1、莫愁前路無知己，天下誰人不識君§ 2 怦面向量的數量積第7課時一、 平面向量的數量積的物理背景及其含義 教學目的：1 .掌握平面向量的數量積及其幾何意義；2 .掌握平面向量數量積的重要性質及運算律；3 .了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題；4 .掌握向量垂直的條件.教學重點：平面向量的數量積定義教學難點：平面向量數量積的定義及運算律的理解和平面向量數量積的應用授課類型：新授課教 具：多媒體、實物投影儀內容分析：本節學習的關鍵是啟發學生理解平面向量數量積的定義，理解定義之后便可引導學生推導 數量積的運算律，然后通過概念辨析題加深學生對于平面向量數量積的認識.主要知

2、識點：平面向量數量積的定義及幾何意義；平面向量數量積的5個重要性質；平面向量數量積的運算律.教學過程：一、復習引入：1,向量共線定理 向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零實數 入，使b =入a.2 .平面向量基本定理：如果電是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a ,有且只有一對實數 入1,入2使a = 1le1+入2e23 .平面向量的坐標表不分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.任作一個向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y，使得a = xi + yj把(、y*U做向量a的(直角)坐標，記作a=(x，y)4 .平面向量的坐

3、標運算若 a=(x1,yi) b =a2。2),則 a+b =(X+x2，yI + y2), a b = (X x2, y1 一 y?),a = (' x, 1 y) .若 A(x1，yi)Bd9),則 AB, y2 - y1)5 . a / b (b #0)的充要條件是 x1y2-x2y1=06 .線段的定比分點及入P1, P2是直線l上的兩點，P是l上不同于P1, P2的任一點，存在實數 入，使P1P = X PP2 ,入叫做點P分PP2所成的比，有三種情況：5當5小 士 W入0（內分）（外分）入0 （入-1）（外分）入0 （-1入0）7 .定比分點坐標公式：若點P 1 （x1 ,

4、 y1） , P 2 （x2 , y2）,入為實數，且RP =入PP2 ,則點P的坐標為XiX2 y1y2（1 +九, 1 +九），我們稱入為點P分P1P2所成的比.8 .點P的位置與入的范圍的關系：當40時，P1P與PP2同向共線，這時稱點P為P1P2的內分點.9.線段定比分點坐標公式的向量形式:當K 0（'"-1）時，P1P與PP2反向共線，這時稱點P為P1P2的外分點.在平面內任取一點O,設OP1 = a , OP2 = b ,a ； b可得OP= 1 , ,10.力做的功： W = |F| |s|cos 6, 呢 F與s的夾角.二、講解新課：1 .兩個非零向量夾角的概

5、念已知非零向量a與b,作 OA=a, OB = b，則/AOB= 。（ 0 W。今郵a與b的夾角說明：（1）當。=0時，a與b同向；（2）當。=兀時，a與b反向；兀（3）當0= 2時，a與b垂直，記a，b;（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的.范圍 0180C2 .平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量a與b,它們的夾角是 |a|b|cos 5Ua 與 b 的數量積，記作 a b,即有 a b = |a|b|cos u,（0 w。空兀并規定0與任何向量的數量積為0.探究：兩個向量的數量積與向量同實數積有很大區別(1)兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cos 1的

6、符號所決定.(2)兩個向量的數量積稱為內積，寫成 ab；今后要學到兩個向量的外積axb,而a b是兩個向量的數量的積，書寫時要嚴格區分.符號“ ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“x ”代替.(3)在實數中，若 a耙，且a b=0,則b=0;但是在數量積中，若 a加，且a b=0,不能推出 b=0.因為其中cos6有可能為0.(4)已知實數 a、b、c(b旬)，貝U ab=bc = a=c.但是 ab = bc$ a = c 如右圖：a b = |a|b|cos P = |b|OA| , b c = |b|c|cos a = |b|OA| = a b = b c 但 a 豐 c(5)

7、在實數中，有(a b)c = a(bc),但是(a b)c 豐 a(b c)顯然，這是因為左端是與 c共線的向量，而右端是與a共 線的向量，而一般 a與c不共線.3 .“投影”的概念：作圖定義：|b|cos日叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數量，不是向量；當6為銳角時投影為正值；當6為鈍角時投影為負值；當 日為直角時投影為0;當日=0時投影為|b| ;當日=180對投影為 -|b|.4 .向量的數量積的幾何意義：數量積a b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos 6的乘積.5 .兩個向量的數量積的性質：設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.1 e a = ae =|a|c

8、os i2 a lb = a b = 03 口當a與b同向時，a b = |a|b| ;當a與b反向時，a b = -|a|b|.特別的a a = |a|2或|a |二 a aa b4 cos”|a|b|5° |a b| v |a|b|三、講解范例：例1已知|a|=5,|b|=4,a與b的夾角 0 =120o求ab.例 2已知|a|=6,|b|=4,a 與 b 的夾角為 60o 求(a+2b) (a-3b).例3已知|a|=3,|b|=4,且a與b不共線，k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直例4判斷正誤，并簡要說明理由. a 0=0;0 -a = 0 ;0 AB = BA； |

9、 a -b | = I a I I b ) ;若a WQ 則 對任一非零b有ab wo ；a b = 0 ,則a與b中至少有一個為0;對任意向量a, b,c都有(a b) c=a(b )(;a與b是兩個單位向量，則a 2 = b 2.解：上述8個命題中只有 正確；對于：兩個向量的數量積是一個實數，應有 0,a = 0 ;對于 ：應有0 -a = 0;對于：由數量積定義有I a -b | = | a |-| b | -| cos 0 | <| a | I b | ,這里。是a與b的夾角，只有 0=0或。=兀時，才有|,b| = |a|,|b|;對于：若非零向量a、b垂直，有a 9 = 0;

10、對于：由a b = 0可知a，b可以都非零；對于：若a與c共線，記a =入c .則a b =(入上b =入(cb)=入(b,)q(a b) 飛入(b -)c c= (b ,)c 入 6 (b )c a若a與c不共線，則(a,b ) c+b,)ca .評述：這一類型題，要求學生確實把握女?數量積的定義、性質、運算律 例6已知| a | = 3 , | b | = 6 ,當 a / b ,a，b ,a與b的夾角是 60°時，分 別求a b .解：當a / b時，若a與b同向，則它們的夾角 0= 0 °,.a b = | a | ,I b | cos0 = 3X6X4 18;若a

11、與b反向，則它們的夾角 0= 180°,a -b = | a | |b | cos180°=3X6X(-1) =18;當ab時，它們的夾角0=90°,a b = 0 ;當a與b的夾角是 60 °時，有1a ,b = | a | | b | cos60 = 3X6* = 90°, 180°,因此，當 a / b 時， 有 0評述：兩個向量的數量積與它們的夾角有關，其范圍是 或180°兩種可能.四、課堂練習：1 .已知|a|=1 , |b|= ",且(a-b)與a垂直，則a與b的夾角是()A.60 °B.30

12、 °C.135 °D.4 5 °兀2 .已知|a|=2 , |b|=1 , a與b之間的夾角為 3 ,那么向量 m=a-4b的模為A.2B.2 3C.6D.123.已知a、b是非零向量，則A.充分但不必要條件|a|=|b| 是(a+b)與(a-b)垂直的(B必要但不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4 .已知向量 a、b 的夾角為 3 , |a|二2 , |b|=1 ,則 |a+b| |a-b|=.5 .已知a+b=2i-8j, a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐標系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么a b=6 .已知 a±b> c與 a、b 的夾角均為 60°,且 |a|=1 , |b|=2 , |c|=3 ,則(a+2b-c)2 =.7 .已知 |a|=1 , |b|=期2 , (