1、三角函數的圖象與性質函數ysin xycos xytan x圖象定義域RR值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函數偶函數奇函數單調性2k，2k為增；2k，2k為減2k，2k為減；2k，2k為增k，k為增對稱中心(k，0)對稱軸xkxk無與三角函數有關的定義域和值域問題【例1】(1)函數y的定義域為_(2)函數f(x)2cos x(sin xcos x)1在x上的最大值為_，最小值為_解析(1)sin xcos xsin0，所以定義域為.(2)f(x)2cos xsin x2cos2x1sin 2xcos 2xsin，x，2x，sin，故f(x)max，f(x)min1.答案(1)(2)1【訓練

2、1】 (1)函數y的定義域為_；(2)當x時，函數y3sin x2cos2x的最小值為_，最大值為_解析(1)由題意知：tan x1，即，又，故函數的定義域為：.(2)y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)2sin2xsin x122.又x，sin x，當sin x時，ymin；當sin x時，ymax2.答案(1)(2)2三角函數的單調性【例2】(2012·北京)已知函數f(x).(1)求f(x)的定義域及最小正周期；(2)求f(x)的單調遞增區間解(1)由sin x0，得xk(kZ)，故f(x)的定義域為xR|xk，kZ，因為f(x)2cos x(sin xco

3、s x)sin 2xcos 2x1sin1，所以f(x)的最小正周期T.(2)函數ysin x的單調遞增區間為(kZ)由2k2x2k，xk(kZ)，得kxk，xk(kZ)所以f(x)的單調遞增區間為和(kZ)【訓練2】 求下列函數的單調遞增區間：(1)ycos；(2)y3sin.解(1)將2x看做一個整體，根據ycos x的單調遞增區間列不等式求解函數ycos x的單調遞增區間為2k，2k，kZ.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故ycos的單調遞增區間為k，k(kZ)(2)y3sin3sin，由2k2k，得4kx4k，kZ.故y3sin的單調遞增區間為(kZ)三角函數的奇偶性、周期性及對

4、稱性【例3】(1)若0，g(x)sin是偶函數，則的值為_(2)函數y2sin(3x)的一條對稱軸為x，則_.解析(1)要使g(x)sin為偶函數，則需k，k，kZ，0<<，.(2)由ysin x的對稱軸為xk(kZ)，即3×k(kZ)，得k(kZ)，又|，k0，故.答案(1)(2) 函數f(x)Asin(x)(0)，(1)函數f(x)為奇函數的充要條件為k(kZ)；為偶函數的充要條件為k(kZ)(2)求f(x)Asin(x)(0)的對稱軸，只需令xk(kZ)，求x；如要求f(x)的對稱中心的橫坐標，只需令xk(kZ)即可【訓練3】 (2013·銀川聯考)已知函

5、數f(x)sin(xR)，下面結論錯誤的是()A函數f(x)的最小正周期為 B函數f(x)是偶函數C函數f(x)的圖象關于直線x對稱 D函數f(x)在區間上是增函數解析f(x)sincos 2x，故其最小正周期為，故A正確；易知函數f(x)是偶函數，B正確；由函數f(x)cos 2x的圖象可知，函數f(x)的圖象不關于直線x對稱，C錯誤；由函數f(x)的圖象易知，函數f(x)在上是增函數，D正確，故選C.答案C 【例4】(2012·湖北)已知向量a(cos xsin x，sin x)，b(cos xsin x,2cos x)，設函數f(x)a·b(xR)的圖象關于直線x對稱

6、，其中、為常數，且.(1)求函數f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的圖象經過點，求函數f(x)在區間上的取值范圍解答 (1)f(x)sin2xcos2x2sin x·cos xcos 2xsin 2x2sin.由直線x是yf(x)圖象的一條對稱軸，可得sin±1，所以2k(kZ)，即(kZ)，又，kZ，所以k1，故.所以f(x)的最小正周期是.(6分)(2)由yf(x)的圖象過點，得f0，即2sin2sin 故f(x)2sin.(9分)由0x，有x，所以sin1，得12sin2，(11分)故函數f(x)在上的取值范圍為1，2(12分)【訓練4】 (2011·

7、北京)已知函數f(x)4cos xsin1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區間上的最大值和最小值解(1)因為f(x)4cos xsin14cos x1sin 2x2cos2x1sin 2xcos 2x2sin，所以f(x)的最小正周期為.(2)因為x，所以2x.于是，當2x，即x時，f(x)取得最大值2；當2x，即x時，f(x)取得最小值1.選擇題11(2011·新課標全國)設函數f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期為，且f(x)f(x)，則()Af(x)在單調遞減 Bf(x)在單調遞減Cf(x)在單調遞增 Df(x)在單調遞增解析先將f(x)化為單一函數形

8、式：f(x)sin，f(x)的最小正周期為，2.f(x)sin.由f(x)f(x)知f(x)是偶函數，因此k(kZ)又|<，f(x)cos 2x.由0<x<時，f(x)單調遞減，故選A.答案A2(2012·湖南)函數f(x)sin xcos的值域為()A2,2 B，C1,1 D.解析因為f(x)sin xcos xsin x ×sin，所以函數f(x)的值域為，答案B3已知函數f(x)sin(>0)的最小正周期為，則該函數的圖象()A關于直線x對稱 B關于點對稱C關于直線x對稱 D關于點對稱解析由題意知T，則2，所以f(x)sin，又fsinsin

9、0.答案B4(2013·鄭州模擬)已知是正實數，且函數f(x)2sin x在上是增函數，那么()A0< B0<2C0< D2解析由x且>0，得x.又ysin x是上的單調增函數，則解得0<.答案A5(2012·全國)當函數ysin xcos x(0x2)取得最大值時，x_.解析ysin xcos x22sin的最大值為2，又0x2，故當x，即x時，y取得最大值答案6.(2011·山東)若函數f(x)sin x(0)在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，則 ()A. B. C2 D3解析由題意知f(x)的一條對稱軸為x，和它相鄰的一個對稱

10、中心為原點，則f(x)的周期T，從而.答案B7已知函數f(x)sin(x)cos(x)是偶函數，則的值為()A0 B. C. D.解析據已知可得f(x)2sin，若函數為偶函數，則必有k(kZ)，又由于，故有，解得，經代入檢驗符合題意答案B8函數y2sin(0x9)的最大值與最小值之和為 ()A2 B0 C1 D1解析0x9，x，sin1，2sin2.函數y2sin(0x9)的最大值與最小值之和為2.答案A9(2011·安徽)已知函數f(x)sin(2x)，其中為實數若f(x)對xR恒成立，且ff()，則f(x)的單調遞增區間是 ()A.(kZ) B.(kZ)C.(kZ) D.(kZ

11、)解析由f(x)sin(2x)，且f(x)對xR恒成立，f±1，即sin±1.k(kZ)k(kZ)又f>f()，即sin()>sin(2)，sin >sin .sin <0.對于k(kZ)，k為奇數f(x)sin(2x)sinsin.由2m2x2m(mZ)，得mxm(mZ)，f(x)的單調遞增區間是(mZ)答案C10(2012·新課標全國)已知>0，函數f(x)sin在單調遞減，則的取值范圍是 ()A. B.C. D(0,2解析取，f(x)sin，其減區間為，kZ，顯然k，k，kZ，排除B，C.取2，f(x)sin，其減區間為，kZ，

12、顯然，kZ，排除D.答案A11已知>0,0<<，直線x和x是函數f(x)sin(x)圖象的兩條相鄰的對稱軸，則 ()A. B. C. D.解析由題意可知函數f(x)的周期T2×2，故1，f(x)sin(x)，令xk(kZ)，將x代入可得k(kZ)，0<<，.答案A二、填空題(每小題5分，共10分)12定義在R上的函數f(x)既是偶函數又是周期函數，若f(x)的最小正周期是，且當x時，f(x)sin x，則f的值為_解析fffsin .答案13若f(x)2sin x(0<<1)在區間上的最大值是，則_.解析由0x，得0x<，則f(x)在上

13、單調遞增，且在這個區間上的最大值是，所以2sin ，且0<<，所以，解得.答案14(2013·徐州模擬)已知函數f(x)(sin xcos x)|sin xcos x|，則f(x)的值域是_解析f(x)(sin xcos x)|sin xcos x|畫出函數f(x)的圖象，可得函數的最小值為1，最大值為，故值域為.答案15(2012·西安模擬)下列命題中：2k(kZ)是tan 的充分不必要條件；函數f(x)|2cos x1|的最小正周期是；在ABC中，若cos Acos B>sin Asin B，則ABC為鈍角三角形；若ab0，則函數yasin xbcos

14、 x的圖象的一條對稱軸方程為x.其中是真命題的序號為_解析2k(kZ)tan ，而tan / 2k(kZ)，正確f(x)|2cos(x)1|2cos x1|2cos x1|f(x)，錯誤cos Acos B>sin Asin B，cos Acos Bsin Asin B>0，即cos(AB)>0，0<AB<，0<AB<，C為鈍角，正確ab0，ba，yasin xbcos xasin xacos xasin，x是它的一條對稱軸，正確答案三、解答題16 設f(x).(1)求f(x)的定義域； (2)求f(x)的值域及取最大值時x的值解(1)由12sin x

15、0，根據正弦函數圖象知：定義域為x|2kx2k，kZ(2)1sin x1，112sin x3，12sin x0，012sin x3，f(x)的值域為0，當x2k，kZ時，f(x)取得最大值17. 求下列函數的值域：(1)y2sin2x2cos x2；(2)y3cos xsin x，x0，； (3)ysin xcos xsin xcos x.解(1)y2sin2x2cos x22cos2x2cos x2(cos x)2，cos x1,1當cos x1時，ymax4，當cos x時，ymin，故函數值域為，44分(2)y3cos xsin x2cos(x)x0，x，ycos x在，上單調遞減，co

16、s(x)y3，故函數值域為，3(3)令tsin xcos x，則sin xcos x，且|t|.yt(t1)21，當t1時，ymin1；當t時，ymax.函數值域為1，12分18已知函數f(x)cos2sinsin.(1)求函數f(x)的最小正周期和圖象的對稱軸；(2)求函數f(x)在區間上的值域解(1)f(x)cos2sinsincos 2xsin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)cos 2xsin 2xsin2xcos2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.最小正周期T，由2xk(kZ)，得x(kZ)函數圖象的對稱軸為x(kZ)(2)x，2x，sin1.即函數f

17、(x)在區間上的值域為.19已知函數f(x)coscos，g(x)sin 2x.(1)求函數f(x)的最小正周期；(2)求函數h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合解(1)f(x)coscos·cos2xsin2xcos 2x，f(x)的最小正周期為.(2)由(1)知h(x)f(x)g(x)cos 2xsin 2xcos，當2x2k(kZ)，即xk(kZ)時，h(x)取得最大值.故h(x)取得最大值時對應的x的集合為.20 已知a0，函數f(x)2asin2ab，當x時，5f(x)1.(1)求常數a，b的值；(2)設g(x)f且lg g(x)0，求g(x)的單調區間解(1)x，2x.sin，又a &g