1、量 子 力 學 講 義第一章緒論19世紀末物理學的兩朵烏云本章主要引見黑體輻射如何引發量子力學概念光的波粒二象性玻爾實際的困難微粒的波粒二象性 量子力學黑體輻射的紫外災變相對論麥科爾遜莫雷實驗導致導致1.1光的波粒二象性牛頓的粒子說：能解釋反射，不能解釋衍射經典電磁實際：光是電磁波，反射衍射都包括。 所以牛頓粒子說被否認 波粒二象性同于牛頓說）粒子性新概念（不波動性電磁波維恩公式：瑞金公式：kThech338338ckT能量密度波長維恩瑞利金斯公式普朗克公式：)1.1(118/33dechdkTh0323381118ckTchkThkThkThechech3333818長波：短波：普朗克公式的

2、來歷設一個振子平均能量那么總能量這是能均分定理)()(ndTkdedeTkTk0/0/)(由電動力學可得所以：這是 瑞利金斯公式dcn)/8(32Tkdcd328普朗克假設能量是分立的，一份能量為E，那么積分變求和)1()(/0/0/TkEmTkmEmTkmEeEemEe假設假設 那么這就是普朗克公式。闡明光的能量是分立的hE ) 1()(/Tkheh)(nddechkTh118/33愛因斯坦光量子實際解釋光電效應 是光的頻率 是波長)2.1(kpE1k康普頓散射實驗進一步證明光有粒子性以上三個實驗闡明： 光既有動搖性又有粒子性 即波粒二象性1.2玻爾實際的困難玻爾實際的概括：原子中電子只能處

3、于一系列特定軌道電子在這些軌道上可以穩定運動，不輻射電磁波，但可以忽然從一個軌道躍遷到另一個軌道，同時吸收或放出能量電磁波，頻率為量子化條件：)(121EEh)2 , 1 , 0(nnkqpd做如下概括電子落入核中 光譜延續復雜光譜 光譜強度 有核模型經典模型 量子化條件 玻爾實際導致困難導致1.3 微粒的波粒二象性1924年，法國青年德布羅意逆向思想：光：波 =粒子 ； 反之： 粒子波？大膽提出：實物粒子具有動搖性. 其中這被1927年戴維革末的電子衍射實驗證明2/h)3.1(kpE 運用例子 計算電子波長 由(1.3)式得： 假設電子用v伏電壓加速，那么 將 值代入上式Ehph2/eVh2

4、/eh.025.12AV第二章 波函數與薛定諤方程粒子的動搖性是什么？服從什么規律？粒子的動搖性是什么？服從什么規律？波函數的統計解釋波函數的統計解釋薛定諤方程薛定諤方程定態薛定諤方程定態薛定諤方程幾率流密度幾率流密度一維無限深勢井一維無限深勢井線性諧振子線性諧振子2.1波函數的統計解釋一、微觀粒子用波函數完全描畫由 平面波 或變成： EkP)sin(),(tkrAtr)(),(tkriAetr)1 .2(),(/ )(EtrpiAetr自在粒子，2.1式中 是常量，所以粒子運動形狀可以完全確定。非自在粒子， 不是常量，2.1不適用。 但是依然假設有一個波函數假設一：微觀粒子的形狀用一個波函數

5、 完全描畫pE,pE,),(tr二、波函數的統計解釋波函數的物理意義是什么？波 包將發散。錯集體運動被單粒子衍射否認 見演示圖統計解釋勝利 是 t 時辰粒子出如今 處的幾率 密度 2/),(/trr問題1. 為什么用 而非保證明數問題2. 為什么用 而非沒有太多理由2/),(/tr),(tr2/),(/tr/),(/tr2.2薛定諤方程假設二：描畫微觀粒子的波函數 滿足薛定諤方程: (2.2)定義哈密頓算符 (2.3)那么 (2.4),(),(),(),(222trtrUtrtrimtH),(22trUHM),(),(trHtrit幾點闡明 是拉普拉斯算符，在不同的坐標系中方式不同。式中m是粒

6、子質量，當粒子定下后m也就給出了。22.3定態薛定諤方程有一種特殊情況，勢場不隨時間而變那么(2.2)式為：用分別變量法解方程設將(2.5)代入(2.2)用 同除上式兩端左、右兩邊變量獨立，兩邊必為常數，記為E)()(rUtrU),()(),(),(222trrUtrtrimt)()()(tfrtri)()()()()()()(222tfrrUrtftfirmt)()(tfr)()(/)()(/)(222rUrrtftfimt (2.6) (2.7)由(2.6)得 (2.8)其中E得物理意義是粒子的總能量獨立方程(2.7)被稱為定態薛定諤方程)()(tEftfit)()()()(222rErr

7、UrmEdtitftdf)()(iEttf exp)(給一個詳細問題，就給定一個 ，由(2.7)解出 后由(2.5)得： (2.9)(2.9)是(2.2)的解，它代表粒子具有總能量E，E是一個確定的值，這樣的態稱為定態。(2.7)稱為定態方程的緣由就在此。)(rU)(riEtertr)(),(更普通的，(2.7)寫為：這是一個關于 的本征方程，E稱為 的本征值， 稱為屬于E的本征函數本征值E可表示為對應 的本征方程可寫為： n=1,2,3,.(2.10)ErH)(HHnEEEE321,n321,HnnnEH(2.9)應寫為：通解應為 (2.11)其中Cn由初始條件定(2.11)中的En及 全由

8、(2.10)中解出，這樣 就完全求得了。tiEnnertr)(),(tiEnnnerCtr)(),(n2.4幾率流密度一、幾率流密度由薛定諤方程(2.2)得記 幾率密度 (2.12) (2.13),(222trUimt)(2*2mit2)(*2miJJt二、 的規范化條件單值、有限、延續 做為幾率密度，該當是單值的，有限的。 應單值、有限。由于薛定諤方程中包括二階導，所以 所以： 和 應是延續的。2三、歸一化條件 (2.14)1dv2.5一維無限深勢井一維無限深勢井xxUa ax0 0 )(0 x xU0a解：、區 必 粒子不能跑出井外 UExm22220區：U=0kxBkxAmEkkmEEm

9、cossin222222 2xanAxkAannannsinsin/k.1.2.3.n k0Asinka(a)0ax0B0Bcosk0Asink0000 xnn時）（時連續：單值、有限已滿足該用標準化條件了。歸一：取aananaAdxxAxdxanAdx02220222122cos11sinxanaaAnsin22討論：n=1 n=2 n=3能量 是分立的。 但宏觀上能量是延續的，其實宏觀粒子能量也是分立的，只是間隔太小覺不出來。假設是對稱勢阱 只需：22)(2anmEn2222nn8E )(2sin1a(x(-a)-xx(2nmaaxanaaa得平移）加寬）求能量，由22222n)(22)(

10、k/anmEmEananknn得2.6線性諧振子）（）（令（除2 2E1 m2)()21)()(21)(222222222xExmxmxExxmxxm解：22103(3) 0-222222222e解：）近似為則（）（則(5) 0) 1(2344 )(He 2221-2221）得）代回（將（）（一般情況下應為只能取應有限時當HddHHdde22 02 02) 1(02010) 1(5)(54HaHHaHaH開始不為，從全為時，當），先看第一項代入（可用級數解法。設）是厄米方程，（）就求出代回（解出0202 ) 1)(2() 1)(2( 2-nannaHnnn則令02dd-2aH第二項(6) )1

11、)(2(120001)a-( 2)1)(2()5(202，必系數為多項式為式為aaaa.,0.,.,0 0.,.,0),()(1062075315316420由歸一化條件定奇宇稱全確定，當偶宇稱全確定當波函數應當有對稱性考慮到aaaaaaaaaaaaaaaaxUxU222022221210!221021221)()()(H0eeeaeeaenxnenx當標準化條件有限？)9()(),()()8()21(2/2120126)(2/2eHNHnHnnEEnnnHnnnnn則：記為階厄米多項式，叫項截斷的從第所以）式得由（）式中令在（項截斷：從第有限，必須將為使零點能、參見課件演示經典、量子討論21

12、210E2.7勢壘貫穿這是一個典型的量子力學效應見演示課件經典力學：一個動能為E的球滾向一個小包，球在包頂的勢能為U，假設UE，那么球一定不能越過包出如今右邊。量子力學：即使UE，粒子也能夠出如今勢壘的右邊，好像在勢壘上穿了一個洞，粒子穿洞而過，稱為勢壘貫穿或隧道效應。2.8態迭加原理態迭加原理：假設 是粒子能夠的態，那么 也是能夠的態。緣由是：薛定諤方程是線性方程留意：不是指定態方程n,21nnnC2.9多粒子薛定諤方程假設系統不止一個粒子，而是有N個稱為多粒子系。這時的勢能為 U包括各粒子在外場中的勢能及各粒子之間的相互作用能。那么薛定諤方程為：),(21nrrrU(2.15) )(122

13、2nimtrrUii 是只對 起作用的拉普拉斯算符 是第 個粒子的質量 應是 的函數2inriminrr.1).(1nrr第三章 量子力學中的力學量如何由波函數得到系統力學量？3.1厄米算符一、算符：作用在一個函數上變成另一個函數的符號稱為算符。 通常運用 表示算符，那么其定義可表示為：FF二：厄米算符f(x)f(x)1 5sinxsinx5 xsinxsinx x2 2 cossin 12、相關的算符例另一個函數函數符號、微分算符例xxdxdxxdxddxd定義：假設 滿足下式便叫厄米算符F(3.1) )(*dFdF其中， 都是恣意函數,三、厄米算符的本征值是實數設：本征方程為 厄米，要證明

14、是實數FFdxxxxxx2* ）（）（證：實數必即*22* 0)-( 0 0)-( dxdx四、厄米算符本征函數可以正交歸一111F222F21要證01*22*1dd正交歸一可表示為：(3.2) *mnmnd五、厄米算符本征函數組成完全系 假設一套本征函數 能將任一函數 線性組合而成n,21(3.3) 即nnnC那么這套本征函數就是一個完全系。四、五問題合起來就是常說的一句話：厄米算符本征函數組成正交歸一完全系。3.2表示力學量的算符規定：動量算符： (3.4)坐標算符：iPrr 直角分量xiPxx (3.5)v假設三：v 力學量用厄米算符表示，假設在經典力學中有相應的力學量 ，那么在量子力學

15、中將 換成 得出對應算符。表示力學量的算符組成完全系的本征函數。),(rPFP),(riF3.3用波函數描畫微觀粒子一、丈量情況： 在經典力學中假設系統形狀不變，要測某力學量能得一個確定值，比如說諧振子能量。 在量子力學中那么不同，假設系統處于某態 ，測某力學量F時普通不能得一確定值，每次丈量F可得到各種不同的指 隨著丈量次數的添加，上述數值能夠反復出現，每個值反復的次數不一樣，假設丈量的次數足夠大，那么每個值出現的相對次數是一定的，即每個只需確定的幾率nFFF21,i二、實際計算 波恩假設假設要從 ，采用如下步驟：算符解本征方程用 展開F求),(),(rpFrpFnnnF將nnnCCCC33

16、2211假設四： 將波函數 本征函數 展開： 那么在 態中測符F得到能夠值為 本征值 對應幾率F用nnnnCnFn2nC三、特例： 這時系統處于 的本征態能量本征態的疊加 設系統能量本征態為 ，按態疊加原理 也是能夠的態 按假設四， 是在 態中測得 的幾率nFnnnC2nCnEv 一維無限深勢阱xanansin2tiEaatiEaaxexeCC2122/22211sinsin 的疊加態可知在 中，能量能夠是能量也能夠是221)1(2amE222)2(2amE幾率各為1/2v 線性諧振子v 能夠2/)2(1/)1(212121212321 23titiee能量值)1(21)2(21幾率4143四

17、、Cn的計算dCdCdCCCCnnnnnnn*1*332211 再積分乘(3.6) *dCnn五、平均值公式22n/ 212211nnnFFCFCF測量次數每次測量值總和需求證明(3.7) /*ddFFFCFCCCdFCdCdFCdCdFCddCFddFnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 22*)()()(普通1*d(3.9) F(3.8) 1 *2*這時dFCdnn3.4 常用的力學量算符一、坐標算符xxkzjyixrrx :分量先解0)()x-(x )()(xxxxx本征方程：0(x) x x時0(x) 0(x)xx全是否則時必這是 函數的性質)()(xxxx正交歸一

18、性，分立譜的本征函數滿足3.2)式 對于延續譜的本征函數，有類似的公式，先看 函數 函數的宗量是兩個本征值之差，一切延續譜本征函數都有這性質，即：nmmnd*)()()( xxdxxxxx(3.10) )()()(*drr二、動量算符xxzyxiPxkjiiiP分量：本征方程：dxxpxixipdxx)()(積分得：C是積分常數xipxcx)(1ln/p)( xxipxcexPx沒有限制，是延續的，所以應滿足(3.10)(2)/()(2/)(2/2xxxPPixiPxiPPPPPCxdeCdxeeCdxxxxxxxxC是待定的，為了滿足3.10，可取21 12 2CC取)()()( 21)(

19、*ppxxxxpxipppdxxxexxx且通理)(21)(*/ppderpprpipv延續譜的問題v先看(3.3)式v 普通情況下算符既有延續譜又有分立譜的本征值，應dCCnnn(3.11) dCCnnn 例題：)(xxp展開某波函數用xxippxppxdpeCdpCxxxx/21)(dxdxeCxxxpxipp*/21 由3.11 即 dCddCddCdx*)()10.3(CdC)12. 3( *dC 推行假設四: 態中 出如今 中的幾率為 再看3.8應改為 證：ddC2)13. 3(1dCddCdCd1* dCdCCddCCdddCC2*)(箱歸一化概念： 動量本征函數 ，同時又是一維自

20、在粒子的波函數。由于他滿足自在粒子薛定諤方程：/xxippCempEmx2222 自在粒子波函數在整個區間是無法歸一的：22Cdx假設 那么積分發散，不能歸一。 02C假設 那么 失去物理意義這個費事是由 呵斥的 02C0常數 在數學計算上假設用 ，那么相當于沒有粒子，結果一定算錯。 假設 結果也是錯，為處理這個問題可用箱歸一化方法。將粒子限制在一個箱子中，這時 ， 又可歸一。用這樣的 進展計算，得出的結果一定與自在粒子的不一樣，但是當箱子無窮大時，粒子又變成自在的了，而將結果取 的極限，這極限應和自在粒子的結果一致 2C面積無窮大x00常數常數0L一維粒子限制在長L的區域中：2L2Lx222

21、21LLLCdx取LC1/1)(xiPxeLx同理，三維自在粒子/31)(rpieLr 周期性邊境條件：通常除將粒子限制在一個箱子中，還加一個周期性邊境條件，使動量延續本征值變成分立的：要求波函數以箱子大小為周期2L2L 即分立的LnpnnLpeCeCeLLxnxLipLipLipxxx2.2,1,021)2()2(/22 同理.2, 1, 02.2, 1, 02lLlPmLmPkPjPiPPzlymzlymxn三.角動量算符prLprL)()()()()()()(2222xyzxyzyyzxyzxyzpypxLpypxpxp zp zpyLLLkpypxjxpp zip zpyL 用球坐標，

22、交換關系為：sin1cossincos1sincos1sinsinsinsin1coscos1cossinrryrrryrrrx 留意：iixip那么：)14. 3 (sin1)(sinsin122222iLLz2L本征方程：),(),(22LL得：),(),(lmY-球諧函數lmlmYllYLllL) 1(),() 1(2222即：lml,2,1,0,2,1 ,0zL本征方程/1ln:ziLzzzzzCeiLCdiLdLiLL積分2212121)(.2, 1, 02/212/2/ )2(/imimzimiLzziLiLiLemeLeemLmmLeeezzzz單值）（）（自然周期條件：通常思索

23、到締合勒讓德函數)(cos) 1()(cos),(mllmmimmllmPNePY的本征態也是即則zlmlmimmlimmllmzLYYmemPeiPYL)(cos)(cos)(cos小結：)15. 3(,.1, 0.2 , 1 , 0) 1(2121)()(22/lmYmYLlYllYLePePrrrrrrlmlmzlmlmrPirPi3.5中心力問題通論設粒子在中心力場中運動，勢能U(r)(222rUmH球坐標系中：2222222sin11sinsin11rrrrr本征方程：ErUrrrrrm)(sin11sinsin11222222222同乘以2r那么角度與徑長項分開，可分別變數),()

24、()(),()(sin1),()(sinsin1),()(2),()(22222222YrRErRYrrUYrRYrRYrrRrrmYrR令同除以),()(YrR并將含r項放在等號左邊，角度項移到右邊),(/),(21 )14.3(),(/sin1),(sinsin12)(/)(2222222222YYLmYYYmEUrRrrRrrmr與角度獨立變化，等式兩邊對應為常數2),(/),(211/2222222YYLmErUrRrRrrm由：),(2),(2mYYL利用3.15:lmYYlllmlm.2, 1, 0),(.2 , 1 , 0) 1(22代入得：RmllRErUrrRrrm2) 1(

25、)(2222222同除2r整理得：)16. 3()()(2) 1(1222222ERrRrUmrllrrrm這是中心力問題的徑向方程，凡是中心力問題，可直接用它解出R(r)后,利用：),(),()(lmRYYrR問題就處理了其中，第一項為哪一項關于競相運動的，類似于一維的2222xm 第二項是轉動動能分子是22) 1(Lll分母類似一質點的轉動慣量ILImr222為轉動能，U是勢能，E是總能l稱為角量子數，m稱為磁量子數，由于E只在徑向方程中出現，角度方程中無E無關與Eml,3.6類氫原子一.節集合超幾何方程 10)(awwzbwzz是宗量，a、b是常數，令：nnnzCw00)() 1() 1

26、(1121 nnnnnnnnnnzaCnzCzbznnCznnCwnzCw則各項系數都為0，取n次冪系數為0：遞推關系nnnnnnnnCbnnanCCanCbnnaCnCCnbnCn)(1()()()(1(0)1()1(1111由一個可任取，取10C那么baC 1匯合超幾何函數ZbaFbnbbnanaaZbbbaaaZbbaaZbaWbnbbnanaaCbbbaaaCbaCbbaaCbaCn,211!1121! 3211!21111!1121! 32121221!211111322312二.解類氫原子能量本征方程類氫原子高斯制國際制eeeerzerUsrss2)4()(02直接用徑向方程3.1

27、6)ERRrzerRllrRrrs2222222)1(12用表示折合質量，由于核不是固定的erZe令Rr=u,那么 32) 1(22222Euurzerullus思索漸近行為，能知函數大致外形02)1(20222 rullur時，時發散，舍去解出0,11rYrYrYruRYrrulmllmllmlmll022 uEur時假設E0,是非束縛態，不討論這種情況假設E0,222E令uu2 則 rrereu時發散，舍去4)()(1rFerrurl令代入0) 1(22)222)(22 FlZeFrlrFrs（220/2sear令 50)1()()22()()2(2022222FaZlFlFrrr則與對比

28、，是集合超幾何方程61220aZlalb相當：)2 ,(4)()2 , 22 ,1(),()(0rbaFerrurRrlaZlFbaFrFrl三.規范化條件能級R(r)如今還不能做為波函數，由于)2 ,(rbaF是無窮級數發散假設F有限必讓它某項斷開設從第n次冪之后斷開由知必需：)1(1.2,1,000nlaZnaZlnna即定義總量子數.2 , 11nnln上式n的變化是由都取最小值時、可變，與、nllnn時取最小值定下后，當最小是則01, 0, 0nnnln1nl最大值為)17.3(.2,12/2271.2,1 ,02022220220222220220nnaeZeanaZEEnaZnaZ

29、nlssn)2,()(rbaFrFnl對應波函數nlF稱為締合拉蓋爾多項式)18. 3 (.1, 01.2 , 1 , 0.3 , 2 , 1)(8)2 , 22 ,1(4)(0lmnlnYrRrlaZlFerCrRlmnlnlmnlrlnnl四.討論氫原子，取Z=11.基態：由3.17)(3.18)14822322221000000010010100021CdrreCdCeYeFrCYRaeErrrs歸一：)19. 3(1111, 170/30301003003arreaeaaCnZnaZC代入上式，取將取2.簡并度1 -n02) 12(12.101.10,nlKllmlnlnEEmllnn

30、nlmnnlm簡并度個值共，取使一個，取使一個的簡并度是幾。就說同的的本征態，共有多少不但都是屬于還可不同定下，可有不同值，當定下，當3.最可幾半徑 即什么長度的半徑上最易找到電子？基態電子在空間d體元中幾率為：21002221002/21004410rdrdrrddrreaddrrar是電子出如今rr+dr這個球殼中的幾率那個球殼中電子最易出現。對應半徑就是最可幾半徑。rdddrr求極值：第一玻爾半徑得20/220/2/220220000sarararrearerareerdrddrd玻爾以為電子總在這半徑上，而量子實際以為電子也會出現在別的半徑上。只是 出現的幾率最大。0a4 .氫原子光譜

31、。 當電子從第 能級躍向第 能級時放出能級nnE1022222021 .109737312)20. 3)11()11(2)(1)(米代數計算（由hcaeRnnRcnnhaeEEhhEnnhEnn 這是原子物理中的理德伯常數用電子質量，假設用約化質量，那么110967758米R與實驗值符合很好。(3.20)就是原子物理中由實驗總結出的公式.321帕邢系巴爾末系賴曼系nnn5.電離能02202naeEnsn無窮大時，當電子束縛態能級總是小于0，假設0E那么電子便不再是束縛態，可到達無窮遠，即擺脫核的吸引。電子有束縛態變成自在態所需的能量叫電離能氫原子基態電離能就是基態能量負值電子伏特6.13202

32、1aeEEs經過以上討論，我們看到，量子力學可以解釋原子物理中問題，是更高一級的實際3.7算符對易關系，兩力學量同時有確定值的條件，測不準關系一.對易關系通常兩數相乘滿足交換率對易和稱，即，為簡單用符號：式寫成比如53053355353035533553有些量是不對易的，如矩陣相乘0,BAABBABAAB即一般說矩陣A與B按乘法運算不可對易不對易與對易與，則，定義對易子可見有些：證：比如BABABAABBABAABBAABBAABBAABBApxixppxipxixxixxixppxxpxxxxxxx0000 )( 算符的對易關系反映算符的性質，是量子力學的一個重要內容，為了研討對易關系，先要

33、證明如下公式：)21. 3(,. 5,. 4,. 3,. 20,. 1BCACBACBACBACABCBACABACBAABBAAA右左右證BCACBABACBCABACCBACBACBAACBCABBAACCAB,.5, ) ()(. 1:下面給出根本對易關系，它是建立在xipxxx,根底上的，其它算符的對易關系可由根本對易關系導出)22. 3()(,0,0,fxirfpixpppxxiiijjijiji)()()()(,0,0,0,0,00,3 , 2 , 1,11111112212321321rfxirfprfxirfpixpiixpypixpppppyxxxzxyxxxjixxxyz，

34、即，即即即，即，如：其中ijjiijjjijjiijjiijjiijjijijijijiijjiijjijiixpixxixxixxixxixxixxxxipxxpppppxxxxixxxxipppppp,)()()()(,0,0)()()()()(,22任意，證：)23. 3(0,. 60 ,. 50,. 4,. 3,. 2,. 122LLpLrLLiLLpipLziYLxxxyyxyyxx利用根本對易關系，導出角動量對易關系0,全為分量一致的分量對易子可輪換，與xLzyx (3.22)用的是最根本的證明方法，(3.23)式可用根本對易關系證明022)()()4)(22. 3(,), (,.

35、 4,)4)(21. 3(, )3)(21. 3( ),( ,. 12222222222zyiyziryizrziyprzrpzpryrpyrpzrpyrpzpyrLxipzxzpxpzzzpzzpxzpzzpxpzzLyyzzyzyzxzzxxzxzxy假設將(3.22)(3)式一切輪換全寫出：的三個分量式這三式互是)24. 3()()()(,LiLLLLLLLLLiLLLLLLLiLLLLLLLiLLyzxxzyxyzzyxzxyyxzyx二.兩力學量同時有確定值的條件首先明確什么叫有確定性則，其它沒有確定值，如果時說而不是總測一個值，這對應幾率一系列不同的值能得到時，測的本征值，根據假設四是,01.,.,.222212121nmCCACCCAAAAAcccmnnnnnnnn的本征態于有確定值，系統必須處即，如果有確定值，說此時只能測一個值AAAA有相同的本征態說明即本征態也必須處于同時也有確定值，系統同理，如果BAfffBBmnmm,結論，兩力學量同時有確定值的條件是共同的本征態的共同本征態。，也是一個系數，所以與角度無關，相當于的共同本征態，是由于因為共同的本征態與是都能同時確定與態，例，氫原子，znlmnlzl