1、DCBA全等三角形問題中常見的輔助線倍長中線法ABC 中,AD 是BC 邊中線方式1:直接倍長(圖1: 延長AD 到E ,使DE=AD ,連接BE 方式2:間接倍長1 (圖2作CF AD 于F ,作BE AD 的延長線于E, 連接BE2 (圖3延長MD 到N ,使DN=MD ,連接CD【經(jīng)典例題】1、 已知,如圖ABC 中,AB=5,AC=3, 則中線AD 的取值范圍是_.(提示:畫出圖形,倍長中線AD ,利用三角形兩邊之和大于第三邊例2:已知在ABC 中,AB=AC ,D 在AB 上, E 在AC 的延長線上, DE 交BC 于F ,且DF=EF. 求證:BD=CE(提示:方法1:過D 作D

2、G AE 交BC 于G ,證明DGF CEF EDF CBA方法2:過E 作EG AB 交BC 的延長線于G ,證明EFG DFB 方法3:過D 作DG BC 于G ,過E 作EH BC 的延長線于H ,證明BDG ECH 例3、如圖,ABC 中,E 、F 分別在AB 、AC 上,DE DF ,D 是中點(diǎn),試比較BE+CF 與EF 的大小.變式:如圖,AD 為ABC 的中線,DE 平分BDA 交AB 于E ,DF 平分ADC交AC 于F. 求證:EF CF BE >+(提示:方法1:在DA 上截取DG=BD ,連結(jié)EG 、FG , 證明BDE GDE DCF DGF 所以BE=EG 、C

3、F=FG 利用三角形兩邊之和大于第三邊 方法2:倍長ED 至H ,連結(jié)CH 、FH ,證明FH=EF 、CH=BE ,利用三角形兩邊之和大于第三邊例4:已知在ABC 中,AD 是BC 邊上的中線,E 是AD 上一點(diǎn),且BE=AC ,延長BE 交AC 于F ,求證:AF=EF(提示:方法1:倍長AD 至G ,連接BG ,證明BDG CDA 三角形BEG 是等腰三角形。方法2:倍長ED.試一試,怎么證明? _ D_ F _ C_ B_ E_ A例5、如圖,ABC 中,BD=DC=AC ,E 是DC 的中點(diǎn), 求證:AD 平分BAE.(提示:倍長AE 至M,連接DM 變式一:已知CD=AB ,BDA

4、=BAD ,AE 是ABD 的中線, 求證:C=BAE提示:倍長AE 至F ,連結(jié)DF,證明ABE FDE (SAS ,進(jìn)而證明ADF ADC (SAS 變式二:已知CD=AB ,BDA=BAD ,AE 是ABD 的中線, 求證:2AE =AC 。(提示:借鑒變式一的方法 例6:已知:如圖,在ABC 中,AC AB ,D 、E 在BC 上,且DE=EC ,過D 作BA DF /交AE 于點(diǎn)F ,DF=AC. 求證:AE 平分BAC 提示:方法1:倍長AE 至G ,連結(jié)DG 方法2:倍長FE 至H ,連結(jié)CH_ A _ B_ D_ E_ C_ FEDCBA練習(xí)1、在四邊形ABCD 中,AB DC

5、 ,E 為BC 邊的中點(diǎn),BAE=EAF ,AF與DC 的延長線相交于點(diǎn)F 。試探究線段AB 與AF 、 之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論提示:延長AE 、DF 交于G,證明AB=GC 、AF=GF ,所以AB=AF+FC2、已知:如圖,ABC 中,C=90,CM AB 于M ,AT 平分BAC 交CM 于D ,交BC 于T ,過D 作DE/AB 交BC 于E ,求證:CT=BE.提示:過T 作TN AB 于N , 證明BTN ECD3、 在ABC 中, AD 平分BAC ,CM AD 于M , 若AB =AD ,求證:2AM =AC +AB 。 4、ABC 中,AD 是邊BC 上的中線,DA AC 于點(diǎn)A ,BAC=12