保持不變的量。²      變量：

2、在某一過程中，可以取不同數值的量。²      變域：任何一個變量都有一定的取值范圍，變量所能取的所有的值的集合叫做變域。²      變域的表示方法：1)    用不等式表示，如axb；2)    用集合表示，如x|axb；約定：N(自然數集)、Z(整數集)、Q(有理數集)、R(實數集)、R+(正實數集)。3)    用區間表示。²   

3、0;  四種有限區間：1)    a,b 表示x|axb，叫閉區間；2)    (a,b) 表示x|axb，叫開區間；3)    (a,b) 表示x|axb，叫左開右閉區間；4)    a,b) 表示x|axb，叫左閉右開區間。²      五種無限區間：1)    a,+) 表示x|xa；2)    (a,+) 表示x|xa；3) &#

4、160;  (-,a 表示x|xa；4)    (-,a) 表示x|xa；5)    (-,+) 表示實數集R；注意：讀作無窮大，以正負無窮大為端點的區間必須是開區間。2.         函數概念定義如果x,y是兩個變量，當x在某個范圍D中任意取定一個數值時，按照一定的法則f y總有唯一確定的值與它對應，則稱變量y 為變量x 的函數。記作 yf(x)，xD.其中： x自變量 y因變量或函數值 D函數的定義域 所有的y值組成的集合稱為值域。函數的

5、兩要素 定義域 D 對應法則 f兩函數相等是指：定義域相同 對應法則相同重點提示 求函數定義域的方法：對函數的每一部分，按分母不為偶次根式中被開方式對數式中真數除去正余切函數無意義的點分別解出自變量的取值范圍，然后取其公共部分。例1. 已知函數求它的定義域。解：由x2解得x-2由x解得x由5x解得x2.5函數的定義域為x2.5x-2且x1或表示為（2.5,1）（1,-2）例2. 判斷下列函數是否為同一函數：f(x)sin2xcos2x g(x)1 yax2 sat2解：、是同一函數，定義域和對應法則都相同，表示變量的字母可以不同。不是同一函數，它們的定義域不相同。不是同一函數，它們對應的函數值

6、不相同，即對應法則不同。 3.         <!endif>分段函數分段函數是指在定義域的不同范圍內，對應法則不同的函數，例如:y= 18, 0x60,xZ 180.1(x60),x60,xZ5. 隱函數隱函數是指對應關系無法寫成yf(x)的形式的函數，如x2+y2+xya2、函數性質的研究奇偶性提示 學員應逐步熟悉下面這種敘述定義或定理的方法定義 設函數yf(x)的定義域D關于原點對稱，若對于任意的xD，都有f(-x)f(x)，則稱f(x)為D上的偶函數，如果都有f(-x)-f(x)，則稱f(x)

7、為D上的奇函數，否則稱為非奇非偶函數。 例如：f(x)x2是偶函數 f(x)x3是奇函數偶函數的圖象關于y軸對稱,奇函數的圖象關于原點對稱 重點提示 判斷函數奇偶性的方法： 分解合成法奇±奇奇，偶±偶偶，奇×偶奇，奇×奇偶，偶×偶偶常見函數的奇偶性常數函數為偶函數，冪函數xn當n為奇數時為奇函數，當n為偶數時為偶函數，三角函數中sinx、tgx、ctgx為奇函數，cosx為偶函數例如：y1+x2 (偶) yx-x3 (奇) yxcosx (奇) yxsinx (偶) yx2cosx (偶) y1/x (奇)定義檢驗法以yex+e-x為例 f(-

8、x)e-x+e-(-x)ex+e-xf(x)f(x)ex+e-x為偶函數例3.求證:兩個偶函數的積是偶函數。強調要逐步學會用數學語言來表述文字題的條件和結論。已知：f(x)、g(x)是偶函數，(x)f(x)·g(x)求證：(x)是偶函數證明：f(x)、g(x)是偶函數 f(-x)f(x),g(-x)g(x) (-x)f(-x)·g(-x)f(x)·g(x)(x) (x)是偶函數 單調性 定義 如果函數yf(x)對于某區間(a,b)內的任意x1,x2，當x1x2時總有f(x1)f(x2)，則稱f(x)在區間(a,b)上單調遞增，區間(a,b)稱為f(x)的單調遞增區

9、間；如果總有f(x1)f(x2)，則稱f(x)在區間(a,b)上單調遞減，區間(a,b)稱為f(x)的單調遞減區間。如果上述定義中的可改成，則稱f(x)為嚴格單調遞增，可改成，則稱f(x)為嚴格單調遞減， 在整個定義域內都(嚴格)單調遞增的函數稱為(嚴格)單調遞增函數，(嚴格)單調遞減的函數稱為(嚴格)單調遞減函數。解析法 例如判斷y1-x3的單調性 設x1,x2R，且x1x2 則x2-x10，f(x1)1-x13，f(x2)1-x23, f(x1)-f(x2)(1-x13)-(1-x23)x23-x13(x2-x1)(x12+x1x2+x22)0 y1-x3是單調遞減函數 圖形法單調遞增函數

10、 單調遞減函數      圖形從左下伸向右上 圖形從左上伸向右下  3. 周期性定義設函數yf(x)的定義域為D，如果存在正數T，使得對于每一個xD，都有f(x+T)f(x)，則稱f(x)為周期函數，T為f(x)的周期。周期函數的周期有無窮多個，通常把其中的最小正周期稱為周期 ysinx、ycosx的周期為2ytgx、yctgx的周期為4.有界性定義 設函數yf(x)的定義域為D，如果存在正數M，使得對于每一個xD，都有|f(x)|M，則稱yf(x)為有界函數，M稱為函數f(x)的一個界。否則稱f(x)為無界函數。提示有界函

11、數的性質：有界函數的界不是唯一的。要證明函數yf(x)有界，只需找到一個正數M使得|f(x)|M即可。如果-Mf(x)M，顯然yf(x)有界。如果f(x)M2，則稱M2為f(x)的上界，如果f(x)M1，則稱M1為f(x)的下界。 、函數的四則運算定義 設f(x)和g(x)是定義在D1、D2上的兩個函數，則定義在D=D1D2上的函數(x)f(x)g(x)稱為函數f(x)與g(x)的和。設f(x)和g(x)是定義在D1、D2上的兩個函數，則定義在D=D1D2上的函數(x)f(x)-g(x)稱為函數f(x)與g(x)的差。設f(x)和g(x)是定義在D1、D2上的兩個函數，則定義在D=D

12、1D2上的函數(x)f(x)·g(x)稱為函數f(x)與g(x)的積。設f(x)和g(x)是定義在D1、D2上的兩個函數，則當g(x)0時，定義在D=D1D2上的函數稱為函數f(x)與g(x)的商。、復合函數定義 設函數yf(u)的定義域為Df，而ug(x)的定義域為Dg，且值域Rg包含在Df中，則對于每一個xDg，通過u總有唯一的y與它對應，故y是x的函數，記作yf(x)，這樣的函數稱為復合函數，u稱為中間變量。例如：yesinx2 是由vx2、usinv、yeu復合而成 yln(x2+3x-10) 是由ux2+3x-10、yln u復合而成例4.已知函數 f(x)x2-1， 求f(x+1)、f(f(x)、f(f(3)+2)解：f(x+1)(x+1)2-1x2+2x，f(f(x)f(x2-1)(x2-1)2-1x4-2x2f(f(3)+2)f(32-1+2)f(10)99例5.已知函數 f(x+1)x2-1，求f(x) 解：f(x)=f(x-1+1)=(x-1)2-1= x2-2x 二、初等函數、冪函數 形如 yx (為實數)特性：在(0,+)上總有定義，圖象經過點(