1、變化率與導數、導數的計算、導數的概念1函數 y f(x)在 xx0處的導數(1) 定義：稱函數 yf(x)在 xx0 處的瞬時變化率f x0x f x0 lixm 0xlixm0y f(x)在 xx0 處的導數，記作 f(x0)或 y|x x0，yf x0 x f x0(x0) lixm0 x lixm0x(2) 幾何意義：函數 f(x)在點 x0處的導數 f (x0)的幾何意義是在曲線 yf(x)上點 (x0，f(x0)處的切線的斜 率(瞬時速度就是位移函數 s(t)對時間 t 的導數 )相應地，切線方程為 y f(x0) f (x0)( x x0)2 函數 f(x)的導函數稱函數 f (x

2、)lixm0f x x f xx為 f(x)的導函數、基本初等函數的導數公式原函數導函數f(x) c(c 為常數 )f(x)0f(x)xn(nQ*)f (x)nxn 1f(x) sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x) sin xf(x)axf (x)axln af(x) exf(x)exf(x) logaxf(x)xln af(x) ln xf(x)1xx三、導數的運算法則1f(x)g(x)f(x) g (x)；2f(x) g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；3.fxgxf x g x f x gg x 2(g(x)0)1 (教材習題改編 )若 f(x) xex，則 f

3、(1)()A 0B eC2eD e2解析： 選 C f(x)exxex， f (1) 2e.2曲線 yxln x在點(e，e)處的切線與直線 x ay1 垂直，則實數 a的值為 ( ) A2B 211C.2D 2解析： 選 A 依題意得 y1ln x，y |x e 1 ln e 2，所以 1 2 1， a2. a13(教材習題改編 )某質點的位移函數是 s(t)2t32gt2(g10 m/s2)，則當 t2 s時，它 的加速度是 ( )A 14 m/s2B 4 m/s2C10 m/s2D 4 m/s2解析：選 A 由 v(t)s(t)6t2gt，a(t)v(t)12tg，得 t2 時， a(2

4、) v(2) 12 2 10 14(m/s 2)4(2012 廣東高考 )曲線 yx3x3 在點(1,3)處的切線方程為 解析： y3x21， y |x 1 3 12 1 2. 該切線方程為 y 32(x1)，即 2xy10.答案： 2x y 105函數 y xcos x sin x 的導數為 解析： y(xcos x) (sin x) xcos xx(cos x)cos x cos x xsin xcos x xsin x.答案： xsin x1.函數求導的原則對于函數求導， 一般要遵循先化簡， 再求導的基本原則， 求導時， 不但要重視求導 法則的應用， 而且要特別注意求導法則對求導的制約作

5、用， 在實施化簡時， 首先必須注意變 換的等價性，避免不必要的運算失誤2曲線 y f(x)“在點 P(x0，y0)處的切線 ”與“過點 P(x0，y0)的切線 ”的區別與聯系(1)曲線 yf(x)在點 P(x0，y0)處的切線是指 P 為切點，切線斜率為 k f 是唯一的一條切線(2)曲線 yf(x)過點 P(x0，y0)的切線，是指切線經過 P點點 P 可以是切點， 是切點，而且這樣的直線可能有多條(x0)的切線，也可以不典題導入例 1 用定義法求下列函數的導數(1)y x2； (2)yx42.y f xx f x自主解答 (1)因為 yx xxx 2x2xx2 2xx x 2 x2 x 2

6、xx，所以 ylxim 0 yxlxim0 (2xx)2x.44(2)因為 y x4x 2x424x 2x xx2 x x 2 ，y 4 2xx ，x 4x2 x x 2，所以 lxim0 yx lxim 02xx 422x2 x x 2x3.由題悟法根據導數的定義，求函數yf(x)在 xx0 處導數的步驟(1) 求函數值的增量 yf(x0x) f(x0)；(2)求平均變化率y f x0x f x0xxy(3) 計算導數 f(x0)li xm0 x.以題試法 1一質點運動的方程為 s8 3t2.(1)求質點在 1,1 t這段時間內的平均速度；(2) 求質點在 t1 時的瞬時速度 (用定義及導數

7、公式兩種方法求解 ) 解： (1)s83t2， s83(1t)2(8312)6t3( t)2，s 6 3t.t(2)法一(定義法 )：質點在 t1時的瞬時速度 vlimt0 t limt0 (63t)6.法二 (導數公式法 )：質點在 t 時刻的瞬時速度 vs(t)(83t2) 6t.當 t1時， v 61 6.典題導入例 2 求下列函數的導數2ex 1(1)y x2sin x；(2)yex1；自主解答 (1)y(x2)sin xx2(sin x) 2xsin xx2cos x.(2)yex1 ex1 ex1 ex1 ex 1 2ex ex 1 ex 1 ex 2exex1 2 ex 1 2則

8、 y(ln u) u1 2 22x 522x5由題悟法即 y2x 5求導時應注意：(1)求導之前利用代數或三角恒等變換對函數進行化簡可減少運算量(2)對于商式的函數若在求導之前變形，則可以避免使用商的導數法則，減少失誤以題試法2求下列函數的導數x 2 1 1 (1)y exln x；(2)yxx2xx3 ； 解： (1)y (exln x)11exln xex1 ex ln x 1 .xx(2)yx31 12， y3x2 23.xx典題導入例 3 (1)(2011 山東高考 )曲線 y x3 11 在點 P(1， 12)處的切線與 y 軸交點的縱坐標 是 ()A9B 3C9D 15(2)設函數

9、 f(x)g(x)x2，曲線 yg(x)在點 (1，g(1)處的切線方程為 y 2x 1，則曲線 yf(x)在點 (1， f(1)處切線的斜率為 ()1A B 241C 4D 2自主解答 (1)y3x2，故曲線在點 P(1,12)處的切線斜率是 3，故切線方程是 y 123(x1)，令 x0 得 y9.(2)曲線 y g(x)在點(1， g(1)處的切線方程為 y2x1， g(1)k2.又 f(x)g (x)2x，f(1)g(1)2 4，故切線的斜率為 4.答案 (1)C (2)C若例 3(1)變為：曲線 y x3 11，求過點 P(0,13)且與曲線相切的直線方程解： 因點 P 不在曲線上，

10、設切點的坐標為 (x0， y0)，由 y x3 11，得 y 3x2， ky|xx03x02.y0 13x0311132又 k， 3x20.x0 0x0 x30 1 ，即 x0 1. k 3， y0 10.所求切線方程為 y103(x 1)，即 3xy 130.由題悟法 導數的幾何意義是切點處切線的斜率，應用時主要體現在以下幾個方面： (1)已知切點 A(x0，f(x0)求斜率 k，即求該點處的導數值： kf(x0) ； (2)已知斜率 k，求切點 A(x1， f(x1)，即解方程 f(x1)k；(3) 已知切線過某點 M(x1， f(x1)( 不是切點 )求切點，設出切點 A(x0， f(x

11、0) ，利用 kf x1 f x0x1x0f(x0)求解以題試法3 (1)(2012 新課標全國卷 )曲線 y x(3ln x 1)在點 (1,1)處的切線方程為 11(2)(2013 烏魯木齊診斷性測驗 )直線 y2xb 與曲線 y 2xln x 相切，則 b 的值為()A2B 11C 2D1解析： (1)y3ln x1 3，所以曲線在點 (1,1)處的切線斜率為 4，所以切線方程為 y14(x 1)，即 y4x 3.1 1 1 1(2)設切點的坐標為 a， 2a ln a ，依題意， 對于曲線 y 12x ln x，有 y 21 x1，1 1 1 1 1 1 1所以 21 a1 21，得

12、a1.又切點 1， 21 在直線 y21xb 上，故 2112 b，得 b 1.答案： (1)y 4x3 (2)B1函數 f(x)(x2a)(xa)2 的導數為 ( ) A2(x2a2)B 2(x2 a2)C3(x2 a2)D3(x2a2)解析： 選 C f(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)32已知物體的運動方程為 st23t(t 是時間， s是位移 )，則物體在時刻 t2時的速度 為()19A.417B.4C.154D.134解析： 選 D s 2t32，s|t24313. t 4 43 (2012 哈爾濱模擬 )已知 a為實數，函數 f(x)x3ax2(a2)x 的導函數

13、f(x)是偶 函數，則曲線 y f(x) 在原點處的切線方程為 ( )Ay 3xBy2xCy3xD y2x解析： 選 B f(x)x3ax2(a2)x， f (x) 3x22axa 2. f (x)為偶函數， a0. f(x)3x22.f(0) 2.曲線 yf(x)在原點處的切線方程為 y 2x.4設曲線y1cos x在點 2，1處的切線與直線 x ay 1 0平行，則實數 a等于()1B.12D2sin x 2A1C 2解析： 選 Asin2x 1cos x cos x 1cos x sin2xsin2x1， y |x 1.由條件知 12a 1， a 1.5若點 P 是曲線y x2 lnx

14、上任意一點，則點 P 到直線yx 2 的最小距離為 (A1B. 2D. 31y|xx02x0x01.C. 22解析： 選 B 設 P(x0，y0)到直線 yx2 的距離最小，則1得 x01 或 x0 2(舍 )P點坐標 (1,1)P到直線 yx2 距離為 d|112| 2.116f(x) 與 g(x)是定義在 R 上的兩個可導函數，若 f(x)，g(x)滿足 f (x) g (x)，則 f(x) 與 g(x)滿足 ()Af(x)g(x)B f(x)g(x)0Cf(x)g(x)為常數函數D f(x)g(x)為常數函數解析： 選 C 由 f(x)g (x)，得 f (x)g(x) 0， 即f( x

15、) g( x) 0，所以 f(x)g(x)C(C 為常數 )7(2013 鄭州模擬 )已知函數 f(x)ln xf(1)x23x4，則 f (1)解析：1f(x)x2f(1)x3，xf ( 1) 12f(1)3， f(1) 2， f(1)1438.答案： 88（2012 遼寧高考 ）已知 P，Q為拋物線 x22y上兩點，點 P，Q 的橫坐標分別為 4，2，過 P，Q 分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點 A 的縱坐標為 1解析： 易知拋物線 y 21x2上的點 P（4,8），Q（2,2），且 y x，則過點 P 的切線方程為y4x8，過點 Q 的切線方程為 y 2x2，聯立兩個方程解得交點

16、 A（1，4），所以點 A 的縱坐標是 4.答案： 49 （2012 黑龍江哈爾濱二模11)已知函數 f(x) 2x 4sin3x 4 cos x 的圖象在點 A(x0， y0)處的切線斜率為 1，則 tan x0解析：1 1 3 1 1 3 由 f(x)2x4sin x 4 cos x 得 f(x)24cos x 4 sin x，則 k f (x0) 12 14cos x0 43sin x01，3 1 即 2 sin x02cos x01，即 sin x0 6 1.所以 x02k，kZ，解得 x0 2k2，kZ.6 2 3故 tan x0 tan 2k 23 tan23 3.答案： 3 10

17、求下列函數的導數(1)y xtan x； (2)y(x1)(x2)(x3)； 解： (1)y (xtan x) x tan x x(tan x)22 sin xcos2x sin2xtan xxtan xx2cos x cosx tan x xcos2x（2）y（x1）（x2）（x3）（x1）（x2）（x3）（x2）（x3）（x1）（x2）（x 1）（x3）3x212x11.211已知函數 f（x） xx，g（x）a（2 ln x）（a0）若曲線 yf（x）與曲線 yg（x）在 x1x處的切線斜率相同，求 a 的值，并判斷兩條切線是否為同一條直線解： 根據題意有曲線 yf（x）在 x1 處的切

18、線斜率為 f （1） 3，曲線 yg（x）在 x 1 處的切線斜率為 g （1） a.所以 f (1) g(1)，即 a 3.曲線 yf(x)在 x1 處的切線方程為 yf(1)3(x1)，得： y1 3(x1)，即切線方程為 3xy4 0.曲線 yg(x)在 x1 處的切線方程為 yg(1)3(x1) 得 y63(x1)，即切線方程為 3x y90，所以，兩條切線不是同一條直線12設函數 f(x)x3ax29x1，當曲線 y f(x)斜率最小的切線與直線 12xy6 平 行時，求 a 的值aa2a解：f(x)3x22ax93x329a，即當xa時，函數 f(x)取得最小值 9333a2a3

19、，因斜率最小的切線與 12xy6 平行，a2即該切線的斜率為 12，所以 9a3 12，3即 a2 9，即 a 3.1(2012 商丘二模 )等比數列 an 中，a12，a84，f(x) x(xa1)(xa2) (x a8)，f(x) 為函數 f(x)的導函數，則 f(0) ()A 0B26C29 解析： 選 DD212 f(x)x(xa1)(x a2) (x a8)， f (x) x(xa1)(xa8)x(xa1) (xa8)(xa1)(xa8)x(xa1) (x a8) ， f(0)(a1) ( a2) ( a8)0a1a2a8 (a1a8)4 (24)4(23)4212.2已知 f1(x

20、)sin xcos x，記 f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn(x)fn1(x)(nN*， n 2)，則 f1 2 f2 2 f2 012 2 解析： f2(x)f1 (x) cos x sin x， f3(x) (cos xsin x) sin xcos x， f4(x) cos xsin x， f5(x) sin xcos x， 以此類推，可得出 fn(x) fn4(x)， 又 f1(x) f2(x)f3(x) f 4(x) 0，f1 2f2 2f2 012 2 503f1 2f2 2f3 2f4 20. 答案： 03已知函數 f(x)x33x及 y f(x)上一點 P(1，

21、 2)，過點 P 作直線 l，根據以下條件求 l 的方程(1)直線 l 和 yf(x)相切且以 P 為切點；(2)直線 l 和 y f(x) 相切且切點異于 P.解：(1)由 f(x)x33x得 f(x)3x23，過點 P且以 P(1，2)為切點的直線的斜率 f(1) 0，故所求的直線方程為 y 2.(2)設過 P(1， 2)的直線 l 與 yf(x)切于另一點 (x0， y0) ，則 f(x0)3x023. 又直線過 (x0，y0)，P(1， 2)，3y0 2 x0 3x0 2故其斜率可表示為 0 0 0 ，x0 1x01x30 3x0 22所以 3x20 3，x01即 x30 3x0 2

22、3(x20 1)( x0 1)1解得 x01(舍去)或 x0 2，19故所求直線的斜率為 k3 1 1 9.449所以 l 的方程為 y ( 2) 94(x1)，即 9x4y 1 0.設函數 f(x)axbx，曲線 yf(x)在點 (2，f(2)處的切線方程為 7x4y120.x(1)求 f(x)的解析式；(2)證明：曲線 y f(x)上任一點處的切線與直線x 0 和直線 y x 所圍成的三角形面積為定值，并求此定值71b解： (1)方程 7x 4y120 可化為 y47x3，當 x 2 時， y12.又 f(x)a xb2，則42x2a2b21，a47，4，a 1 ，3解得 故 f(x) x3.b 3.x(2)證明：設 P(x0， y0)為曲線上任一點，由3y1 x2知曲線在點 P( x0， y0)處的切線方x程為 y y01x320(x x0)，即 y3x0x01x320 (x x0)令 x0得 y x60，從而得切線與直線 x0