1、智浪教育一普惠英才文庫數學競賽典型題目（一）1. （2004美國數學競賽）設四,外,凡是整數列，并且他們的最大公因子是1.令S是一個整數集,具有性質：（1） 4eS（i = l,2, i,）（2） cii -ctj e S（i,J e 1,2,）,其中 i, j 可以相同（3） 對于 x, y e S ,若 x + y e S ,則;v y e S證明：S為全體整數的集合。2. （2004美國數學競賽）a/,c是正實數，證明：u + 3）（' b + 3）（c， c +3）N（a + /? + c）33. （2004加拿大數學競賽）T為2004項的所有正約數的集合，求集合T的子集S中的

2、最大可能的元素個數。其中S中沒有兩個元素，一個是另一個的倍數。4. （2004英國數學競賽）證明：存在一個整數滿足下列條件：（1） 的二進制表達式中恰好有2004個1和2004個0；（2） 2004能整除.5. （2004英國數學競賽）在。和1之間,用十進制表示為0。陷2的實數一滿足：在表達式中至多有2004個不同的區塊形式，az003aqz <2004）, 證明：x是有理數。6. （2004亞太地區數學競賽）求所有由正整數組成的有限非空數集S,滿足：如果 e S ,則“ e S（】,）7. （2004亞太地區數學競賽）平面上有2004個點，并且無三點共線，S為通過 任何兩點的直線的集合

3、。證明：點可以被染成兩種顏色使得兩點同色當且僅當 S中有奇數條直線分離這兩點。8. （2004亞太地區數學競賽）證明：是 偶數。ir + n9. （2004亞太地區數學競賽）是正實數，證明:(X2 + 2)(y2 + 2)(Z2 +2)> 9(X)' + yz + 乙r)10. (2003 越南數學競賽)函數/滿足/(cotx) = cos2x + sin2x(Ovxv/F),令g(X)= /(A)/(I - )(-1 < X < 1) » 求 g(X)在區間一 1,1的上最值。11. .(2003 越 南 數 學 競 賽) 定 義p(x) = 4x&quo

4、t; - 2x -15x + 9,q(x) = 12x' +6a2 -7x + l,證明：(1)每個多項式都有三個不同的實根；(2)令A為p(x)的最大實根,B為4(x)的最大實根,證明：A2+3B2=412. (2003越南數學競賽)令F為所有滿足/ : R+ f R+且f(3x)>ff(2x) + x對任意xe/T成立的函數/的集合。求最大實數A使得/(x)N Ax對所有f e F.x e R+都成立。13. (2003美國數學競賽)證明：對于每個，我們可以找到一個位數，他 的所有數字都是奇數，并且可以被5"整除。14. (2003美國數學競賽)一個凸多邊形的所有邊

5、和所有對角線都是有理數， 連接所有的對角線將多邊形分成若干的小凸邊形，證明：所有小多邊形的邊長 都是有理數。15. (2003巴爾干數學競賽)一個矩形ABCD的邊48 =肛40 =%其中見是互質的奇數。矩形被分成了 加個單位正方形，對角線AC交單位正方形于點 A(JA1=A, A, A3,，A、，= C ,證明：AA-, 4A + A3A$1)、AjV = nm16. (2002美國數學競賽)S為含有2002個元素的集合，并且P是S所有子集的集合，證明：對于任意,我們可以將P的個元素染成白色，其余染成黑色，使得P的任何兩個具有相同元素的并集仍有相同的顏色。17. ( 2002美國數學競賽)求所

6、有定義在實數集上的實值函數滿足：f(x2 -y2) = xf(x) - yf(y)對于任意實數x, y成立。18. (2001美國數學競賽)非負實數滿足/+產+不憶=4,證明：智浪教育一普惠英才文庫xyz <xy+ yz + z<xyz + 219. （2002巴爾干數學競賽）數列%:%= 20M2 = 3O,«n+I = 3。“ 一%，求所有 n 使 5a“ +1 是完全平方數。20. （2002巴爾干數學競賽）N為正整數的集合，求所有/:NfN使得 /（/（"） + /（）= 2 + 2001 或 2 + 200221. （2009年協作體）求證：存在無窮多

7、個棱長都是整數的長方體，使其滿足 每個面的面積都是兩個數的平方和，并且其體積等于對角線的平方。22. （200 1巴爾干數學競賽）一個凸五邊形的邊長是有理數，并且5個角相等, 證明：它是正五邊形。23. （ 200 1巴爾干數學競賽）正實數滿足上Wa+ + c,證明： a2 +b2 +c2 > -J3abc24. （200 1加拿大數學競賽）A），A，A2位于半徑為I的圓上，并且不是 直徑，點列月“定義如下：兒,是必-A-zAt的外心，證明：A1,4,a）,A134 A共線，并求所有的A，&使得是一個整數的5 0次暴。A|（km&ooi25 . （ 2002年越南數學競賽

8、）為正整數，證明：方程 一+一+一 =1有唯一的解匕>1, 且-8時，X“f4 x- 22x-n2x-226 . （2001年越南）對于實數a,定義如下數列：入0，內,，.由/ =。，招+1 =xn +sinx” 確定（1）若。=1.證明：對于任何a,數列有極限；（2）若>2.證明：對于某些a,數列沒有極限.27 . （ 2000年越南）定義一個正實數序列：%,為,， %=人， %=#-而+ 3 求所有實數c，使得對所有 e（O,c），數列存在極限 28. （2002波蘭數學競賽）攵是正整數，數列%:4 =k + l-i：k%+k, 證明：數列中的任兩項互質。29. （2001波蘭

9、數學競賽）數列4:演=a,%2 =瓦/+2 =x*i+%，一個數c如果在數列中出現的次數超過1次，就稱它是“重復的"，證明：我們可以選擇。泊使數列中有超過2 0 0 0個重復值，但沒有無窮多個重復值。30. （2001波蘭數學競賽）。海都是整數，使得2"。+ 對所有非負整數都是完全平方數，證明：4 = 031. （2001波蘭數學競賽）數列%定義如下：和外為素數，%為+”,.2 +2000的最大素因子。證明：數列4有界.32. （ 2001波蘭數學競賽）p（x）是一個多項式，次數為奇次，滿足-1） = 對所有X成立。證明：（X）= X33. （1978年國際數學競賽）將集合

10、S = 1,2,3,1978分成六個不同的集合A& = 12345,6）,即S =且Ac4 =中，求證：在某個兒中存在一個元素是其他兩個元素的和或者一個元素是另一個元素的2倍。34. （1999年國際數學競賽）設n是一個固定的正偶數.考慮一塊x的正方板，它被分成2個單位正方格.板上兩個不同的正方格，如果有一條公共邊，就稱它們為相鄰的.將板上N個單位正方格作上標記，使得板上的任意正方格 （作上標記的或者沒有作上標記的）都與至少一個作上標記的正方格相鄰.確 定N的最小值.35. 一個9x9方格能否被15個2x2方格和6個L型方格（由3個小方格組成） 和3個單位方格覆蓋？36. 已知邊長為的

11、正方形及其內部的（ + 1-個點，其中無3點共線，證明：必存在3個點，以其為頂點的三角形的面積不大于237. 已知x是循環節為的純循環小數，y是無限小數，其小數點后的第位與數戈小數點后的第/位的數字相同，問：），是否是有理數？38. 求所有的正整數。淮使得砸2 +/?+1,*2 +6/4-139. %,: x0 = 1,Xj = 3,xn+1 = 6x -,證明：除第一項外，覆中無完全平 方數。40. /。) = "/+以+。是實系數多項式，且對于任何整數與J*。)是完全平方數，證明：f(x) = (ex + d)其中是整數。41. 能否找到含有1990個正整數的集合S,使(1)S中

12、任意兩個數互質；(2) S中任意Z(FN2)個數的和是合數。42. (1998年越南數學競賽)是否存在。(Ovavl),使得有一個無窮的正數列明 滿足：1 + %+1 <an+ an, (n = 1,2, ).43. 一個整數有限序列a。,稱為一個二次序列，如果對于每個i £1,2;(1)證明：對于任何兩個整數Ac,都存在一個正整數和一個二次序列使% =b,a“ =c；(2)求滿足下列條件的最小正整數，使劭=0,冊=199644. x,y,z是正實數，求證：1119(冷，+ >7 + 療)(+7)2-(x + y) (y + z) (z + x)445 .用16個1x3矩

13、形和一個1x1正方形拼成一個7x7正方形，求證：1x1正 方形要么在大正方形中心，要么在大正方形邊界上。46 .環形公路上有個加油站，每個加油站有汽油若干桶，個站的總存油量 夠一輛汽車行駛一周，證明：必存在一站，從該站起，汽車逆時針行駛(每到 一站裝上所有汽油)可回到原站。47.正實數a,b, c滿足abc = 1求證:1 1 11+ -；+ ；a (/? + c) b (c + a) c3(a + b) 1 a(c-b)2 + 僅)-a，+ c(b-a)24c + bc + a b +a 48.再 e/T(i = l,2,5),證明:7Ay + j4丁+.十 丁匚不工而1 + Xj 1 +

14、玉 + 占1 + + + 工1 a 2n4% 數列%：% =不知. =一2一證明：2 %-%+1j50 .求方程x!+y!=x'的正整數解51 .求所有三次多項式(x)使得對任意的非負實數x,y有 p(x + y) > p(x) + p(y)52 . S = /+2)3 I x,y £ Z,對于整數a ,若 3a e S ,證明：a53 . xn: x0 =1,%m = 3xn + xn V5 ，已知玉=5，w = 26,x3 =136,% =712，求A200754 .(波蘭)數列L由事號+含=。(川確定,證明:4 > 0( > 0)55 .非負實數x,y

15、,z滿足/+：/+產=1,證明：+ 1+二4、反 1 + yz 1 + + xy56 .圓周上有7個點，將他們兩兩連線，求這些直線在圓內部交點個數的最小 值。57 .是否存在一個能被103整除的正整數,滿足是“三2(mod)58 .正實數 x,y,z 滿足 xy + yz + zx = x+y + z ，證明：1 1 1；+ -1；W 1x + y + 1 廠+z + l z.+x + l59 . （2009塞爾維亞數學競賽）求能被2009整除且數字和是2009的最小的正 整數。60 .對2007x2007方格染色，使得任意2x2方格中最多有2個方格被染色， 問：最多可以將多少個方格染色？61

16、 .空間中有9個點，其中任意4點不共面。在這9個點間連接若干條線段, 但圖中不存在四面體，問：圖中三角形最多多少個？62 . （2009加拿大數學競賽）由一個紙板裁剪出兩個半徑不同的圓，每個圓再 分成200個相等的扇形，且每個圓的100個扇形涂成白色的，另100個扇形涂成 黑色的。將小圓疊放在大圓的上面，使得它們的圓心重合。求證：總可以旋轉小圓，使得這兩個圓的扇形上下對齊，且小圓至少有100個 扇形位于大圓的同色扇形上。63 . （2009年印度尼西亞數學競賽）是大于1的奇數，證明：8 + 41口：64 . （ 2009年英國數學競賽）求定義在實數集上的函數使/（/ ） + f（y3） = （

17、x +），）（/（/）-八盯）+ /（>'2）65 . （2009年英國數學競賽）將不大于2 5 0 0的正整數寫成二進制，其中以1開頭的數字串所表示的整數的不同個數記為伏），求證：<2500時，b（n） < 39,并確定取等條件。66 . 一個圓桌周圍有八個位置，第一個人任意坐下，第二個人從第一個人逆時 針開始數2個位置坐下，即第二個人坐在第一個人旁邊，第+ 1人從笫k個人 逆時針開始數+ 1個位置坐下。如果按照這種坐法，個人恰好坐滿個位置, 求得所有可能值。67 . （2009加拿大數學競賽）已知3"+7。為完全平方數，求所有的有序整數 對（血吐68 .

18、求所有的質數©使夕1（50+5“）69 .求所有的質數p,夕使pg I （5。- 2P ）（5" - 2。）70 .數列%:% =%,% = 5k -2,%+2一2。“，其中女 是常數。(1)求所有A使數列收斂;(2)若k = l,求證：L 1 + 4-71 .數列%： y =乃=l,+2 =(4Z-5)y“+-+4-2Z ,求所有的正整數Z , 使得數列中的每一項都是完全平方數。72 .求證：數列明 =拒中有無窮多個完全平方數。73 . atl=l(n-1)2+n2(1)證明：存在無窮多個機使得-% >1;(2)證明：存在無窮多個根使得74 .( 2006 全國高中

19、數學聯賽)設f(x) = x2 +a,記r(x) = /*) J" (x) =(刈), =2,3 ，M = a £ RI / " (0)|< 2, Vn e N"證明：M = -2'475 .實數列%( = 0,1,2 )滿足 之 4；+：( = 0,2 )，證明：> a；_576 . P為邊長為1的正四面體內一點，證明：P到各個頂點的距離和至多為3。77 . x > >- > 1, 證明：,入 +-； +)=+ , 1y/x + y Jy + 1 Jl + x yjx+y Jx + 1 Jy + 178 . Xj&

20、#163;R+(i = l,2,是否一定有X,Xf X,% xn .xn XX.、> X, + x2 + +七 七 七 z -79 .證明：L+a"+l(a,e")是合數。80 . /, = f2 = 1,/ = /_1 + /_2(n > 2),若正整數a,b滿足nin A, AtL) < < imx A, Ail),證明：b > fn+Jn-l J 9i 0/-I Jn81 .把一個實數用與它相嶺的兩個整數之一代替稱為“整化”，證明：對于給 定的個實數，存在一種整化方式，使得這些數中任意若干個數的和與這些數 整化后對應的和之差不大于歸O48

21、2 . （1997美國數學競賽）求證：存在無窮多個正整數，使得，嚴+，產可以 用兩種不同的方式表示為兩個平方數的和。83 .（1996年保加利亞）數列%：卬=1, c*=& + 2, （ = 1,2，）證明：“2 4時，“； = .84 .在正三角形三個頂點上各放置一個整數使得：三個數的和是整數，若某個頂點上的數xvO,三個頂點上的數x,y,z相應變換為-+ ,只要有負數，操作就一直進行下去。問：操作能否在有限步之后停止？85 . （2003年德國數學競賽）數列%： %=1,。2 = 1嗎=2m“+3 =，（勺+4+2 +7），證明：%是正整數.-4 一86 . （2004 年克羅地亞

22、數學競賽）求使數列：cos a, cos 2tz, cos 22 a, - - -, cos 2,! a - 每一項均為負數的所有實數a.87 . （2003瑞典數學競賽）求所有實數x滿足方程/-2x+23=1寸88 . （ 2004俄羅斯數學競賽）求所有的正整數使得不等式 skiA + sin8 + sinCV。對于任何銳角三角形的三個內角A,8,C都成立。89 . （ 2004臺灣數學競賽）正實數ahc滿足岫cN 2“，證明：1113-=- d, H,> Jl + a J1 +） Jl + c yJl + Nab；90 . （2003克羅地亞數學競賽）對于大于2的整數，證明：曳上lf

23、|=4n - 2491 .數列伍“ ( = 0,1,2 )滿足%”+“ + a,n_n = J (a2m + %)("?， =。，2 )，若 6 = 1 ,求 “200392 .數列”"定義如下：4 = 2 , %+i = 2”； -1.證明：對所有有(,“)=1.93 .求整數c,使一 2007<c<2007.且存在xeN,使/+。是z?00?整數倍.94 . (2003年德國競賽)證明：存在無窮多個正整數力使(1) ah2-5, (2) ba2-5, (3)(力)= 1.95.已知射線)，=(4 + &?口*30).現將該射線繞。點逆時針轉動。角，形

24、成 一個區域。，試證：無論。多么小，區域。中總存在無窮多個格點(?,)滿足:(1) 1 + 6帆與1 +10?均為完全平方數；(2) n I /zr -1, m n2 -96 . (2003保加利亞數學競賽)求實數，使得等式41? = + 亦?對于任意 的正整數成立。97 . (2002芬蘭數學競賽)設是大于2的整數，%是最大的位數，滿足其 既不是兩個數的平方和也不是兩個數的平方差。(1)求明;(2)求的最小值，使4的各位數字的平方和是一個完全平方數。98 .設a,Z?,c是一個三角形的三邊長，S. a+h + c = 1 ,若心2,證明：J" + b" + 也/ + c”

25、 + Nc" + a" V 1 + 艾299 . ( 2002年芬蘭數學競賽)*“:七=1%=/+%,令5=- + + + 1，求回Xj +1 x2 +1 x2OO2 + 1100 .設正數。也c,x,y,z滿足cy + Az = a,az + cx = b,bx + ay = c,求 求函數222f(x, y, z) = + +的最小值.1 + x + y 1 + z101.正實數q(i = 1,2,3,滿足:必“34” = 1，證明：1 1 1+ +< 1- 1 + a - 1 +- 1 + an102 .也。是正實數，證明：上三一 + 的最小值.a + 2b+

26、c a+ b + 2c a+ b + 3c103 . S是至少有4個元素的實數集,對任意x,vwS(xry),有 qeS,求證:對于所有這樣的集合S,存在X £ S使2001 v X < 2002104 .在 AA8C中，求/ = sin A + siiiB + 5sinC 的最大值105 .已知正整數滿足ax + 勿是+b2的倍數，若=爐+)”是質數,證明：/忖+b-2122106 .正實數ahc滿足a + b + c = l,證明:+ + >3(a2 +b2 +c2) b c a107 .在一個的方格表中填上互不相等的加個數，并且把每列數值交大的 前t/(< 。個數作上標記,在把每行數值交大的前h(< )個數作上標記，證明：至 少有時個數作了兩次標記.108 .在一個由十進制數字組成的數碼中，如果它含有偶數個數字8,則稱它“好 數碼”(如3887, 2438086等)，則長度不超過幾(門為正整數)的所有“好數 碼”有多少個？109 . (2008羅馬尼亞數學競賽)存在無窮個幾使/4 1ML存在無窮多個n使7尸+ 1