1、室內空氣流動數值模擬誤差預處理法    Error-pretreatment method for numerical simulation of indoor air flow         摘要：為加快室內空氣流動數值模擬計算收斂速度，基于對多重網格法關于高頻和低頻誤差的思想，采用誤差預處理法對室內氣流動的離散代數方程組進行由粗到細網格上的迭代求解。用該方法和傳統迭代法對室內空氣等溫和非等溫流動分別進行模擬，其對比結果表明，誤差預處理算法顯著提高室內空氣流動數

2、值模擬的收斂速度，可將收斂時間減小到原來的1/31/2。關鍵詞：室內空氣流動；誤差預處理法；數值模擬；誤差 Abstract: Since the multi-grid method is not proper for numerical procedures based on SIMPLE, a simpler and more effective algorithm to solve the algebraic equations, the error-pretreatment method, is proposed to accelerate convergence for indoor

3、 air flow simulation. The algorithm is abased on the theory that iteration errors can be divided into high frequency and low frequency ones. Two isothermal and non-isothermal indoor airflow examples were simulated with this method and the conventional iteration method. The error-pretreatment method

4、improves the convergence speed for numerical simulation of indoor airflow by reducing convergence time by 1/21/3.Key words: indoor airflow; error-pretreatment method; numerical simulation; error    如何快速、準確地模擬和預測工程中需要優化或進行比較的大量工況，一直是CFD（computational fluid dynamics）技術應用于空調通風房間內空氣流

5、動的數值模擬仿真存在的問題。作為室內空氣流動數值模擬主要組成部分的代數方程求解算法，對計算速度有著很大影響。多重網格法對加快控制室內空氣流動的非線性N-S方程的迭代計算收斂速度比較有效1，但是對于室內空氣流動數值模擬常用的SIMPLE （semi-implement method of pressure linked equation）算法而言，多重網格法的收斂加速效果并不顯著1。基于多重網格法的思想，提出了適于SIMPLE算法的誤差預處理方法，以加快迭代計算的收斂速度，更好地適應工程需要。1 高頻和低頻誤差理論首先簡要介紹多重網格法關于高頻和低頻誤差的理論。因為對任意形狀計算域中的任意形狀的

6、網格，總可以使用保角變換把它們變到矩形計算域上的矩形網格。所以以下討論均基于矩形計算域和矩形網格。任給定一個劃分好網格的計算域，總可以把它劃分為A×B×C個區域，使得每個區域上的網格分別在3個方向上是均勻的。設f（x, y, z）為差分后的初始誤差，第（u, v, ）區域的尺寸為2au × 2bv × 2c，網格數為M u × N v× K。在每個區域內，3個方向上分別只有周期等于或低于2M u ，2N v，2K的分量能夠被表示出來。因此： Ai,j,k,u,v,w sin +B I，j,k,v,w cos ·Ci,j,k,

7、u,v,w sin +Di j,k,v,w cos ·Ei,j,k,u,v,w sin +F i,j,k,v,w cos ， Ai,j,k,u,v,w ，Bi,j,k,u,v,w ，Ci,j,k,u,v,w ，Di,j,k,u,v,w ，Ei,j,k,u,v,w ，Fi,j,k,u,v,w (u , v , w)Ai,j,k,u,v,w ，Bi,j,k,u,v,w ，Ci,j,k,u,v,w ，Di,j,k,u,v,w ，Ei,j,k,u,v,w ，Fi,j,k,u,v,w = 常數 Ai,j,k,u,v,w ，Bi,j,k,u,v,w ，Ci,j,k,u,v,w ，Di,j,k,u

8、,v,w ，Ei,j,k,u,v,w ，Fi,j,k,u,v,w (u , v , w) Ai,j,k,u,v,w ，Bi,j,k,u,v,w ，Ci,j,k,u,v,w ，Di,j,k,u,v,w ，Ei,j,k,u,v,w ，Fi,j,k,u,v,w = 0 （1）其中：t x,u,v,w =0,1,，M u ；t y,u,v,w =0,1,，N v ；t z,u,v,w =0,1,，Kw ； 根據多重網格理論，I / M u ，j / N v，k/K 小的項（稱為"低頻誤差"），收斂速度很慢，是妨礙迭代法快速收斂的主要因素。而如果減小M u ， N v， K ，即把網

9、格粗化，就可以使誤碼差頻率變高，并使一部分細網格上的低頻誤差轉達化為粗網格上的高頻誤差。如果交替運用粗細網格進行迭代，利用粗網格快速消除低頻誤差，在細網格上提高精度，就可以加快收斂速度。2 誤差預處理的基本思想和算法21 誤差預處理法傳統迭代法是在整個計算區域的所有網格上同時進行迭代計算至收斂。但如果能先求出一些點的值，然后再根據它們來預測所有點的值，只要預測方法得當，從誤差削減的角度而言，就可以獲得比迭代法高得多的效率。可先在粗網格上迭代計算至問題收斂，然后借助該預測方法把粗網格上的值映射到細網格上作為迭代初值，再進行迭代計算直至收斂。該方法的基本思想在于通過在粗網格上用比較少的時間（相對于

10、在細網格上迭代）來獲得問題的大致描述，以便通過線性插值大量削減誤差，稱其為"誤差預處理法"。假設已知如圖1計算域中點A，B，C，D，E，F，G，H的真實值。各點坐標分別為：A（x - d a , y + d y , z + d z） B（x + d x , y + d y , z + d z）C（x - d a , y + d y , z - d c）D（x + d x , y + d y , z - d c）E（x - d a , y - d b , z + d z）F（x + d x , y -d b , z + d z）G（x - d a , y - d b , z

11、- d c）H（x + d x , y - d b , z - d c）圖1 計算示意圖由流體流動的輸運控制方程可知，點I上的值只受其相鄰點上的值的影響，即只受A，B，C，D，E，F，G，H點的影響。因此，可以用這些點上的值來預測一個誤差比較小的I的估計值。很自然，用這8個點的加權平均值作為I的值：P （I）= MA f (A) + M B f (B) + MC f (C) + MD f (D) + ME f (E) + MF f (F) + MG f (G) + MH f (H), (2)其中，P（I）表示預測值，f( * ) 表示相應點的真實值，M x表示加權系數：由守恒律，有：MA +

12、M B + MC + MD + ME + MF + MG + MH = 1 (3)離I比較近的點對I的影響應該比較大，即較近的點加權系數應較大。結合式（3），可以根據面積律導出加權系數1：MA =(d x × d b × d c )/(d x + d a )(d y + d b )(d z + d c )MB =(d a × d b × d c )/(d x + d a )(d y + d b )(d z + d c )MC =(d x × d b × d z )/(d x + d a )(d y + d b )(d z + d c

13、)MD =(d a × d b × d z )/(d x + d a )(d y + d b )(d z + d c )ME =(d x × d y × d c )/(d x + d a )(d y + d b )(d z + d c )(4)MF =(d a × d y × d c )/(d x + d a )(d y + d b )(d z + d c )MG =(d x × d y × d z )/(d x + d a )(d y + d b )(d z + d c )MH =(d a × d y

14、× d z )/(d x + d a )(d y + d b )(d z + d c )將式（4）代入式（2），得P（ x , y , z ）= (d a × d b × d c )f (x + d x,y +d y,z + d z)+(d a × d b × d z )f (x + d x,y +d y,z - d c)+(d a × d y × d c )f (x + d x,y -d b,z + d z)+(d a × d y × d z )f (x + d x,y -d b,z - d c)+(d

15、 x × d b × d c )f (x - d a,y +d y,z + d z)+(d x × d b × d z )f (x - d a,y +d y,z - d c)+(d x × d y × d c )f (x - d a,y -d b,z + d z)+(d x × d y × d z )f (x - d a,y -d b, z - d c) /(d x + d a )(d y + d b )(d z + d c ) (5)顯然，實際物理問題的解都是簡單函數。故由Taylor公式，有f ( x+d x,

16、y + d y,z + d z) = f (x, y, z)+ fx (x, y, z)dx + fy (x, y, z)dy+ f z (x, y, z)dz + O (d x2 + d y2 + d z2) (6)類似寫出其它項，把它們代入式（5），并考慮到O (d x2 ) = O (d a2 )，O (d y2 ) = O (d b2 )，O (d z2 ) = O (d c2 )(7)可以得出： P（x, y, z）-f（x, y, z）= O (d x2 + d y2 + d z2) (8)上式表明上述插值方法具有二階精度，而且它是顯式方法，效率遠遠高于迭代方法。綜上所述，誤差預處

17、理的算法如圖2所示。圖2 誤差預處理法的計算流程 圖2中當運算進行到限制和插值時即采用上述的預測方法。由此可見，誤差預處理法本身不僅是數學方法，而且也蘊涵了一定的物理意義。 22 誤差預處理法計算速度分析如前所述，對一個數值模擬過程，先把細網格合并成粗網格進行計算，得到問題的一個粗略描述，通過它們預測出細網格上的估計值，以其為初值再進行迭代。由于在粗網格上的每一步計算量大大低于在細網格上的計算量，而且預測過程的誤差消除效率高于迭代法，故只要將由粗網格迭代和網格值映射所帶來的迭代步數的增加控制在一定范圍以內，就可以加快迭代收斂速度。對一維問題，由細網格生成的粗網格的數目大約是細網格數止的1/2，

18、對于三維問題，大約為1/8。SIMPLE算法每次迭代的計算量大約正比于網格數，故對實際三維工程問題，細網格上每項次迭代的計算量是粗網格上的8倍。設普通迭代法需要M步收斂，耗時T（M）；誤差預處理法在粗網格上迭代Na步，在細網格上迭代N步后收斂，各耗時Ta (Na)，T（N）。如果誤差預處理法有效，即T（M）> Ta (Na)+T（N）, (9)而Ta (Na)+T（N）T (Na/8) +T（N）= T (Na/8+N） (10)應滿足Na/8+N< M （11）在實踐中我們發現，一般的工程問題都是符合這一條件的。另外，由于每次粗網格上的迭代計算量僅約為細網格上的1/8，因此粗網格

19、上的迭代時間約為細網格迭代時間的1/8。所以，采用三層或三層以上的網格所能節省的時間是非常有限的，最多不超過由細網格直接生成的第一層粗網格上的迭代時間，即細網格迭代時間的1/8。故我們認為，在誤差預處理法中，采用粗細兩重網格已經足夠了。誤差預處理法比多重網格法更簡單，且易實現，它適用于SIMPLE算法，從而避免了多重網格法對基于SIMPLE算法的迭代計算收斂不快的缺點。實際上，任何基于差分議程格式的迭代法都可以運用誤差預處理法。根據誤差預處理法的算法過程，只要原方法有效準確，誤差預處理法就有效準確。3 算例驗證和對比為檢驗誤差預處理法的有效性，這里用兩個較為典型的算例進行驗證。例1 房間等溫通

20、風文2對室內等溫通風進行了測試，測試條件見文3 。 房間結構示意圖見文3中圖6，模擬結果和實驗數據的對比參見文3中圖7。由文3中圖7可以看出，采用誤差預處理法的計算結果和實驗結果吻合得很好，而對于同樣的計算網格而言，采用誤差預處理法計算達到收斂結果的時間比不采用該法在單層網格上計算達到收斂的時間為短。表1列出采用誤差預處理法和傳統的數值計算方法對同樣計算網格計算所用收斂時間的比較。誤差預處理法所用的時間只是傳統迭代法的577%。表1 誤差預處理法和傳統迭代法計算時間比較    計算方法    網格劃分 &

21、#160;  計算至收斂時間/min    例1    例2    例1    例2    誤差預處理法傳統迭代法    32×32×32    32×32×32    180   

22、0;314    36×36×32    36×36×32    312    501 例2 室內非等溫流動文4對室內非等溫流動進行了測試，測試條件見文3。房間結構如文3中圖8所示。測試結果如文3中的圖9所示。表1列出了本算例采用誤差預處理法和傳統的數值計算方法對同樣計算網格計算所達收斂時間的比較。在這個算例中，誤差預處理法所用時間是傳統迭代法的627%。此外，筆者進行的其它一些和傳統迭代方法比較的算例均表明，誤差預處理法要比傳統迭代法快1/21/3。這說明誤差預處理法可以在保證精度的同時，顯著而有效地加快室內空氣流動數值模擬的速度。4 結論誤差預處理法基于多重網格法的思想，但比多重網格法易于實現，且避免多重網格法配合基于SIMPLE算法計算收斂速度不理想的缺點。本文列舉的等溫和非等溫室內空氣流動算例表明，誤差預處理結合SIMPLE算法進行通風空調房間內空氣流動數值模擬可有效加快迭代計算的收斂速度約1/21/