1、【易錯點易錯點 45】求曲線的切線方程。求曲線的切線方程。例例 45、 （2005 高考福建卷）已知函數高考福建卷）已知函數的圖象過點的圖象過點 P（0，2） ，且在點，且在點daxbxxxf23)(M（1，f（1） ）處的切線方程為）處的切線方程為. （）求函數）求函數的解析式；的解析式；076 yx)(xfy 【思維分析思維分析】利用導數的幾何意義解答。利用導數的幾何意義解答。解析：（解析：（）由）由的圖象經過的圖象經過 P P（0 0，2 2） ，知，知 d=2d=2，所以，所以)(xf, 2)(23cxbxxxf由在由在處的切線方程是處的切線方程是，知，知.23)(2cbxxxf)1(

2、, 1(fM076 yx. 6) 1(, 1) 1(, 07) 1(6fff即故所求的解析式是故所求的解析式是. 3, 0, 32. 121, 623cbcbcbcbcb解得即. 233)(23xxxxf【知識點歸類點拔知識點歸類點拔】導數的幾何意義導數的幾何意義: :函數函數 y=f(x)y=f(x)在點在點處的導數，就是曲線處的導數，就是曲線 y=(x)y=(x)在點在點0 x處的切線的斜率由此，可以利用導數求曲線的切線方程具體求法分兩步：處的切線的斜率由此，可以利用導數求曲線的切線方程具體求法分兩步： (1)(1)求出函求出函)(,(00 xfxP數數 y=f(x)y=f(x)在點在點處

3、的導數，即曲線處的導數，即曲線 y=f(x)y=f(x)在點在點處的切線的斜率；處的切線的斜率；(2)(2)在已知切點坐標和在已知切點坐標和0 x)(,(00 xfxP切線斜率的條件下，求得切線方程為切線斜率的條件下，求得切線方程為 特別地，如果曲線特別地，如果曲線 y=f(x)y=f(x)在點在點)( 000 xxxfyy處的切線平行于處的切線平行于 y y 軸，這時導數不存，根據切線定義，可得切線方程為軸，這時導數不存，根據切線定義，可得切線方程為。利用導利用導)(,(00 xfxP0 xx 數的幾何意義作為解題工具，有可能出現在解析幾何綜合試題中，復習時要注意到這一點數的幾何意義作為解題

4、工具，有可能出現在解析幾何綜合試題中，復習時要注意到這一點. .【練練 45】45】 （1 1） （20052005 福建卷）已知函數福建卷）已知函數的圖象在點的圖象在點M M（1 1，f(x)f(x)）處的切線方程為處的切線方程為bxaxxf26)(x x+2y+5=0.+2y+5=0.（）求函數）求函數y=f(x)y=f(x)的解析式；答案：的解析式；答案：362)(2xxxf（2） （2005 高考湖南卷）設湖南卷）設，點，點 P P（ ，0 0）是函數）是函數的圖象的圖象0ttcbxxgaxxxf23)()(與的一個公共點，兩函數的圖象在點的一個公共點，兩函數的圖象在點 P P 處有相

5、同的切線處有相同的切線. .（）用）用 表示表示a a，b b，c c；答案：；答案：t故，.3tabc2tatb .3tc【易錯點易錯點 46】46】利用導數求解函數的單調區間及值域。利用導數求解函數的單調區間及值域。例例 4646、( ( 20052005 全國卷全國卷 III)III)已知函數已知函數，（）求）求的單調區間和值域；的單調區間和值域； 2472xf xx 01x， f x（）設）設，函數，函數，若對于任意，若對于任意，總存在，總存在1a 223201g xxa xax， 101x ，使得使得成立，求成立，求的取值范圍。的取值范圍。 001x ， 01g xf xa【易錯點分

6、析易錯點分析】利用導數求函數的單調區間仍然要樹立起定義域優先的意識，同時要培養自已的求導及解利用導數求函數的單調區間仍然要樹立起定義域優先的意識，同時要培養自已的求導及解不等式的運算能力第（不等式的運算能力第（）問要注意將問題進行等價轉化即轉化為函數）問要注意將問題進行等價轉化即轉化為函數在區間在區間上的上的 yg x 01 ，值域是函數值域是函數的值域的子集，從而轉化為求解函數的值域的子集，從而轉化為求解函數在區間在區間上的值域。上的值域。 f x yg x 01 ，解析解析() ，令，令解得解得或或,在在222224167(21)(27)( )22xxxxfxxx ( )0fx12x 72

7、x ，所以所以為單調遞減函數；在為單調遞減函數；在，所以所以為單調為單調1(0, )2x( )0,fx( )f x1( ,1)2x( )0,fx( )f x遞增函數；又遞增函數；又，即，即的值域為的值域為-4，-3，所以，所以的單調遞的單調遞71(0),(1)3,( )422fff ( )f x( )f x減區間為減區間為，的單調遞增區間為的單調遞增區間為，的值域為的值域為-4，-3.( 單調區間為閉區間也可以單調區間為閉區間也可以).1(0, )2( )f x1( ,1)2( )f x（）,又又，當，當時，時，22( )3()g xxa1a (0,1)x2( )3(1)0g xa因此，當因此

8、，當時，時，為減函數，從而當為減函數，從而當時，有時，有.(0,1)x( )g x0,1x( ) (1), (0)g xgg又又，即當，即當時，有時，有，2(1)1 23, (0)2gaaga 0,1x2( )1 23, 2 g xaaa任給任給，有，有，存在，存在使得使得，10,1x 1( ) 4, 3f x 00,1x 01()( )g xf x則則又又，所以，所以的取值范圍是的取值范圍是。251,123433232aaaaaa 或1a a213a【知識點分類點拔知識點分類點拔】高考對導數的考查定位于作為解決初等數學問題的工具出現，側重于考查導數在函高考對導數的考查定位于作為解決初等數學問

9、題的工具出現，側重于考查導數在函數與解析幾何中的應用，主要有以下幾個方面：數與解析幾何中的應用，主要有以下幾個方面：運用導數的有關知識，研究函數最值問題，一直是高考運用導數的有關知識，研究函數最值問題，一直是高考長考不衰的熱點內容另一方面，從數學角度反映實際問題，建立數學模型，轉化為函數的最大值與最小長考不衰的熱點內容另一方面，從數學角度反映實際問題，建立數學模型，轉化為函數的最大值與最小值問題，再利用函數的導數，順利地解決函數的最大值與最小值問題，從而進一步地解決實際問題用導值問題，再利用函數的導數，順利地解決函數的最大值與最小值問題，從而進一步地解決實際問題用導數研究函數的性質比用初等方法

10、研究要方便得多，因此，導數在函數中的應用作為數研究函數的性質比用初等方法研究要方便得多，因此，導數在函數中的應用作為 20062006 年高考命題重點年高考命題重點應引起高度注意應引起高度注意單調區間的求解過程，已知單調區間的求解過程，已知 （1 1）分析）分析 的定義域；的定義域； （2 2）求）求)(xfy )(xfy 導數導數 （3 3）解不等式）解不等式，解集在定義域內的部分為增區間（，解集在定義域內的部分為增區間（4 4）解不等式）解不等式)(xfy0)( xf，解集在定義域內的部分為減區間，對于函數單調區間的合并，解集在定義域內的部分為減區間，對于函數單調區間的合并: :函數單調區

11、間的合并主要依據函數單調區間的合并主要依據0)( xf是函數是函數在在單調遞增，在單調遞增，在單調遞增，又知函數在單調遞增，又知函數在處連續，因此處連續，因此在在)(xf),(ba),(cbbxf)()(xf單調遞增。同理減區間的合并也是如此，即相鄰區間的單調性相同，且在公共點處函數連續，則二單調遞增。同理減區間的合并也是如此，即相鄰區間的單調性相同，且在公共點處函數連續，則二),(ca區間就可以合并為以個區間。區間就可以合并為以個區間。 【練練 46】 （1） （2005 高考北京卷）已知函數高考北京卷）已知函數f(x)=f(x)=x x3 33x3x2 29x9xa,a, （I I）求）求

12、f f( (x x) )的單調遞減區間；的單調遞減區間；（IIII）若）若f(x)f(x)在區間在區間 2 2，22上的最大值為上的最大值為 2020，求它在該區間上的最小值答案：（，求它在該區間上的最小值答案：（1）（，1） ，（3，） （2）7（2）(2005 全國卷全國卷 III)用長為用長為 90cm,寬為寬為 48cm 的長方形鐵皮做一個無蓋的容器的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,先在四角分別截去一個先在四角分別截去一個小正方形小正方形,然后把四邊翻轉然后把四邊翻轉 90角角,再焊接而成再焊接而成(如圖如圖),問該容器的高為多少時問該容器的高為多少時,容器的容積最大容器的容積最大?最大容

13、積是最大容積是多少多少?答案：當答案：當x=10 時時,V 有最大值有最大值 V(10)=1960【易錯點易錯點 47】47】二項式二項式展開式的通項中，因展開式的通項中，因 a a 與與 b b 的順序顛倒而容易出錯。的順序顛倒而容易出錯。nab例例 4747、展開式中第三項的系數比第二項的系數大展開式中第三項的系數比第二項的系數大 162162，則，則 x x 的一次項為的一次項為 。322nxx【易錯點分析易錯點分析】本題中若本題中若與與的順序顛倒，項隨之發生變化，導致出錯。的順序顛倒，項隨之發生變化，導致出錯。x322x解析：椐題意有：解析：椐題意有：22122162,212162,9

14、nnCCn nnn 即由由 929231993222rrrrrrrrTCxCxx 則921,323rrr 3334912672TC xx 【知識點歸類點撥知識點歸類點撥】二項式二項式的展開式相同，但通項公式不同，對應項也不相同，在的展開式相同，但通項公式不同，對應項也不相同，在nnabba與遇到類似問題時，要注意區分。遇到類似問題時，要注意區分。【練練 47】47】 （濰坊高三質量檢測）（濰坊高三質量檢測）展開式中第展開式中第 5 5 項與第項與第 1212 項系數的絕對值相等，則展開式的項系數的絕對值相等，則展開式的4111nxx常數項為常數項為 。解析：據題意有解析：據題意有，即，即 41

15、141111nnCC 411nnCC4411nnnnCCC,411,15nn 令令得：得：故展開式中常數項為：故展開式中常數項為： 15460rrrrrrTCxC xx 60 150,r4r 441511365C【易錯點易錯點 48】48】二項式展開式中的項的系數與二項式系數的概念掌握不清，容易混淆，導致出錯。二項式展開式中的項的系數與二項式系數的概念掌握不清，容易混淆，導致出錯。例例 4848、在、在的展開式中，的展開式中，的系數為的系數為 ，二項式系數為，二項式系數為 。5322xx5x【易錯點分析易錯點分析】在通項公式在通項公式中，中，是二項式系數，是二項式系數

16、，是項的系數。是項的系數。15 5152rrrrTCx5rC52rrC 解析：令解析：令，得，得，則項，則項的二項式系數為的二項式系數為，項的系數為，項的系數為。1555r2r 5x2510C 225240C 【知識點歸類點撥知識點歸類點撥】在二項展開式中，利用通項公式求展開式中具有某些特性的項是一類典型問題，其通在二項展開式中，利用通項公式求展開式中具有某些特性的項是一類典型問題，其通常做法就是確定通項公式中常做法就是確定通項公式中 r r 的取值或取值范圍，須注意二項式系數與項的系數的區別與聯系。的取值或取值范圍，須注意二項式系數與項的系數的區別與聯系?！揪毦?48】48】 （200520

17、05 高考山東卷）如果高考山東卷）如果的展開式中各項系數之和為的展開式中各項系數之和為 128，則展開式中，則展開式中的系數的系數3213nxx31x是（是（ ） （A）7 （B） （C）21 （D）721答案：當答案：當時時即即,根據二項式通項公式得根據二項式通項公式得1x 321(3 1)2128,71nnn 7321(3)xx時對應時對應,即即2577733177(3 )( 1) ()3( 1)rrrrrrrrrTCxxCx573,63rr 31x故故項系數為項系數為.67 666 1733311213( 1)7 3.TCxxx 31x21【易錯點易錯點 49】49】二項式系數最大項與展

18、開式系數最大項是兩個不同的概念，在求法上也有很大的差別，在二項式系數最大項與展開式系數最大項是兩個不同的概念，在求法上也有很大的差別，在次往往因為概念不清導致出錯。次往往因為概念不清導致出錯。例例 4949、已知、已知的展開式中，第五項的系數與第三項的系數之比為的展開式中，第五項的系數與第三項的系數之比為 1010：1 122nxnNx求展開式中系數最大的項和二項式系數最大項。求展開式中系數最大的項和二項式系數最大項?！疽族e點分析易錯點分析】二項展開式的二項式系數可由其二項式系數的性質求得，即當二項展開式的二項式系數可由其二項式系數的性質求得，即當 n n 為偶數時，中間的一項的為偶數時，中間

19、的一項的二項式系數最大；當二項式系數最大；當 n n 為偶數時，中間兩項的二項式系數相等，同時取得最大值，求系數的最大值項的位為偶數時，中間兩項的二項式系數相等，同時取得最大值，求系數的最大值項的位置不一定在中間，需要利用通項公式，根據系數值的增減性具體討論而定。置不一定在中間，需要利用通項公式，根據系數值的增減性具體討論而定。解析：由題意知，第五項系數為解析：由題意知，第五項系數為，第三項的系數為，第三項的系數為，則有，則有，442nC 22( 2)nC 442221012nnCC 設展開式中的第設展開式中的第 r r 項，第項，第 r+1r+1 項，第項，第 r+2r+2 項的系數絕對值分

20、別為項的系數絕對值分別為8n，若第，若第 r+1r+1 項的系數絕對值最大，則項的系數絕對值最大，則，解得：，解得：11118882,2 ,2rrrrrrCCC118811882222rrrrrrrrCCCC系數最大值為系數最大值為由由知第五項的二項式系數最大，此時知第五項的二項式系數最大，此時56r71111792Tx8n 5611120Tx【知識點歸類點撥知識點歸類點撥】在在的展開式中，系數最大的項是中間項，但當的展開式中，系數最大的項是中間項，但當 a a，b b 的系數不為的系數不為 1 1 時，最時，最nab大大系數值的位置不一定在中間，可通過解不等式組系數值的位置不一定在中間，可通

21、過解不等式組來確定之。來確定之。112rrrrTTTT【練練 49】49】 （20002000 年上海）在二項式年上海）在二項式的展開式中，系數最小的項的系數為的展開式中，系數最小的項的系數為 111x。 （結果用數值表示）（結果用數值表示）解析：展開式中第解析：展開式中第 r+1r+1 項為項為，要使項的系數最小，則，要使項的系數最小，則 r r 為奇數，且使為奇數，且使為最大，由為最大，由 11111rrrCx 11rC此得此得，所以項的系數為，所以項的系數為。5r 55111462C 【易錯點易錯點 50】50】對于排列組合問題，不能分清是否與順序有關而導致方法出錯。對于排列組合問題，不

22、能分清是否與順序有關而導致方法出錯。例例 5050、有六本不同的書按下列方式分配，問共有多少種不同的分配方式？、有六本不同的書按下列方式分配，問共有多少種不同的分配方式？（1 1）分成分成 1 1 本、本、2 2 本、本、3 3 本三組；本三組；（2 2）分給甲、乙、丙三人，其中分給甲、乙、丙三人，其中 1 1 人人 1 1 本，本，1 1 人兩本，人兩本，1 1 人人 3 3 本；本；（3 3）平均分成三組，每組平均分成三組，每組 2 2 本；本；（4 4）分給甲、乙、丙三人，每人分給甲、乙、丙三人，每人 2 2 本。本?！疽族e點分析易錯點分析】分成三組是與順序無關是組合問題，分給三人與順序

23、有關，是排列問題。分成三組是與順序無關是組合問題，分給三人與順序有關，是排列問題。解析：解析：(1)(1)分三步：先選一本有分三步：先選一本有種選法，再從余下的種選法，再從余下的 5 5 本中選兩本，有本中選兩本，有種選法，最后余下的三本全種選法，最后余下的三本全16C25C選有選有種選法，有分步計數原理知，分配方式有：種選法，有分步計數原理知，分配方式有：33C12365360CCC（2 2）由于甲、乙、丙是不同的三個人，在（）由于甲、乙、丙是不同的三個人，在（1 1）題的基礎上，還考慮再分配問題，分配方式共有）題的基礎上，還考慮再分配問題，分配方式共有種。種。12336533360CCCA

24、（3 3）先分三步：則應是）先分三步：則應是種方法，但在這里容易出現重復。不妨記六本書為種方法，但在這里容易出現重復。不妨記六本書為222642CCC若第一步取了若第一步取了 ABAB，第二步取了，第二步取了 CDCD，第三步取了，第三步取了 EFEF，記該種分法為（，記該種分法為（ABAB，CDCD，EFEF）則）則, ,A B C D E F中還有（中還有（ABAB，EFEF，CDCD） ， （CDCD，EFEF，ABAB） （CDCD，ABAB，EFEF） ， （EFEF，CDCD，ABAB） ， （EFEF，ABAB，CDCD）共）共222642CCC種情況，而且這些情況僅是種情況，而

25、且這些情況僅是 ABAB，CDCD，EFEF 順序不同，依次只能作為一種分法，故分配方式有順序不同，依次只能作為一種分法，故分配方式有33A種種2226423315CCCA（5 5）在問題（在問題（3 3）的基礎上，再分配即可，共有分配方式）的基礎上，再分配即可，共有分配方式種。種。2223642333CCCAA【知識點歸類點撥知識點歸類點撥】本題是有關分組與分配的問題，是一類極易出錯的題型，對于詞類問題的關鍵是搞清本題是有關分組與分配的問題，是一類極易出錯的題型，對于詞類問題的關鍵是搞清楚是否與順序有關，分清先選后排，分類還是分步完成等，對于平均分組問題更要注意順序，避免計算重楚是否與順序有

26、關，分清先選后排，分類還是分步完成等，對于平均分組問題更要注意順序，避免計算重復或遺漏。復或遺漏?！揪毦?50】50】 （20042004 年全國年全國 9 9）從）從 5 5 位男教師和位男教師和 4 4 位女教師中選出位女教師中選出 3 3 位教師，派到三個班擔任班主任（每班一位教師，派到三個班擔任班主任（每班一位班主任）位班主任） ，要求這三位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方法共有（，要求這三位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方法共有（ ）A A、 210210 種種 B B、420420 種種 C C、630630 種種 D D、840840 種種解析：首先選擇解析：首先

27、選擇 3 3 位教師的方案有：位教師的方案有：一男兩女；計一男兩女；計；兩男一女：計兩男一女：計=40=40。125430CC2154CC其次派出其次派出 3 3 位教師的方案是位教師的方案是=6=6。故不同的選派方案共有。故不同的選派方案共有33A種。種。312213545463040420ACCCC【易錯點易錯點 51】51】不能正確分析幾種常見的排列問題，不能恰當的選擇排列的方法導致出錯。不能正確分析幾種常見的排列問題，不能恰當的選擇排列的方法導致出錯。例例 5151、四個男同學和三個女同學站成一排。、四個男同學和三個女同學站成一排。（1 1）三個女同學必須排在一起，有多少種不同的排法？

28、三個女同學必須排在一起，有多少種不同的排法？（2 2）任何兩個女同學彼此不相鄰，有多少種不同的排法？任何兩個女同學彼此不相鄰，有多少種不同的排法？（3 3）其中甲、乙兩同學之間必須恰有其中甲、乙兩同學之間必須恰有 3 3 人，有多少種不同的排法？人，有多少種不同的排法？（4 4）甲、乙兩人相鄰，但都與丙不相鄰，有多少種不同的排法？甲、乙兩人相鄰，但都與丙不相鄰，有多少種不同的排法？（5 5）女同學從左往右按高矮順序排，有多少種不同的排法？（三個女生身高互不相等）女同學從左往右按高矮順序排，有多少種不同的排法？（三個女生身高互不相等）【易錯點分析易錯點分析】排列問題常見題型有相鄰問題及不相鄰問題

29、，順序一定問題等，如果對題意理解不夠充分，排列問題常見題型有相鄰問題及不相鄰問題，順序一定問題等，如果對題意理解不夠充分，往往選擇錯誤的方法。往往選擇錯誤的方法。解析：（解析：（1 1）3 3 個女同學是特殊元素，我們先把她們排列好，共有個女同學是特殊元素，我們先把她們排列好，共有種排法；由于種排法；由于 3 3 個同學必須排在一個同學必須排在一33A起，我們可視排好的女同學為一個整體，在與男同學排隊，這時是五個元素的全排列，應有起，我們可視排好的女同學為一個整體，在與男同學排隊，這時是五個元素的全排列，應有種排法。種排法。55A由乘法原理，有由乘法原理，有種不同排法。種不同排法。353572

30、0AA（2 2）先將男生排好，共有）先將男生排好，共有種排法；再在這種排法；再在這 4 4 個男生的中間及兩頭的個男生的中間及兩頭的 5 5 個空中插入個空中插入 3 3 個女生，有個女生，有44A種方案。故符合條件的排法共有種方案。故符合條件的排法共有種。種。35A43451440AA（3 3）甲、乙）甲、乙 2 2 人先排好，共有人先排好，共有種排法；再從余下的種排法；再從余下的 5 5 人中選三人排在甲、乙人中選三人排在甲、乙 2 2 人中間，有人中間，有種排法，種排法，22A35A這時把已排好的這時把已排好的 5 5 人看作一個整體，與剩下的人看作一個整體，與剩下的 2 2 人再排，又

31、有人再排，又有種排法；這樣，總共有種排法；這樣，總共有33A種不同的排法。種不同的排法。423423720AAA（4 4）先排甲、乙、丙）先排甲、乙、丙 3 3 人以外的其他四人，有人以外的其他四人，有種排法，由于甲、乙要相鄰，故把甲、乙排好，有種排法，由于甲、乙要相鄰，故把甲、乙排好，有44A種排法；最后把甲、乙排好的這個整體與丙分別插入原先排好的種排法；最后把甲、乙排好的這個整體與丙分別插入原先排好的 4 4 人的空當中，有人的空當中，有種排法；這樣，種排法；這樣，22A25A總共有總共有種不同的排法。種不同的排法。422425960AAA（5 5）從七個位置中選出）從七個位置中選出 4

32、4 個位置把男生排好，有個位置把男生排好，有種排法；然后再在余下得個空位置中排女生，由于種排法；然后再在余下得個空位置中排女生，由于47A女生要按高矮排列。故僅有一種排法。這樣總共有女生要按高矮排列。故僅有一種排法。這樣總共有種不同的排法。種不同的排法。47A【知識點歸類點撥知識點歸類點撥】解決有限制條件的排列問題方法是：解決有限制條件的排列問題方法是：直接法：直接法：間接法：即排除不符合要求的情形間接法：即排除不符合要求的情形一般先從特殊元素和特殊一般先從特殊元素和特殊位置分析法元素分析法用加法原理（分類）用乘法原理（分步）插入法（不相鄰問題）捆綁法（相鄰問題）位置入手。位置入手?！揪毦?5

33、2】52】 （20042004 年遼寧）有兩排座位，前排年遼寧）有兩排座位，前排 1111 個座位，后排個座位，后排 1212 個座位，現安排個座位，現安排 2 2 人就坐，規定前排中間人就坐，規定前排中間三個座位不能坐，并且這三個座位不能坐，并且這 2 2 人不左右相鄰，那么不同排法的種數（人不左右相鄰，那么不同排法的種數（ ）A A、234234 B B、346346 C C、350350 D D、363363解析：把前后兩排連在一起，去掉前排中間解析：把前后兩排連在一起，去掉前排中間 3 3 個座位，共有個座位，共有種，再加上種，再加上 4 4 種不能算相鄰的，共有種不能算相鄰的，共有1

34、2192AA種。種。212201924346AAA【易錯點易錯點 53】53】二項式展開式的通項公式為二項式展開式的通項公式為，事件，事件 A A 發生發生 k k 次的概率：次的概率：1rn rrrnTC ab。二項分布列的概率公式：。二項分布列的概率公式： 1n kkknnP kC PP，三者在形式上的相似，在應用容易混，三者在形式上的相似，在應用容易混,0,1,2,3,01,1kkn kknpC p qknppq且淆而導致出錯。淆而導致出錯。例例 5353、 （20042004 年全國理）某同學參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規則規定：每題回答正確得年全國理）某同學參加科普知識競賽

35、，需回答三個問題，競賽規則規定：每題回答正確得100100 分，回答不正確得分，回答不正確得100100 分。假設這名同學每題回答正確的概率均為分。假設這名同學每題回答正確的概率均為 0.80.8，且各題回答正確與否相互，且各題回答正確與否相互之間沒有影響。之間沒有影響。（1 1）求這名同學回答這三個問題的總得分求這名同學回答這三個問題的總得分的概率分布和數學期望。的概率分布和數學期望。（2 2）求這名同學總得分不為負分（即求這名同學總得分不為負分（即）的概率。）的概率。0【易錯點分析易錯點分析】對于滿足二項分布的分布列的概率計算公式中對于隨機變量對于滿足二項分布的分布列的概率計算公式中對于隨

36、機變量以及二項分布的條件的理解以及二項分布的條件的理解出錯。出錯。解析：（解析：（1 1）的可能取值為的可能取值為300300，100100，100100，300300。32233000.20.0081003 0.20.80.0961003 0.2 0.80.3843000.80.512PPPP 所以所以的概率分布為的概率分布為300300100100100100300300P P0.0080.0080.0960.0960.3840.3840.5120.512根據根據的概率分布，可得的概率分布，可得的期望的期望3000.0081000.096 100 0.384300 0.512180E （2

37、 2）這名同學總得分不為負分的概率為）這名同學總得分不為負分的概率為。00.3840.5120.896P【知識點歸類點撥知識點歸類點撥】二項分布是一種常見的重要的離散型隨機變量分布列，其概率二項分布是一種常見的重要的離散型隨機變量分布列，其概率就是獨立重復實驗就是獨立重復實驗 n n 次其中發生次其中發生 k k 次的概率次的概率。但在解決實。但在解決實0,1,2,Pkk1n kkknC PP際問題時一定看清是否滿足二項分布。際問題時一定看清是否滿足二項分布。【練練 53】53】 （20042004 年重慶理年重慶理 1818）設一汽車在前進途中要經過）設一汽車在前進途中要經過 4 4 個路口

38、，汽車在每個路口遇到綠燈（允許通個路口，汽車在每個路口遇到綠燈（允許通行）的概率為行）的概率為，遇到紅燈（禁止通行）的概率為，遇到紅燈（禁止通行）的概率為。假定汽車只在遇到紅燈或到達目的地才停止前進，。假定汽車只在遇到紅燈或到達目的地才停止前進，3414表示停車時已經通過的路口數，求：表示停車時已經通過的路口數，求：（1 1）的概率分布列及期望的概率分布列及期望；（；（2 2）停車時最多已通過）停車時最多已通過 3 3 個路口的概率。個路口的概率。E解析：（解析：（1 1）的所有可能值為的所有可能值為 0 0，1 1，2 2，3 3，4 4。用。用表示表示“汽車通過第汽車通過第 k k 個路口

39、時不停個路口時不停” 則則kA獨立。故獨立。故123431,2,3,4,4kP AkA A A A且 1104PP A2121233133191,2( ),44164464PP AAPP AAA312344123431273,4425638144256PP A AAAPP A AAA從而從而的分布列為的分布列為0 01 12 23 34 4P P14316964272568125613927815250123441664256256256E （2 2）。811753141256256PP 【易錯點易錯點 54】54】正態總體正態總體的概率密度函數為的概率密度函數為，當，當2,N 2221,2x

40、f xexR時，時，叫作標準正態總體，叫作標準正態總體的概率密度函數，兩者在的概率密度函數，兩者在0,1 221,2xf xexR0,1N使用范圍上是不同的。使用范圍上是不同的。例例 5454、燈泡廠生產的白熾燈泡的壽命為、燈泡廠生產的白熾燈泡的壽命為（單位：小時）（單位：小時） ，已知，已知，要使燈泡的平均，要使燈泡的平均21000,30N壽命為壽命為 10001000 小時的概率為小時的概率為，問燈泡的最低使用壽命應控制在，問燈泡的最低使用壽命應控制在 910910 小時以上。小時以上。0099.7【易錯點分析易錯點分析】由于由于服從正態分布，故應利用正態分布的性質解題。服從正態分布，故應

41、利用正態分布的性質解題。解析：因為燈泡的使用壽命解析：因為燈泡的使用壽命，故，故在在的概率為的概率為21000,30N10003 30,10003 30 ，即，即在在內取值的概率為內取值的概率為，故燈泡的最低使用壽命應控制在，故燈泡的最低使用壽命應控制在 910910 小時以小時以0099.7910,10900099.7上。上?！局R點歸類點撥知識點歸類點撥】在正態分布在正態分布中，中，為總體的平均數，為總體的平均數，為總體的標準差，另外，正態為總體的標準差，另外，正態2,N 分布分布在在的概率為的概率為，在，在內取值的概率為內取值的概率為2,N , 0068.33 ,3 。解題時，應當注意正

42、態分布。解題時，應當注意正態分布在各個區間的取值概率，不可混淆，否則，將出現計在各個區間的取值概率，不可混淆，否則，將出現計0099.72,N 算失誤。算失誤?！揪毦?54】54】一總體符合一總體符合，若，若，則該總體在（，則該總體在（1 1，2 2）內的概率為）內的概率為 。0,1N 1,2ab解析：由題意可得解析：由題意可得。12(2)(1)Pba【易錯點易錯點 55】55】對于數列的兩個基本極限對于數列的兩個基本極限；，兩個極限成立的條件不同，兩個極限成立的條件不同，lim0nnq1lim1nnaSq前者為前者為；而后者為；而后者為。1q 01q例例 5555、在等比數列、在等比數列中，

43、中，且，且 n n 項和項和，滿足，滿足那么那么的取值范圍是（的取值范圍是（ ） na11a nS11lim,nnSa1aA A、 B B、 C C、 D D、1,1,21,21,4【易錯點分析易錯點分析】利用無窮遞縮等比數列的各項和公式利用無窮遞縮等比數列的各項和公式，求，求的范圍時，容易忽視的范圍時，容易忽視這個這個11asq1a0q 條件。條件。解析：設公比為解析：設公比為 q q，由，由知知11limnnSa所以所以。1211221112211111110211111000aqaaqaaqqaaaqq 又112a【知識點歸類點撥知識點歸類點撥】對于對于，公比的絕對值小于，公比的絕對值小

44、于 1 1 的無窮等比數的無窮等比數11lim0111nnqqqqqq 存在或不存在或列前列前 n n 項和在項和在 n n 無限增大時的極限，叫做這個無窮數列各項的和。無限增大時的極限，叫做這個無窮數列各項的和。【練練 55】55】，求，求 a a 的取值范圍。的取值范圍。131lim331nnnna解析：解析：13111limlimlim0331313311,423nnnnnnnnaaaaa 【易錯點易錯點 56】立體圖形的截面問題。立體圖形的截面問題。例例 56、 （2005 哈師大附中、東北師大附中高三第二次聯考）正方體哈師大附中、東北師大附中高三第二次聯考）正方體-，E、F 分別是分

45、別是ABCD1111A BC D、的中點，的中點，p 是是上的動點（包括端點）上的動點（包括端點） ，過，過 E、D、P 作正方體的截面，若截面為四邊形，作正方體的截面，若截面為四邊形，1AA1CC1CC則則 P 的軌跡是（）的軌跡是（）A、 線段線段B、線段、線段C、線段、線段和一點和一點D、線段、線段和一點和一點 C。1C FCFCF1C1C F【易錯點分析易錯點分析】學生的空間想象能力不足，不能依據平面的基本定理和線面平行定理作兩平面的交線。學生的空間想象能力不足，不能依據平面的基本定理和線面平行定理作兩平面的交線。解析：如圖當點解析：如圖當點 P 在線段在線段上移動時，易由線面平行的性

46、質定理知：直線上移動時，易由線面平行的性質定理知：直線 DE 平行于平面平行于平面，CF11BBCC則過則過 DE 的截面的截面 DEP 與平面與平面的交線必平行，因此兩平面的交線為過點的交線必平行，因此兩平面的交線為過點 P 與與 DE 平行的直線，由平行的直線，由11BBCC于點于點 P 在線段在線段 CF 上故此時過上故此時過 P 與與 DE 平行的直線與直線平行的直線與直線的交點在線段的交點在線段上，故此時截面為四邊上，故此時截面為四邊1BB1BB形（實質上是平行四邊形）形（實質上是平行四邊形） ，特別的當，特別的當 P 點恰為點點恰為點 F 時，此時截面為時，此時截面為也為平行四邊形

47、，當點也為平行四邊形，當點 P 在在1DEFB線段線段上時如圖分別延長上時如圖分別延長 DE、DP 交交、于點于點 H、G 則據平面基本定理知點則據平面基本定理知點 H、G 既在平既在平1C F11A D11DC截面截面DEP 內也在內也在平面平面1111A BC D內，故內，故GH 為兩平面為兩平面PFED1C1B1A1CBDAKNHGPFED1C1B1A1CBDA的交線，連結的交線，連結 GH 分別交分別交、于點于點 K、N（注也有可能交在兩直線的延長線上）（注也有可能交在兩直線的延長線上） ，再分別連結，再分別連結11A B11BCEK、KN、PN 即得截面為即得截面為 DEKNP 此時

48、為五邊形。故選此時為五邊形。故選 C【知識點歸類點拔知識點歸類點拔】高考對用一平面去截一立體圖形所得平面圖形的考查實質上對學生空間想象能力及對高考對用一平面去截一立體圖形所得平面圖形的考查實質上對學生空間想象能力及對平面基本定理及線面平行與面面平行的性質定理的考查?？忌鶎@一類型的題感到吃力，實質上高中平面基本定理及線面平行與面面平行的性質定理的考查?？忌鶎@一類型的題感到吃力，實質上高中階段對作截面的方法無非有如下兩種：一種是利有平面的基本定理：一個就是一條直線上有兩點在一平面階段對作截面的方法無非有如下兩種：一種是利有平面的基本定理：一個就是一條直線上有兩點在一平面內則這條直線上所

49、在的點都在這平面內和兩平面相交有且僅有一條通過該公共點的直線（即交線）內則這條直線上所在的點都在這平面內和兩平面相交有且僅有一條通過該公共點的直線（即交線） （注意（注意該定理地應用如證明諸線共點的方法：先證明其中兩線相交，再證明此交點在第三條直線上即轉化為此點該定理地應用如證明諸線共點的方法：先證明其中兩線相交，再證明此交點在第三條直線上即轉化為此點為兩平面的公共點而第三條直線是兩平的交線則依據定理知交點在第三條直線；諸點共線：即證明此諸點為兩平面的公共點而第三條直線是兩平的交線則依據定理知交點在第三條直線；諸點共線：即證明此諸點都是某兩平面的共公點即這此點轉化為在兩平的交線上）據這兩種定理

50、要做兩平面的交線可在兩平面內通都是某兩平面的共公點即這此點轉化為在兩平的交線上）據這兩種定理要做兩平面的交線可在兩平面內通過空間想象分別取兩組直線分別相交，則其交點必為兩平面的公共點，并且兩交點的連線即為兩平的交線。過空間想象分別取兩組直線分別相交，則其交點必為兩平面的公共點，并且兩交點的連線即為兩平的交線。另一種方法就是依據線面平行及面面平行的性質定理，去尋找線面平行及面面平行關系，然后根據性質作另一種方法就是依據線面平行及面面平行的性質定理，去尋找線面平行及面面平行關系，然后根據性質作出交線。一般情況下這兩種方法要結合應用。出交線。一般情況下這兩種方法要結合應用。【練練 56】 （1） （

51、2005 高考全國卷二）正方體高考全國卷二）正方體 ABCDA1 B1 C1 D1中，中，P P、Q Q、R R、分別是、分別是 ABAB、ADAD、B B1 1 C C1 1的中的中點。那么正方體的過點。那么正方體的過 P P、Q Q、R R 的截面圖形是（）的截面圖形是（）（A A）三角形）三角形 （B B）四邊形）四邊形 （C C）五邊形）五邊形 （D D）六邊形）六邊形 答案：答案：D D （2）在正三棱柱）在正三棱柱-中，中，P、Q、R 分別是分別是、的中點，作出過三點的中點，作出過三點ABC111A BCBC1CC11ACP、Q、R 截正三棱柱的截面并說出該截面的形狀。答案：五邊形

52、。截正三棱柱的截面并說出該截面的形狀。答案：五邊形。【易錯點易錯點 57】判斷過空間一點與兩異面直線成相等的角的直線的條數判斷過空間一點與兩異面直線成相等的角的直線的條數例例 57、 （93 全國考試）如果異面直線全國考試）如果異面直線 a、b 所在的角為所在的角為,P 為空間一定點，則過點為空間一定點，則過點 P 與與 a、b 所成的角所成的角50都是都是的直線有幾條？的直線有幾條？30A、一條、一條 B 二條二條 C 三條三條 D 四條四條【易錯點分析易錯點分析】對過點對過點 P 與兩異面直線成相同的角的直線的位置關系空間想象不足，不明確與兩直線所的與兩異面直線成相同的角的直線的位置關系空

53、間想象不足，不明確與兩直線所的角與兩異面直線所成的角的內在約束關系。角與兩異面直線所成的角的內在約束關系。解析：如圖，過點解析：如圖，過點 P 分別作分別作 a、b 的平行線的平行線、，則，則、所成的角所成的角abab也為也為，即過點，即過點 P 與與、成相等的角的直線必與異面直線成相等的角的直線必與異面直線 a、b 成相成相50ab等的角，由于過點等的角，由于過點 P 的直線的直線 L 與與、成相等的角故這樣的直線成相等的角故這樣的直線 L 在在、aba確定的平面的射影在其角平分線上，則此時必有確定的平面的射影在其角平分線上，則此時必有b當當時，時，coscoscosAPBAPOOPBcos

54、30coscos25APO0lCBbaAp有有，此時這樣的直線存在且有兩條當，此時這樣的直線存在且有兩條當時，有時，有cos30cos0,1cos25APO130BPC這樣的直線不存在。故選這樣的直線不存在。故選 Bcos30cos1cos65APO【知識點分類點拔知識點分類點拔】解決異面直線所成角的問題關鍵是定義，基本思想是平移，同時對本題來說是解決與解決異面直線所成角的問題關鍵是定義，基本思想是平移，同時對本題來說是解決與兩異面直線所成的等角的直線條數，將兩異面直線平移到空間一點時，一方面考慮在平面內和兩相交直線兩異面直線所成的等角的直線條數，將兩異面直線平移到空間一點時，一方面考慮在平面

55、內和兩相交直線成等角的直線即角平分線是否滿足題意，另一方面要思考在空間中與一平面內兩相交直線成等角的直線的成等角的直線即角平分線是否滿足題意，另一方面要思考在空間中與一平面內兩相交直線成等角的直線的條數，此時關鍵是搞清平面外的直線與平面內的直線所成的角條數，此時關鍵是搞清平面外的直線與平面內的直線所成的角與平面內的直線與平面外的直線在平面內與平面內的直線與平面外的直線在平面內的射影所成的角的射影所成的角的關系，由公式的關系，由公式（其中（其中是直線與平面所成的角）易知是直線與平面所成的角）易知coscoscos，（最小角定理）故一般地，若異面直線（最小角定理）故一般地，若異面直線 a、bcos

56、coscoscos所成的角為所成的角為，L 與與 a、b 所成的角均為所成的角均為，據上式有如下結論：當，據上式有如下結論：當時，這樣的直線不存在；時，這樣的直線不存在；02當當時，這樣的直線只有一條；當時，這樣的直線只有一條；當時，這樣的直線有兩條；當時，這樣的直線有兩條；當時這時這2222樣的直線有樣的直線有 3 條；當條；當時，這樣的直線有四條。時，這樣的直線有四條。22【練練 57】如果異面直線如果異面直線 a、b 所在的角為所在的角為,P 為空間一定點，則過點為空間一定點，則過點 P 與與 a、b 所成的角都是所成的角都是的直的直10050線有幾條？線有幾條？A、一條、一條 B 二條二條 C 三條三條 D 四條四條 答案：答案：C