1、第六講 第4章 立體的投影（二）本講的學習目標：掌握平面與平面立體、平面與曲面立體截交線的性質和作圖方法。學習的重點：平面與平面立體、曲面立體截交線的求解方法。 4.3 平面體的截交線截平面與立體表面的交線稱為截交線，截交線具有這樣的性質：它既在截平面上，又在立體表面上，是截平面與立體表面的共有線。平面體的截交線，是由平面體被平面切割后所形成。如圖4-21所示   圖4-21 平面體的截斷 平面體截交線的形狀是由直線段圍成的平面多邊形。多邊形的頂點是立體棱線與截平面的交點，多邊形的各邊是截平面與立體表面上不同平面的交線。【例4-8】 如圖4-22所示，求正垂面P與

2、四棱柱的截交線。 （a）立體圖 （b）已知條件 （c）作圖圖4-22 正垂面P與三棱柱的截交線作圖（1）過正面投影上截交線頂點，向左引投影連接線與對應的側棱投影相交得到四個點；（2）順序連接各點，得截交線W投影，為可見。 【例4-9】 如圖4-23所示，已知帶缺口三棱柱的V投影和H投影輪廓，補全三棱柱的H投影和W投影。（a）已知條件 （b）作圖圖4-23 求帶缺口的三棱柱的三面投影作圖（1）仔細觀察V投影，將各截平面圖形的頂點編號。P平面截交線上各點為1、2、3、4，Q平面截交線上各點為3、4、5、6，R平面截交線上各點為5、6、7、8；（2）各交點向H投影引投影連線，得到各交點的H

3、投影；（3）順序連接各截平面上的交點，并判斷其可見性，補全H投影；（4）由H、V投影，畫出三棱柱輪廓線和各交點的W投影；（5）連接相關交點，判斷截交線的可見性，補全W投影。 【例4-10】 如圖4-24所示，求正垂面與三棱錐的截交線。 （a）已知條件 （b）作圖 圖4-24 求正垂面P平面與三棱錐截交線的投影作圖（1）過1、2、3向下引投影連接線，與sa、sb、sc相交，得1、2、3；（2）過1、2、3向側面引投影連接線，與sa、sb、sc相交，得1、2、3；（3）連接各交點的同面投影，并判斷可見性，即為所求。三棱錐各棱面H投影皆可見，故截交線水平投影都可見。側面投影中，三

4、棱錐棱面SBC不可見，故處于其上的23段截交線不可見。【例4-11】 如圖4-25所示，求P、Q兩平面與三棱錐截交線的投影。  （a）立體圖 （b）已知條件 （c）作圖圖4-25 求P、Q兩平面與三棱錐截交線的投影 作圖（1）在V投影上直接標出PQ兩平面與棱線SA的交點1 和4，以及兩平面PQ的交線的V投影2(3)，由1和4求出1和4，1和4；（2）在H投影面上，作42/ab，43/ac，由投影2、(3)點向下引投影連接線，求出H投影2、3。（3）由點2、3的H、V投影，分別求出其W投影。（4）順序連接各交點的同面投影，并判斷可見性，即為所求。只有線段23的H投影

5、為不可見，其它都可見。  4.4 曲面體的截交線曲面立體的截交線，一般是封閉的平面曲線，有時是曲線和直線組成的平面圖形，如圖4-26所示。 圖4-26 曲面立體截交線的形狀截交線上的點一定是截平面與曲面體的公共點，只要求得這些公共點，將同面投影依次相連即得截交線。當截平面切割圓柱體和圓錐體時，圓柱體的截交線出現圓、橢圓、矩形三種情況，如表4-1所示。 平面與圓柱截交線的三種情況 表4-1 平行于圓柱軸線垂直于圓柱軸線傾斜于圓柱軸線截平面位置截交線直線圓橢圓投影圖   當截平面與圓錐體軸線的相對位置不同時，圓錐體的截交線出現圓、橢圓、拋

6、物線、雙曲線、三角形五種情況，如表4-2所示。平面與圓錐截交線的五種情況 表4-2 立體圖截交線投影圖截平面垂直于圓錐的軸線 圓截平面與圓錐的所有素線都斜交橢圓截平面平行于圓錐的一條素線拋物線截平面平行于圓錐的兩條素線雙曲線截平面通過圓錐錐頂三角形 當截平面切割圓球體時，無論截平面與圓球體的相對位置如何，截交線的形狀都是圓，如圖4-26所示。求曲面體截交線的方法可分為兩類：（1）素線法：選取曲面上一系列素線，求它們與截平面的一系列共有點的方法。（2）緯圓法：選取曲面上一系列緯圓，求它們與截平面的一系列共有點的方法。在實際解題時，往往是兩種方法聯用。【例4-12】

7、如圖4-27所示，求正垂面P與正圓柱的截交線。 (a) 已知條件 （b）求特殊點 （c）求一般點、連線并判斷可見性圖4-27 求正垂面P與正圓柱的截交線作圖1求特殊點 （1）曲面投影輪廓線上的點，多數情況下它們也是截交線各投影的可見性分界點；（2）能夠確定截交線投影范圍的邊界點，如截交線上最高、最低點，最前、最后點，最左、最右點等。（3）能夠確定截交線投影幾何形狀的點（如橢圓長軸、短軸的端點）。2求一般點在正面投影的特殊點之間選取5（6）、7（8），先求出對應的水平投影，然后再求出其側面投影。也可在水平投影中的特殊點之間取四個對稱位置的中間點5、6、7、8，先求出它們的正面投影，然后再求出其側

8、面投影。3連線并判斷可見性圓滑連接側面投影中所求各點（連接時注意橢圓的對稱性），其中3-7-8-4段位于圓柱右半部，側面投影為不可見，畫成虛線。從圖4-27（c）中可以看出：在W面投影中，截交線橢圓的投影將隨著截平面與水平線的夾角而變化。          圖4-28 截交線橢圓與夾角的關系【例4-13】 如圖4-29所示，求正垂面P與圓錐的截交線 (a)已知條件（b）求截交線上的特殊點 （c）求截交線上的一般點（d）連點并判斷可見性圖4-29 求正垂面P與圓錐的截交線作圖 1求特殊點（1）截交線的最高、最低點、；

9、先在正面投影中標出1、2，再求其水平投影和側面投影。（2）截交線側面投影的可見性分界點、；先標出3、（4），再利用投影關系直接求出3、4，最后求出3、4。（3）橢圓長短軸的端點橢圓的長軸位于截平面內過橢圓中心的正平線上，其兩端為、點。根據長短軸相互垂直且平分的幾何關系，可知短軸是一正垂線，其正面投影5、（6）積聚為一點，位于長軸正面投影的中點處。過5、（6）作緯圓，即可求出5、6和5、6。2求一般點在已求出的特殊點之間空隙較大位置上再標出7、8兩點，利用素線求出7、8和7、8，如圖4-29（c）3連接各點并判斷可見性按照-的順序將所求各點的水平投影及側面投影圓滑連接成橢圓（注意對稱性）。由于-段位于右半側圓錐面上，故其側面投影為不可見，畫成虛線。【例4-14】求圓錐體被三個截面截切后的水平投影和側面投影。 （a）已知條件 （b）作圖 圖4-30 圓錐體被三個截面截切后的投影 本講小結1平面立體是由多個平面多邊形組成的，常見的如棱柱、棱錐等。2曲面立體多是曲面回轉體，由曲面或曲面和平面組成的，常見的如圓柱、圓錐、圓球等。3截交線的求解。截交線是由平面與立體相交產生的。當平面與平面體相交