1、2.2.2第2章考點一考點二考點三把握熱點考向應用創新演練理解教材新知22.2函數的奇偶性函數的奇偶性2 22 2 函數的簡單性質函數的簡單性質提示：提示：問題問題2：觀察它們的圖象有何對稱性？：觀察它們的圖象有何對稱性？問題問題3：填寫下表：填寫下表表一表一9 4 1 0 1 4 93 2 1 0 1 2 3表二表二問題問題4：從上面兩個表格中，可以得出什么結論？：從上面兩個表格中，可以得出什么結論？提示：提示：表一中：表一中：f(x)f(x)，表二中：表二中：f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)原點原點y軸軸 函數的奇偶性定義的理解函數的奇偶性定義的理解 (1)函數的奇偶性是相

2、對于函數的整個定義域來說的，函數的奇偶性是相對于函數的整個定義域來說的，這一點與函數的單調性不同，從這個意義上來講，函數的這一點與函數的單調性不同，從這個意義上來講，函數的單調性是函數的單調性是函數的“局部局部”性質，而奇偶性是函數的性質，而奇偶性是函數的“整體整體”性性質質 (2)如果函數的定義域不關于原點對稱，那么該函數如果函數的定義域不關于原點對稱，那么該函數就不具有奇偶性所以函數的定義域關于原點對稱是函數就不具有奇偶性所以函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的前提條件具有奇偶性的前提條件 思路點撥思路點撥先確定函數的定義域，然后再先確定函數的定義域，然后再嚴格按照函數奇偶性的定義來

3、判斷嚴格按照函數奇偶性的定義來判斷 一點通一點通 判斷函數的奇偶性的步驟判斷函數的奇偶性的步驟 (1)看函數的定義域是否關于原點對稱看函數的定義域是否關于原點對稱(若不對稱則若不對稱則為非奇非偶函數為非奇非偶函數) (2)判斷判斷f(x)與與f(x)的關系的關系 (3)根據定義，寫出結論根據定義，寫出結論 若若f(x)f(x)，則函數，則函數f(x)為奇函數為奇函數 若若f(x)f(x)，則函數，則函數f(x)為偶函數為偶函數 若若f(x)f(x)且且f(x)f(x)，則，則f(x)既是奇函數既是奇函數又是偶函數又是偶函數 若若f(x)f(x)且且f(x)f(x)，則，則f(x)為非奇非偶函為

4、非奇非偶函數數 解析：解析：利用函數奇偶性的定義知，為偶函數，利用函數奇偶性的定義知，為偶函數，為非奇非偶函數，只有為奇函數為非奇非偶函數，只有為奇函數答案：答案：2(2011廣東高考改編廣東高考改編)設函數設函數f(x)和和g(x)分別是分別是R上的偶上的偶函數和奇函數，則下列結論恒成立的是函數和奇函數，則下列結論恒成立的是_|f(x)|g(x)是奇函數是奇函數|f(x)|g(x)是偶函數是偶函數f(x)|g(x)|是奇函數是奇函數f(x)|g(x)|是偶函數是偶函數解析：解析：設設F(x)f(x)|g(x)|，由，由f(x)和和g(x)分別是分別是R上的偶上的偶函數和奇函數，得函數和奇函數

5、，得F(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|F(x)，f(x)|g(x)|是偶函數，又可判斷其他選項不恒是偶函數，又可判斷其他選項不恒成立成立答案：答案：當當x0，則則f(x)(x)33(x)21x33x21(x33x21)f(x)由知，當由知，當x(，0)(0，)時，都有時，都有f(x)f(x)，所以，所以f(x)為奇函數為奇函數 思路點撥思路點撥設設x0，則，則x0的解析式，然后用分段函數的形的解析式，然后用分段函數的形式寫出式寫出f(x) 例例2已知已知f(x)是是R上的奇函數，當上的奇函數，當x(，0)時，時，f(x)2x(1x)，求，求f(x) 一點通一點通 (1)利用函數的

6、奇偶性求解函數的解析式，主要利利用函數的奇偶性求解函數的解析式，主要利用函數奇偶性的定義求解一般分以下三個步驟：設用函數奇偶性的定義求解一般分以下三個步驟：設所求函數解析式中所給的區間上任一個所求函數解析式中所給的區間上任一個x，即求哪個區，即求哪個區間上的解析式，就設間上的解析式，就設x在哪個區間上把所求區間內在哪個區間上把所求區間內的變量轉化到已知區間內利用函數奇偶性的定義的變量轉化到已知區間內利用函數奇偶性的定義f(x)f(x)或或f(x)f(x)求解所求區間內的解析式求解所求區間內的解析式 (2)由奇函數的定義可知，奇函數由奇函數的定義可知，奇函數f(x)在在x0處有處有定義時，一定有

7、定義時，一定有f(0)0. (3)根據奇函數、偶函數圖象的對稱性，作出根據奇函數、偶函數圖象的對稱性，作出y軸軸一側的圖象，另一側的圖象可以由對稱性得到一側的圖象，另一側的圖象可以由對稱性得到4設設f(x)是定義在是定義在R上的奇函數，當上的奇函數，當x0時，時，f(x) 2x2x，則，則f(1)_.答案：答案：35(1)已知函數已知函數f(x)是奇函數，且是奇函數，且x3a1,3a5，則，則a的值為的值為_(2)已知函數已知函數f(x)x22mx1是偶函數，則是偶函數，則m的值為的值為_解析：解析：(1)f(x)是定義域為是定義域為3a1,3a5的奇函數，的奇函數，3a13a50.a1.(2

8、)f(x)x22mx1是偶函數，是偶函數，f(x)f(x)x22mx1x22mx1.m0.答案：答案：(1)1(2)06如圖，給出偶函數如圖，給出偶函數yf(x)的的局部圖象，試作出它的局部圖象，試作出它的y軸右側的圖象，并比較軸右側的圖象，并比較f(1)與與f(3)的大小的大小解：解：偶函數偶函數yf(x)在在y軸右側圖象上任一點軸右側圖象上任一點P(x，f(x)關于關于y軸的對稱點為軸的對稱點為P(x，f(x)，下圖為補充完后的圖，下圖為補充完后的圖象易知象易知f(1)f(3) 例例3設定義在設定義在2,2上的奇函數上的奇函數f(x)在區間在區間0,2上上單調遞減，若單調遞減，若f(m)f

9、(m1)0，求實數，求實數m的取值范圍的取值范圍 思路點撥思路點撥首先由奇偶性把不等式轉化為首先由奇偶性把不等式轉化為f(x1)f(x2)的形式，再利用單調性轉化為的形式，再利用單調性轉化為x1，x2的大小關系注意函的大小關系注意函數的定義域數的定義域 一點通一點通解決有關奇偶性與單調性的綜合問題，解決有關奇偶性與單調性的綜合問題，要注意利用奇偶性進行化簡，奇函數在對稱區間上單調要注意利用奇偶性進行化簡，奇函數在對稱區間上單調性一致，偶函數在對稱區間上單調性相反，同時不能漏性一致，偶函數在對稱區間上單調性相反，同時不能漏掉函數定義域對參數的影響掉函數定義域對參數的影響7設設f(x)是是R上的偶

10、函數，且在上的偶函數，且在(，0)上為減函數，上為減函數，若若x10，則，則f(x1)與與f(x2)的大小關系為的大小關系為_解析：解析：x1x20，x1x10.f(x)在在(，0)上為減函數，上為減函數，f(x)在在(0，)上是上是增函數，增函數，f(x2)f(x1)，又，又f(x)是是R上的偶函數，上的偶函數，f(x1)f(x1)故故f(x2)f(x1)答案：答案：f(x2)f(x1)8若函數若函數yf(x)是奇函數，且是奇函數，且yf(x)在在a，b(a0)上是上是單調遞增的，則單調遞增的，則yf(x)在在b，a上的單調性如何？上的單調性如何？并證明你的結論并證明你的結論解：解：yf(x)在在b，a上也是單調遞增的上也是單調遞增的其證明過程如下：其證明過程如下：設設bx1x2a，則，則bx1x2a.又又yf(x)在在a，b上單調遞增，上單調遞增，f(x1)f(x2)而而yf(x)是奇函數，是奇函數，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x2)，f(x1)f(x2)，即，即f(x1)f(x2)故故yf(x)在在b，a上也是單調遞增的上也是單調遞增的 (2)圖象法：奇圖象法：奇(偶偶)函數的等價條件是它的圖象關于原函數的等價條件是它的圖象關于原點點(或或y軸軸)對稱對稱 (