1、材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉1第第 3 章章 扭扭 轉轉3-1 概述概述3-2 薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒的扭轉3-3 傳動軸的外力偶矩傳動軸的外力偶矩 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖3-4 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力 強度條件強度條件3-5 等直圓桿扭轉時的變形等直圓桿扭轉時的變形 剛度條件剛度條件3-6 等直圓桿扭轉時的應變能等直圓桿扭轉時的應變能3-7 等直非圓桿自由扭轉時的應力和變形等直非圓桿自由扭轉時的應力和變形材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉23-1 概概 述述變形特點變形特點: : . . 相鄰橫截面繞桿的軸線相對轉動；相鄰橫截面繞桿的軸線相對

2、轉動； . . 桿表面的縱向線變成螺旋線；桿表面的縱向線變成螺旋線； . . 實際構件在工作時除發生扭轉變形實際構件在工作時除發生扭轉變形 外，還伴隨有彎曲或拉、壓等變形。外，還伴隨有彎曲或拉、壓等變形。受力特點受力特點： 圓截面直桿在與桿的軸線垂直平面內圓截面直桿在與桿的軸線垂直平面內的外力偶的外力偶Me作用下發生扭轉。作用下發生扭轉。材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉3圓軸扭轉變形動畫圓軸扭轉變形動畫材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉4本章研究桿件發生除本章研究桿件發生除扭轉變形扭轉變形外，其它變形可忽略的情況，外，其它變形可忽略的情況，并且以并且以圓截面圓截面(

3、(實心或空心圓截面實心或空心圓截面) )桿桿為主要研究對象。為主要研究對象。 此外，所研究的問題限于桿在線彈性范圍內工作的情況。此外，所研究的問題限于桿在線彈性范圍內工作的情況。材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉53-2 薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒薄壁圓筒通常指通常指 的圓筒的圓筒100r 當其兩端面上作用有外力當其兩端面上作用有外力偶矩時，任一橫截面上的偶矩時，任一橫截面上的內力偶矩內力偶矩扭矩。扭矩。 （T=Me）材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉6薄壁圓筒的扭轉動畫薄壁圓筒的扭轉動畫材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉7 . . 薄壁圓筒橫截面

4、上各點處切應力的變化規律薄壁圓筒橫截面上各點處切應力的變化規律表面變形情況表面變形情況：(1) (1) 圓周線只是繞圓筒軸線轉動圓周線只是繞圓筒軸線轉動, ,形狀及尺寸不變；形狀及尺寸不變；(2) (2) 縱向直線在小變形情況下保持為直線縱向直線在小變形情況下保持為直線, ,但發生傾斜但發生傾斜; ;(3) (3) 圓周線之間的距離保持不變。圓周線之間的距離保持不變。材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉8推論：推論：(1) (1) 橫截面保持為形狀、大小未改變的平面，即橫截面橫截面保持為形狀、大小未改變的平面，即橫截面如同剛性平面一樣；如同剛性平面一樣；(2) (2) 相鄰橫截面只是

5、繞圓筒軸線相對轉動，橫截面之間相鄰橫截面只是繞圓筒軸線相對轉動，橫截面之間的距離未變。的距離未變。材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉9橫截面上的應力橫截面上的應力：(1) (1) 只有與圓周相切的切應力，且圓周上所有點處只有與圓周相切的切應力，且圓周上所有點處的切應力相同；的切應力相同；(2) (2) 對于薄壁圓筒，可認為切應力沿壁厚均勻分布；對于薄壁圓筒，可認為切應力沿壁厚均勻分布；(3) (3) 橫截面上無正應力。橫截面上無正應力。材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉10引進引進，上式亦可寫作上式亦可寫作200rA . . 薄壁圓筒橫截面上切應力的計算公式：薄壁圓筒橫

6、截面上切應力的計算公式：由由 ，根據應力分布可知，根據應力分布可知，TrAA d 02AT 200002)2(drTrrTArTA 根據條件根據條件 ，有，有 ATArd0 (3-1)其中其中r0為薄壁圓筒的平均半徑為薄壁圓筒的平均半徑 ArA 02d材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉11. . 剪切胡克定律剪切胡克定律( (Hookes law in shear)(1)(1)上述上述薄壁圓筒表面上每個格子的直角均改變了薄壁圓筒表面上每個格子的直角均改變了g g，這種直角改變量稱為這種直角改變量稱為切應變切應變。(2)(2)該圓筒兩個端面之間繞圓筒軸線相對轉動了該圓筒兩個端面之間繞

7、圓筒軸線相對轉動了j j 角角，這種角位移稱為這種角位移稱為相對扭轉角相對扭轉角。(3)(3)在認為切應力沿壁厚均勻分布的情況下在認為切應力沿壁厚均勻分布的情況下, ,有有tg= *r0/l , 由于由于 很小很小, ,故可近似為故可近似為 tg= , 即即g g =j j r0/l。l 材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉12薄壁圓筒的扭轉實驗表明：當橫截面上切應力薄壁圓筒的扭轉實驗表明：當橫截面上切應力 不不超過材料的剪切比例極限超過材料的剪切比例極限 p 時，時，外力偶矩外力偶矩 Me ( (數值數值上等于扭矩上等于扭矩T ) )與相對扭轉角與相對扭轉角 j j 成線性正比例關

8、系成線性正比例關系，從而可知從而可知 與與 g g 亦成線性關系亦成線性關系：=G (3-3) 材料的剪切胡克定律材料的剪切胡克定律 式中的比例系數式中的比例系數 G 稱為材料的稱為材料的切變模量切變模量 02AT lr0j jg g 鋼材的切變模量的約值為鋼材的切變模量的約值為：G =80GPa材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉133-3 傳動軸的外力偶矩傳動軸的外力偶矩 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖. . 傳動軸的外力偶矩傳動軸的外力偶矩當傳動軸穩定轉動時，作用于某一輪上的外力偶在當傳動軸穩定轉動時，作用于某一輪上的外力偶在 t 秒鐘內所作功等于外力偶矩秒鐘內所作功等于外力偶矩 M

9、e 乘以輪在乘以輪在 t 秒鐘內的秒鐘內的轉角轉角a a 。a aeMW 材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉14 因此，外力偶因此，外力偶Me每秒鐘所作功，每秒鐘所作功，即即該輪所傳遞的功率該輪所傳遞的功率為為 3minrmNe3sradmNe3sradmNekw10602 1010 nMMtMP a a若已知傳動軸的若已知傳動軸的轉速轉速n( (亦即傳動軸上每個輪的轉速亦即傳動軸上每個輪的轉速) )和和主動輪或從動輪主動輪或從動輪所傳遞的功率所傳遞的功率P，即可由下式，即可由下式計算作用計算作用于每一輪上的外力偶矩于每一輪上的外力偶矩：minrkw3minr3kwmNe1055.

10、 926010nPnPM (3-4)602 nt a a 材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉15主動輪上的外力偶其轉向與傳動軸的轉動方向相同主動輪上的外力偶其轉向與傳動軸的轉動方向相同，而而從動輪上的外力偶則轉向與傳動軸的轉動方向相反從動輪上的外力偶則轉向與傳動軸的轉動方向相反。材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉16. . 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 傳動軸橫截面上的扭矩傳動軸橫截面上的扭矩T 可利用可利用截面法截面法來計算。來計算。M0 eTM0 可仿照軸力圖的方法繪制扭矩圖可仿照軸力圖的方法繪制扭矩圖材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉17扭矩圖中扭矩圖中扭

11、矩的正負扭矩的正負規定可按其轉向的右手螺旋規定可按其轉向的右手螺旋法則表示：法則表示：扭矩矢量離開截面扭矩矢量離開截面在扭矩圖中的取值在扭矩圖中的取值為正為正，畫在橫軸的上方，畫在橫軸的上方; ;扭矩矢量指向截面為負扭矩矢量指向截面為負, ,畫在橫軸的下方。畫在橫軸的下方。材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉18一傳動軸如圖，轉速一傳動軸如圖，轉速n=300 r/min，轉向如圖所示。，轉向如圖所示。主動輪主動輪A輸入的功率輸入的功率P1= 500 kW，三個從動，三個從動B、C、D輪輸出的功率分別為：輪輸出的功率分別為：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 k

12、W。試作軸的扭矩圖。試作軸的扭矩圖。 例題例題 3-1材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉191. 1. 計算作用在各輪上的外力偶矩計算作用在各輪上的外力偶矩mkN9 .15mN)3005001055. 9(31 MmkN78. 4mN)3001501055. 9(332 MMmkN37. 6mN)3002001055. 9(34 M主動輪上主動輪上M1的轉向和軸的轉向相同，從動輪上的的轉向和軸的轉向相同，從動輪上的M2、M3、M4的轉向和軸的轉向相反。的轉向和軸的轉向相反。例題例題 3-1由由(3-4)式可列得式可列得minrkw3mNe1055. 9nPM (3-4)材料力學材料

13、力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉202. 2. 計算各段的扭矩計算各段的扭矩BC段內段內, 假設扭矩為正，如圖所測假設扭矩為正，如圖所測：TM12-4.78kN m CA段內，假設負扭矩段內，假設負扭矩：223()9.56kN mTMM AD段內，假設正扭矩段內，假設正扭矩：mkN37. 643 MT例題例題 3-1M0 TM120 得負值表明所設方向與實際相反得負值表明所設方向與實際相反, ,其轉向其轉向的右手螺旋應指向截面的右手螺旋應指向截面M0 2230TMM 340TM 材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉213.3.作扭矩圖作扭矩圖: :根據扭矩的正負規定根據扭矩的正負規

14、定( (離開離開例題例題 3-12T1T3T截面為正，指向截面為負）截面為正，指向截面為負）, ,畫出扭矩圖如下畫出扭矩圖如下，由扭矩圖可見，傳動軸的最大扭矩由扭矩圖可見，傳動軸的最大扭矩Tmax在在CA段內，段內，其值為其值為9.56 kNm。 材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉223-4 3-4 等直圓桿扭轉時的應力等直圓桿扭轉時的應力強度條件強度條件. . 橫截面上的應力橫截面上的應力表面表面變形變形情況情況推斷推斷橫截面橫截面的變形的變形情況情況( (問題的問題的幾何方面幾何方面) )橫截面橫截面上應變上應變的變化的變化規律規律應力應力- -應變關系應變關系橫截面上橫截面上

15、應力變化應力變化規律規律( (問題的問題的物理方面物理方面) )內力與應力的關系內力與應力的關系橫截面上應力橫截面上應力的計算公式的計算公式( (問題的問題的靜力學方面靜力學方面) )材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉231. 表面變形情況：表面變形情況：(a) (a) 相鄰圓周線繞桿的軸線相對轉動，但它們的大小和相鄰圓周線繞桿的軸線相對轉動，但它們的大小和形狀未變，小變形情況下它們的間距也未變；形狀未變，小變形情況下它們的間距也未變；(b) (b) 縱向線傾斜了一個角度縱向線傾斜了一個角度g g 。(1) (1) 幾何方面幾何方面平面假設平面假設等直圓桿受扭轉時橫截面如同剛性平面

16、繞等直圓桿受扭轉時橫截面如同剛性平面繞桿的軸線轉動，小變形情況下相鄰橫截面的間距不變。桿的軸線轉動，小變形情況下相鄰橫截面的間距不變。推知：推知：桿的橫截面上只有切應力，且垂直于半徑桿的橫截面上只有切應力，且垂直于半徑。材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉24xEGGGddtanj j g gg g 即即xddj j g g EAO1Ddj j DGGO2d/2dxg g g g 2. 橫截面上一點處橫截面上一點處( r= )的切應變隨點的位置而變化的切應變隨點的位置而變化的規律的規律 bbTTO1O2dj j GGDDaadxAEg gg g 材料力學材料力學()電子教案電子教案扭

17、扭 轉轉25xddj j g g 式中式中 - -相對扭轉角相對扭轉角j j 沿桿長的變化率，沿桿長的變化率，常用常用j j 來表示，對于來表示，對于給定的橫截面為常量。給定的橫截面為常量。xddj j可見，可見，在橫截面的同一半徑在橫截面的同一半徑 的圓周上各點處的切的圓周上各點處的切應變應變 g g 均相同均相同； g g 與與 成正比，且發生在與半徑成正比，且發生在與半徑垂直的平面內垂直的平面內。bbTTO1O2dj j GGDDaadxAEg gg g 材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉26xGGddj j g g (2) (2) 物理方面物理方面由剪切胡克定律由剪切胡克定

18、律 = Gg g 知知可見，可見，在橫截面的同一半徑在橫截面的同一半徑 的圓周上各點處的切的圓周上各點處的切應力應力 均相同，其值均相同，其值 與與 成正比，其方向垂直于半徑成正比，其方向垂直于半徑。xddj j g g 材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉27其中其中 稱為橫截面的稱為橫截面的極慣性矩極慣性矩Ip(單位單位:m4)，它是橫截面的幾何性質。，它是橫截面的幾何性質。 AAd2 (3) 靜力學方面靜力學方面2d ddAGATx 即即xGGddj j g g (3-6)ppITGITG 等直圓桿在線彈性范圍內扭轉時，等直圓桿在線彈性范圍內扭轉時，橫截面上任一點橫截面上任一點

19、 (r=)處處切應力切應力計算公式計算公式pddGITx j j以以 代入上式得：代入上式得：2pdAIA (3-5)xddj j g g dTAA 合力矩原理合力矩原理材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉28pppmaxWTrITITr pIT 橫截面圓周邊上各點處橫截面圓周邊上各點處( = r)的最大切應力為的最大切應力為(3-6)式中定義式中定義 Wp=Ip/r 稱為稱為扭轉截面扭轉截面系數系數，其單位為，其單位為 m3。 ）（ AAId2p (3-7)材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉29(1) (1) 實心圓截面實心圓截面.圓截面的極慣性矩圓截面的極慣性矩 Ip

20、 和扭轉截面系數和扭轉截面系數 Wp162/3ppddIW 32d2d42032dAIdAp ddA2 (3-8)(3-9)圓截面的圓截面的扭轉截面系數扭轉截面系數極慣性矩極慣性矩材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉30(2)(2)空心圓截面空心圓截面 44442232p13232 d2da a DdDAIDdA 4344pp116162/a a DDdDDIW(3-10)(3-11) ddA2 ）（其其中中Dd a a扭轉截面系數扭轉截面系數極慣性矩極慣性矩材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉31以橫截面、徑向截面以及與表面平行的面以橫截面、徑向截面以及與表面平行的面(切

21、向截面切向截面)從受扭從受扭的薄壁圓筒或等直圓桿內任一點處截取一微小的正六面體的薄壁圓筒或等直圓桿內任一點處截取一微小的正六面體單元體。單元體。. 單元體單元體 切應力互等定理切應力互等定理 在桿橫截面內只有切應力在桿橫截面內只有切應力 ，其方向與其方向與y軸軸平行；與桿表面相切的面內無任何應力。平行；與桿表面相切的面內無任何應力。根據單元體受力平衡，根據單元體受力平衡， Fx=0，單元體在單元體在左右兩側面上的內力為左右兩側面上的內力為 dydz，其矩為，其矩為( dydz)dx 力偶；力偶；由由Mz=0 可知，單元體的上、下兩個平面可知，單元體的上、下兩個平面( (即桿的徑向截面上即桿的徑

22、向截面上) )必有大小相等、指向必有大小相等、指向相反的一對力相反的一對力 dxdz，并組成其矩為，并組成其矩為( dxdz)dy 力偶力偶。材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉32即單元體的兩個相互垂直的面上，與該兩個面的交線即單元體的兩個相互垂直的面上，與該兩個面的交線垂直的切應力垂直的切應力 和和 數值相等，且均指向數值相等，且均指向( (或背離或背離) )該兩個面的交線該兩個面的交線切應力互等定理切應力互等定理可得可得(3.12)0 zM由由 yzxxzydddddd 材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉33現分析單元體內垂直于正六面體前、后兩平面的任一現分析單元體

23、內垂直于正六面體前、后兩平面的任一斜截面斜截面 ef ( (如圖如圖) )上的應力。上的應力。. 斜截面上的應力斜截面上的應力材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉34分離體上作用力的平衡方程為分離體上作用力的平衡方程為 0sinsindcoscosdd, 00cossindsincosdd, 0 a aa a a aa a a aa a a aa a a a a a AAAFAAAF利用利用 = ，經整理得經整理得a a a a a aa a2cos,2sin dA材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉35由此可知：由此可知：(1) (1) 單元體的四個側面單元體的四個側面(

24、a a = 0和和 a a = 90)上切應力的絕對值上切應力的絕對值最大最大, ,正應力為零；正應力為零；(2) a a =-45和和a a =+45截面上截面上切應力為零，而正應力的絕對切應力為零，而正應力的絕對值最大；值最大； min45max45，a a a a2sin a a a a2cos (1)(2)即代入即代入(1)(1)式得式得材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉36至于上圖所示單元體內不垂直于前、后兩平面的任意斜截至于上圖所示單元體內不垂直于前、后兩平面的任意斜截面上的應力，經類似上面所作的分析可知，也只與單元體面上的應力，經類似上面所作的分析可知，也只與單元體四

25、個側面上的切應力相關。因此這種應力狀態稱為四個側面上的切應力相關。因此這種應力狀態稱為純剪切純剪切應力狀態應力狀態。材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉37低碳鋼扭轉試驗演示低碳鋼扭轉試驗演示材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉38低碳鋼扭轉破壞斷口低碳鋼扭轉破壞斷口 對于對于剪切強度低于剪切強度低于拉伸強度拉伸強度的材料，的材料，其破壞是其破壞是由橫截面由橫截面上的最大切應力引上的最大切應力引起的，破壞從桿的起的，破壞從桿的最外層沿橫截面發最外層沿橫截面發生剪切而產生的生剪切而產生的。材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉39鑄鐵扭轉破壞試驗演示鑄鐵扭轉破壞試驗演

26、示材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉40鑄鐵扭轉破壞斷口鑄鐵扭轉破壞斷口對于對于拉伸強度低于拉伸強度低于剪切強度剪切強度的材料，的材料，其破壞是其破壞是由由-45 -45 斜截面上的最大切斜截面上的最大切應力引起的，破壞應力引起的，破壞從桿的最外層沿與從桿的最外層沿與桿軸線成桿軸線成4545的螺的螺旋形曲面發生拉斷旋形曲面發生拉斷而產生而產生。材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉41直徑為直徑為d1的的實心圓軸實心圓軸(圖圖a)和內、外直徑分別為和內、外直徑分別為d2和和D2，ad2/D2=0.8的的空心圓軸空心圓軸(圖圖b)，兩軸的材料、，兩軸的材料、長度長度l，扭矩，

27、扭矩Me分別相同。試求在兩種圓軸分別相同。試求在兩種圓軸在橫截面在橫截面上最大切應力相等上最大切應力相等的情況下，的情況下，D2與與d1之比以及兩軸之比以及兩軸的重量比。的重量比。例題例題 3-2材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉4231e1pe1p1max, 116dMWMWT 432e2pe2p2max, 2116a a DMWMWT 4322p311p116,16a a DWdW1. 1. 分別求兩軸的最大切應力分別求兩軸的最大切應力例題例題 3-2)(pmaxWT 代入代入(3-7)(3-7)得得(1)(2)兩軸橫截面的扭轉兩軸橫截面的扭轉截面系數分別為：截面系數分別為：材

28、料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉43194. 18 . 0113412 dD由由 1,max= 2,max，比較比較(1)(1)、(2)(2)式并將式并將a a 0.8代入得代入得因為兩軸的長度因為兩軸的長度 l 和材料密度和材料密度 相同，所以相同，所以兩軸的兩軸的重量比即為其橫截面面積之比重量比即為其橫截面面積之比 512. 08 . 01194. 1144222122221222212 dDddDAAa a例題例題 3-22. 求求D2/d1和二軸重量之比。和二軸重量之比。材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉44切應力的分布規律如圖切應力的分布規律如圖c、d所示：所

29、示：當當 maxmax 時，實心軸圓心附近的切應力還很小，這部分時，實心軸圓心附近的切應力還很小，這部分材料沒有充分發揮作用，空心軸可以提高材料的利用率。材料沒有充分發揮作用，空心軸可以提高材料的利用率。 但應注意但應注意過薄的圓筒受扭時容易發生皺折過薄的圓筒受扭時容易發生皺折，還要注意，還要注意加上成本和構造上的要求等因素。加上成本和構造上的要求等因素。zmaxd1(c) maxD2d2(d)例題例題 3-2材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉45. 強度條件強度條件max 此處此處 為材料的為材料的許用切應力許用切應力。對于等直圓軸代入。對于等直圓軸代入(3-7)(3-7)式亦即

30、式亦即pmax WT鑄鐵等脆性材料制成的等直圓桿扭轉時，雖沿斜截面鑄鐵等脆性材料制成的等直圓桿扭轉時，雖沿斜截面而發生脆性斷裂，但由本節的而發生脆性斷裂，但由本節的“斜截面上的應力斜截面上的應力”知，知，斜截面上的拉應力與橫截面上的切應力有固定關系，斜截面上的拉應力與橫截面上的切應力有固定關系，故仍可以切應力和許用切應力來表達強度條件。故仍可以切應力和許用切應力來表達強度條件。pmaxWT (3.13)(3.14)a a a a a aa a2cos,2sin 材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉46 圖示階梯狀圓軸，圖示階梯狀圓軸，AB段直徑段直徑d1=120 mm，BC段段直徑直

31、徑d2=100 mm。扭轉力偶矩。扭轉力偶矩MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的許用切應力，材料的許用切應力 =80 MPa。試校核該軸的強度。試校核該軸的強度。例題例題 3-4材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉471. 1. 繪扭矩圖繪扭矩圖例題例題 3-4解：解：材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉48AB段內段內 MPa8 .64Pa108 .64 m1012016mN102263331p1max, 1 WT 2. 2. 分別求每段軸橫截面上的最大切應力分別求每段軸橫截面上的最大切應力例題例題 3-4pmaxWT 162/3ppd

32、dIW 材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉49BC段內段內 MPa3 .71Pa103 .71 m1010016mN101463332p2max,2 WT 2. 求每段軸的橫截面上的最大切應力求每段軸的橫截面上的最大切應力例題例題 3-4材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉503. 3. 校核強度校核強度例題例題 3-4階梯狀圓軸，其階梯狀圓軸，其 ，必須綜合考慮必須綜合考慮扭矩扭矩T和和Wp兩個因素，兩個因素，AB段的扭矩大，直徑段的扭矩大，直徑d1也大，也大，BC段的扭矩小，直徑也小，必須分別段的扭矩小，直徑也小，必須分別計算兩段軸的計算兩段軸的 max，經比較后才能

33、確定經比較后才能確定 max。maxpmax)(WT 2,m =71.3MPa 1,m=64.8MPa 且有且有 2,max0j jAC0j jBA、j jAC的轉向如圖所示的轉向如圖所示。(a)j jBA 材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉58. 剛度條件剛度條件此時，等直圓桿在扭轉時的剛度條件表示為此時，等直圓桿在扭轉時的剛度條件表示為(即將即將(3-5)式代入上式式代入上式)：對于精密機器的軸對于精密機器的軸j j0.150.30 ()/m； 對于一般的傳動軸對于一般的傳動軸j j2 ()/m。maxj jj j 180pmaxj j GIT()()(ddpradGITx j

34、 jj j(3.17)(3.18)式中的許可單位長度扭轉角式中的許可單位長度扭轉角j j的常用單位是的常用單位是()/m。材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉59由由45號鋼制成的某空心圓截面軸，內、外直徑號鋼制成的某空心圓截面軸，內、外直徑之比之比a a = 0.5 。已知材料的許用切應力已知材料的許用切應力 = 40 MPa，切變模量切變模量G=80GPa。軸的最大扭矩軸的最大扭矩Tmax=9.56 kNm，許可單位長度扭轉角許可單位長度扭轉角j j=0.3 ()/m。試選擇軸的直徑。試選擇軸的直徑。例題例題 3-6材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉601. 按強度條

35、件求所需外直徑按強度條件求所需外直徑D ，因因161516116343p DDWa a109mmm10109Pa10401615mN1056. 916161516363max33 TD例題例題 3-6解：解：，有有由由 pmaxmax WTpmaxWT 材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉612. 按剛度條件求所需外直徑按剛度條件求所需外直徑D 有有由由因因180 ,161532132pmax444pj ja a GITDDI125.5mmm105 .125m/ )(3 . 011801615Pa1080mN1056. 9321180161532393max44 j jGTD例題例題

36、 3-6109mm D強度條件要求強度條件要求180pmax GIT材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉62mm75.62 d3. 空心圓截面軸所需外直徑為空心圓截面軸所需外直徑為D125.5 mm(由剛度由剛度條件控制條件控制)，內直徑則根據，內直徑則根據a = d/D = 0.5知知例題例題 3-6109mm D強度條件要求強度條件要求125.5mm D剛度條件要求剛度條件要求材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉633-6 等直圓桿扭轉時的應變能等直圓桿扭轉時的應變能純剪切應力狀態下的應變能密度純剪切應力狀態下的應變能密度對處于純剪切應力狀態的單元體對處于純剪切應力狀態

37、的單元體(圖圖a)，為計算其上的，為計算其上的外力所作功外力所作功dW，可使左側面不動，此時的切應力可使左側面不動，此時的切應力 僅發僅發生在豎直平面內，且只有右側面上的生在豎直平面內，且只有右側面上的外力外力 dydz在相應在相應的的位移位移g g dx上作功。上作功。材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉64 zyxxzyWddd21ddd21d g gg g 于是，當材料在線彈性范圍內于是，當材料在線彈性范圍內工作工作時時( p，圖，圖b)，有，有材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉65由剪切胡克定律由剪切胡克定律 =Gg g，該應變能密度的表達式可寫為該應變能密度的表

38、達式可寫為 g g g g21dddddd21dddd zyxzyxVWVVv2222g g GvGv 或或單元體內蓄積的應變能單元體內蓄積的應變能dVe e數值上等于單元體上外力數值上等于單元體上外力所作功所作功dW，即即dVe e=dW 。(3-19) zyxxzyWddd21ddd21d g gg g ee21 v單元體單位體積內的應變能，亦即純剪切應力狀態單元體單位體積內的應變能，亦即純剪切應力狀態下的下的應變能密度應變能密度為為材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉66等直圓桿在扭轉時積蓄的應變能等直圓桿在扭轉時積蓄的應變能 lAVxAvVvVdddGv22 pIT (3-2

39、0)在扭矩在扭矩T為常量時，長度為為常量時，長度為 l 的等直圓桿所蓄積的應變能為的等直圓桿所蓄積的應變能為p222p22p22d2dd21dd2GIlTAITGlAITxGxAGVAAlAl 由由 可知，亦有可知，亦有pGITl j j2p2j jlGIV (3-21a)(3-21c)材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉67當等直圓桿各段橫截面上的扭矩不同時當等直圓桿各段橫截面上的扭矩不同時，整個桿內蓄積的，整個桿內蓄積的應變能為應變能為 niiiniiilGIVGIlTV12p1p22,2j j亦亦即即p22121GIlTTWV j j在線彈性范圍內工作的等直圓桿，在扭矩在線彈性

40、范圍內工作的等直圓桿，在扭矩T為常量，其長度為常量，其長度為為 l 范圍內的應變能亦可如下求得：范圍內的應變能亦可如下求得：結果與前頁用應變能結果與前頁用應變能密度積分得的密度積分得的(3-21a)結果相同結果相同.材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉68試推導密圈圓柱螺旋彈簧試推導密圈圓柱螺旋彈簧(螺旋線螺旋線升角升角a 5)受軸向壓力受軸向壓力(拉力拉力)F 作作用時，簧桿橫截面上應力和彈簧用時，簧桿橫截面上應力和彈簧縮短縮短(伸長伸長)變形的近似計算公式。變形的近似計算公式。已知：簧圈平均半徑已知：簧圈平均半徑R，簧桿直徑，簧桿直徑d，彈簧的有效圈數，彈簧的有效圈數n，簧桿材料

41、，簧桿材料的切變模量的切變模量G。設。設d(2R)。例題例題 3-7材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉691. 用截面法求簧桿橫截面上的內力用截面法求簧桿橫截面上的內力對于密圈螺旋彈簧可近似對于密圈螺旋彈簧可近似認為螺旋線升角認為螺旋線升角a0o，簧，簧桿的橫截面就在外力桿的橫截面就在外力F作用作用的彈簧軸線所在縱向平面的彈簧軸線所在縱向平面內，由圖內，由圖b所示的分離體的所示的分離體的平衡方程得平衡方程得剪力剪力 FS =F扭矩扭矩 T =FR(b)例題例題 3-7解：解：R材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉702. 求簧桿橫截面上的應力求簧桿橫截面上的應力33pma

42、x1616dFRdFRWT 簧桿橫截面上與剪力簧桿橫截面上與剪力FS相應的切應力通常遠小于與扭矩相應的切應力通常遠小于與扭矩T 相應的切應力相應的切應力，故在求近似解時將前者略去。，故在求近似解時將前者略去。例題例題 3-7Rd因為因為d(2R)，故在求簧桿橫截面上扭轉切應力時，故在求簧桿橫截面上扭轉切應力時，略去略去簧圈的曲率影響，按直桿公式計算簧圈的曲率影響，按直桿公式計算。于是有。于是有材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉713. 求彈簧的縮短求彈簧的縮短(伸長伸長)變形變形D DFW21 當彈簧所受外力當彈簧所受外力F不超過不超過一定限度時，變形一定限度時，變形D D與與外力外力F成線性關系成線性關系(如圖如圖c)。(c)例題例題 3-7于是外力所作的功為于是外力所作的功為材料力學材料力學()電子教案電子教案扭扭 轉轉72 不計不計FS的影響，并忽略簧桿的曲率，的影響，并忽略簧桿的曲率，簧桿內的應變能簧桿內的應變能Ve e為為(用用(3-21a)的直桿公式的直桿公式): p2p2p2222GIRnFRGIRnFRGIlTV 式中式中l =2 Rn，表示簧桿軸線的全長，表示簧桿軸線的全長，Ip為簧桿橫截面的極慣性矩。為簧桿橫截面的極慣性矩。43p2p2642,)(21GdnFRGIRnFRGIRnFRF 得得D