1、利用空間向量解立幾何一、 空間角說明：以下涉及的點均為所屬線或面上的任意點。在可以建立空間坐標系的前提下，以下 的點的坐標可求出。1. 異面直線所成的角點A , 8 直線a,C, D 直線b。構成向量 AB,CD。cos AB,CD 二a(AB)與AB CD ,c AB,cD >所對應的銳角或直角即為直線ABCDb(CD)所成的角。例1 .如圖，已知直棱柱 ABC-A !BiCi，在厶ABC中,CA=CB=1 , BCA 二 900，棱 AA 1=2，求異面直線BAi, CBi所成的角。2. 線面所成的角AP與n的角所對應的銳角的余角或直角即為直線AP與平面所成的角二，所以AP與n的角的

2、余弦值的絕對值為直線 AP與平面所成的角的正弦值。9 =arcs in cos v AP ,n >例2.棱長為a的正方體 ABCD AiBiCiDi中，E、F分別 為CiDi、BiCi的中點，(1) 求證：E、F、B、D共面；(2) 求點AiD與平面EFBD所成的角。3二面角的求法二面角 ,平面的法向量 m，平面F；的法向量n o : m, n . - v，則二面角： 一I -匕的平面角為v或冗-v o當兩個法向量的方向都向二面角內或外時，貝U: m,n 為二面角的平面角的補角；當兩個法向量的方向一個向二面角內，另一個向外時，則m,n 為二面角的平面角。例2. 如圖，平面 ABCD ,：

3、ADE是等邊三角形，ABCD是矩形，F是AB的中點，G是AD的中點，EC與 平面ABCD成30°的角。(1)求證：EG平面ABCD ;若AD=2，求二面角 E-FG-G的度數；(3) 當AD的長是多少時，點 D到平面EFG的距離為2, 請說明理由。DGAF» * ' 11.點到面的距離點P到面的距離d可以看成 AP在平面的法向量n的方向上的射影的長度。AP nd = n2.異面直線間的距離異面直線a,b之間的距離可以看成 EF(E a,F b)在a,b的公垂向量n的方向上的射影的長度。EFnn例 4.長方體 ABCD-A i Bi Ci Di 中 AB=2 , AD

4、=4 , AA i =6, E 是的中點，F是CCi的中點，建立空間坐標系，求(i )異面直線D iF與Bi E所成角的大小；二面角Di -AE-D的大小；異面直線BiE與Di F的距離。3. 線面距離直線a與平面:-平行時，直線上任意一點 A到平面的距離就 是直線a與平面之間的距離。其求法與點到面的距離求法相同。BC如圖，正三棱柱 ABC-ABG的底面邊長為 3,3 A例5.側棱長為 注 ,D是 CB延長線上一點，且BD=BC2Al求直線BG與平面ABD之間的距離; 求二面角Bi-AD-B的大小； 求三棱錐Ci-ABBi的體積。平面與平面間的距離平面與平面：平行時，其中一個平面 :-上任意一點到平面CBCi4.的距離就是平面:-與平面1間的距離。其求法與點到面的 距離求法相同。例6如圖所示，在直三棱錐 ABC-A i Bi Ci中，.ABC =90° ,BC=2 , CCi=4，點 E 在線段 BBi 上，且 EBi=i , D、F、G 分別為CCi、C i Bi、C i Ai的