1、章末復習提升課Jk知識網(wǎng)絡(luò)體系構(gòu)建吏題雲(yún)破2JS密髙考專題突破專題G)利用正、余弦定理解三角形高考對本專題考査內(nèi)容主要為利用正、余弦定理，根據(jù)三角形中的已知條件，求解未知邊、角的問題各類題型都可能出現(xiàn),若以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬簡單題；若以解答題的形式出現(xiàn)，屬中等難度題.丄例1(1)(2015-高考廣東卷)設(shè)的內(nèi)角4, “，C的對邊分別為4，b, C若“= J3,1-2C=&,貝lj b(2)設(shè)MBC的內(nèi)角A, B, C所對的邊長分別為a, b, c9且4 cosB=g> 6=2. 當4=30°時，求a的值； 當AABC的面積為3時，求a+c的值.解 在AABC中

2、，因為sin B=v 0<B<tt,所以或 =§r又因為 B+C<nf C=§ 所以 =?，所以 A=?r 筑因為金=島，所以心豐£=1故填143(2XD因為 cos所以 sin=g由正弦定理血=sih，可得為=學所以心；因為的面積S=于rcsin，sin"3一&3所以J5"c=3, ac = 10由余弦定理 *2=a2+c22accosB,Si得 4=a2+c2ac=a2+c2 69 即 2+c2 = 20.所以(o+c)2Mc=20, («+c)2=40所以a+c=2 J10應(yīng)用正、余弦定理的注意事項(1

3、) 正弦定理和余弦定理揭示了三角形邊角之間的關(guān)系，解 題時要根據(jù)題目條件恰當?shù)貙崿F(xiàn)邊角的統(tǒng)一.(2) 統(tǒng)一為“角"后，要注意正確利用三角恒等變換及誘導公 式進行變形；統(tǒng)一為“邊”后，要注意正確利用配方、因式分 解等代數(shù)變換方法進行變形.專題正、余弦定理的實際應(yīng)用正、余弦定理在實際中的應(yīng)用是高考中的熱點，主要考査距離、 高度、角度等問題，試題難度一般.例2 (2014-高考課標全國卷I )如圖，為測量山高MN,選擇 A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得M點的仰 角 ZMAN=60。，C 點的仰角 ZCA»=45°以及ZM”C=75。； 從C點測得NMC4=6

4、0。己知山高BC=10() m,則山高MN=m.解析根據(jù)題圖知，AC=100 m.在厶MAC 中，ZCMA = 180°75°60°=45°.由正弦定理得sin 45°=sin 600= 1WN3 m在ZUMN 中，2M=sin60。，所以 MN = 100 3x =15()(m)答案I 150解決這類題目，一要掌握仰角、俯角和方位角等常用術(shù)語; 二要通過審題把己知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形 中，建立一個解三角形的模型；三要利用正、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數(shù)學模型的解.正.余弦定理與三角函數(shù)的綜合(2015-高考浙江卷)在MBC

5、中，內(nèi)角A, B, C所對的邊分別是"，b, c已知/1=務(wù)b2a2=c2.求tan C的值；(2)若AAffC的面積為3,求方的值.解由b2-a2=y 及正弦定理得 sin2W|=|sin2C,所以一cos 2fi=sin2C.又由&=£即B+C=,得cos 2B=sin 2C=2sin Ceos C9解得tan C=26）由 tan C=2, Ce（O,兀），得cos C=為 sin ft=sin（4 + C）=sinl+C所以sinB=31010由正弦定理得c =2 2h又因為4=：，；csinA=3,所以 bc=6j2,故b=3正、余弦定理與三角函數(shù)的綜合應(yīng)

6、用（丄）以三角形為載體，以正、余弦定理為工具，以三角恒等變換為手段來考査三角形問題是近年高考的一類熱點丿型.在具體解題時，除了熟練使用正、余弦定理外，也要根據(jù)條件合理選用三角【公式，達到化簡問題的目的.（2）解三角形問題實質(zhì)是幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，即方程 問題，所以利用正、余弦定理解題時，常與平面向量等知識結(jié)合給出問題的條件，這些知識的加入，一般只起到“點綴"作用，難度較小，易于化簡.專題硒）轉(zhuǎn)化與化歸思想例4(1)(2015-高考北京卷)在AABC 中，a=4, b=5.c=6,則譬=sm C 在AABC中，u, b9 c分別是角A, B, C的對邊長.已知 br=ac 且 “2

7、c2=acbe.求A的大小;求譽的值.解I (1)由正弦定理得黠=學，由余弦定理得COS 4 =故填1.(2)0因為 b2=ac 且 a2c2=acbct 所以 a2c2=b2be、所以 b'+c'a'=bc,又因為 AG(O°, 180°),所以 A=60°.法一：在AABC中，由正弦定理得sin =妲彤.h r因為方2=如所以J務(wù)法二：在ABC中，由面積公式得lcsin A=|acsin B因為 b2=ac，所以 ftesin A=i2sin B,所以一=sin A=sin 60°二J顫MW在解三角形時，常用正弦定理或余弦定理

8、“化邊為角”或“化 角為邊”，從而發(fā)現(xiàn)三角形中各元素之間的關(guān)系，在實際應(yīng) 用中，也常建立數(shù)學模型將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題來解決 因此要理解并領(lǐng)悟轉(zhuǎn)化與化歸思想，以便應(yīng)用到要解決的問 題中去.jj課堂練習二1.在中，4=7, b=4晶c="13,則ABC的最小角為（）7T 兀a3lk6_ 7T 7TcaDi2解析：選B因為a>b>c,所以C為最小角，由余弦定理得cos Ca2+b2-c272+（4回2 （屈2書一 lab一2x7x4_2,所以 C6-2.在AABC 中，“=3迄，b=2©, cos C=y 則 AABC 的面積為（）A3a/3B2寸3C 4 J 3

9、D3解析：選C因為cos C=|, 0<C<n,所以sinC=¥,所以 SuBc=2bsin C=2><3 23.設(shè)人/+1,1+2是鈍角三角形的三邊長，則I的取值范圍是（）A. 0</<1B 1</v3C- 3</<4D. 4</<6解析：選B因為Z, /+!, 1+2是鈍角三角形的三邊長, 所以 Z>0,且 /+2</+(/4-1),所以/>1.設(shè)最長邊所對的角為C,由題意知，cos C<0,21 (Z4-1)即cos C="+-怒馬二占+22<0,所以需尋V0,即尸一213

10、<0, 1<Z<3,所以 1</v34.已知/MBC的三個內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為b, c9asin Asin B+b cos2A = 2af 貝!J=解析：利用正弦定理，將已知等式化為sin2Asin + sin B cos2A =2sin A,整理，得sin = J2sin A,再利用正弦定理，得b =玄，所以？=吃答案：25在AABC中，邊°,方的長是方程x2-5x+2=0的兩個根,C=60°,則邊c的長為解析：由題意，得"+方=5, ab = 2.由余弦定理，得c2=a2+b2 加方cos <7=/+/血=（“+方）2%方=5?3x2= 19,所以 c =而答案：阿6.在AABC 中，8對11才。一2cos2A=7(1) 求角A的大小；(2) 若“=，3, b+c=3,求力,c的值 解：(1)因為 8sin邏f2cos2A=7, 所以 8c