1、1微積分基本定理微積分基本定理一、積分上限函數及其導一、積分上限函數及其導數數二、牛頓二、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式2變速直線運動中位置函數與速度函數的聯系變速直線運動中位置函數與速度函數的聯系變速直線運動中路程為變速直線運動中路程為 21)(TTdttv 設設某某物物體體作作直直線線運運動動，已已知知速速度度)(tvv 是是時時間間間間隔隔,21TT上上t的的一一個個連連續續函函數數，且且0)( tv，求求物物體體在在這這段段時時間間內內所所經經過過的的路路程程.另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()(12TsTs 問題的提出問題的提出).()()(1221TsTsdttv

2、TT ).()(tvts 其中其中3 xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)(記記.)()( xadttfx積分上限函數積分上限函數一、積分上限函數及其導數一、積分上限函數及其導數4積分上限函數的性質積分上限函數的性質定理定理2 2（原函數存在定理）（原函數存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上連連續續，則則積積分分上上限限的的函函數數dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一個個原原函函數數. .5定理的重要意義：定理的重要意義：（1）肯定了連續函數的原函數是存在的）肯定了連續函數的原函數是存在的.（2）初步揭示了積分學中的定積分與原函數之）初步揭示了積

3、分學中的定積分與原函數之間的聯系間的聯系.6有關積分上限函數的幾個結論：有關積分上限函數的幾個結論：dxdttfdxxxxa )()()1( dxxf)(cx )(cdttfxa )(xxadttf)( )2()( xuadttfxu)( )( 令令 xuuf)( 復合函數求導復合函數求導)()(xxf 7 )()()()(xaxafxbxbf 證證 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF8例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1c

4、os2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應用洛必達法則型不定式，應用洛必達法則.9例例 2 2 設設)(xf在在),(內連續，且內連續，且0)( xf.證明函數證明函數 xxdttfdtttfxF00)()()(在在), 0( 內為單調增內為單調增加函數加函數.證證 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfx

5、F10 ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 內內為為單單調調增增加加函函數數.11例例 3 3 設設)(xf在在1 , 0上上連連續續，且且1)( xf.證證明明 1)(20 dttfxx在在1 , 0上上只只有有一一個個解解.證證, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上為為單單調調增增加加函函數數., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)

6、(1dttf, 0 所所以以0)( xF即即原原方方程程在在1 , 0上上只只有有一一個個解解.令令12定理定理 3 3（微積分基本公式）（微積分基本公式）如如果果)(xF是是連連續續函函數數)(xf在在區區間間,ba上上的的一一個個原原函函數數，則則)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個個原原函函數數, 已知已知)(xF是是)(xf的一個原函數，的一個原函數，CxxF )()(,bax 證證二、牛頓二、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式13令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF 令令 bx).()()( aFb

7、Fdxxfba 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式CxxF )()(),()()(aFCbbF ),()()( aFbFb 即即14)()()(aFbFdxxfba 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： baxF)( 一一個個連連續續函函數數在在區區間間,ba上上的的定定積積分分等等于于它它的的任任意意一一個個原原函函數數在在區區間間,ba上上的的增增量量.注意注意當當ba 時，時，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定積分問題轉化為求原函數的問題求定積分問題轉化為求原函數的問題.15例例4 4：求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .

8、23 例例5 5：設設 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解：解：解：解： 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上規規定定當當1 x時時，5)( xf, 102152dxxdx原原式式. 6 xyo1216例例6 6：求求 .,max222 dxxx解：解： 由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原原式式.211 xyo2xy xy 122 17例例7 7：求求 解：解：.112dxx 當當0 x時時，x1的的一一個個原原函函數數是是|ln x,dxx 121 12|l

9、n x. 2ln2ln1ln 解：解：面積面積xyo 0sin xdxA 0cos x. 2 18 nnnnnnnn sin)1(sin2sinsin1lim例例9：解：原式解：原式=nninin 1sin1lim 0 sin1dxx 0cos1x 2 )12111lim( nnnn 練練習習：2ln 19例例1010： xxxxxf或或設設0 , 00 ,sin21)( xdttfx0),()()(上上的的表表達達式式在在求求注：注：分段函數求積分上限函數時，必須對上限參量加以討論，分段函數求積分上限函數時，必須對上限參量加以討論， 分段的求出表達式，必要時分區間求積分。分段的求出表達式，必要時分區間求積分。解：解： xdttfx0)()(時時，當當0 )1( x xdt0 0 0 xdttfx0)()(時時，當當 x0 )2( xdt0sint 21 xt0cos21 )cos1(21x 20 xdttfx0)()(時，時，當當 x )3( xdttfdttf )( )( 0 xdtdt 0 sint 21 01 xxxxxf或或設設0 , 00 ,sin21)(綜上，綜上， xxxxx , 10 ),cos1(210 , 0)(213. 3.微積分基本公式微積分基本公式1. 1.積分上限函數