1、.第一章群的基本知識二十一世紀以來，特別是愛因斯坦（Einstein ）發現相對論之后，對稱性的研究在物理學中越來越重要。對稱性幫助人們求得物理問題的解，也幫助人們尋求新的運動規律。物理學家不僅研究了空間和時間的對稱性，而且找到了許多內部對稱性，如強作用的SU(2)同位旋對稱， SU(3) 色和味的對稱，弱電統一的 SU(2)XU(1) 的對稱，偶偶核的 U(6) 動力學對稱等等。從七十年代起，又開展了超對稱性的研究。群論是研究對稱性問題的數學基礎，因此，它越來越受到物理學工作者的重視。1.1 群定義 1.1設 G 是一些元素的集合，G, g, g .在 G 中定義了乘法運算。如果 G對這種運

2、算滿足下面四個條件：（1）封閉性。即對任意f , gG ，若 fgh ，必有 hG 。（2）結合律。對任意f , g,hG ，都有fg hf ( gh) .（3）有唯一的單位元素。有eG ，對任意fG ，都有 effef（4）有逆元素。對任意fG ，有唯一的f 1G ，使 f 1 fff1e則稱 G 為一個群。 e 稱為群 G 的單位元素，f1 稱為 f 的逆元素。例 1 空間反演群。設 E 和 I 對三維實空間R3 中向量 r 的作用為E rr , I rr即 E 是保持 r 不變的恒等變換，I 是使 r 反演的反演變換，定義群的乘法為從右到左連續對 r作用。集合E, I構成反演群，其乘法表

3、見表1.1.例 2n 階置換群 Sn ，又稱 n 階對稱群。將 n 個元素的集合 X 1,2, n 映為自身的置換為P12n,m1m2mn其中 m1 , m2 , mn 是 1,2, n 的任意排列， P 表示把 1 映為 m1 ，2 映為 m2 ， n 映為 mn 的映射。顯然置換只與每列的相對符號有關，與第一行符號的順序無關，如1234=42314213321。4定義兩個置換 P '和 P 的乘積 P ' P ，為先實行置換P ，再實行置換 P '，如'.123123123=。213321312容易看出在這乘法定義下，全部n 階置換構成 Sn 群。 Sn 群

4、共有 n! 個元素。例 3 平面三角形對稱群 D 3 ，又稱為 6 階二面體群。考慮重心在原點，底邊與x 軸平行的 xy 平面上的正三角形ABC ，見圖 1.1（ a ）。保持正三角形不變的空間轉動操作有e : 不轉， d : 繞 z 軸轉 23， f : 繞 z 軸轉 43 ，a : 繞軸 1 轉， b : 繞軸 2 轉， c :繞軸 3 轉定義兩個轉動操作的乘積，如ab 為先實行操作b ，再實行操作a 。由圖 1.1 b 可看出，實行操作 b 和實行操作 ab 后ABC 位置的變化， 且可看出，實行操作ab 和實行操作 d 一樣，因此 abd 。在上述乘法定義下，保持正三角形不變的全體轉動

5、操作構成D 3 群。D3 e, d , f , a, b, c 是 6 階群，它的乘法表見表1.2.例 4 定義群的乘法為數的加法，則全體整數構成一個群，0 是單位元素，n 和n 互為逆元素。同理，全體實數在加法下也構成一個群。 但實數全體在乘法為數乘時， 并不構成一個群，因為 0 沒有逆元素。除去 0 以外的實數構成一個群。例 5 空間平移群 T 3 。設 a 是 R3 中的向量，r 是 R3 中任意一向量，定義空間平移Ta 為Ta rra定義兩個平移Ta 和 Tb 的乘積 Ta Tb ，為先實行平移Tb ，再實行平移Ta ，Ta Tb rTa ( rb)rbaTa b r故 TaTb Ta

6、 bTb TaT 3群的單位元素是平移零向量T ，即不平移，其中是零向量， Ta 和Ta 是互逆元素。例 6三維轉動群 SO(3) 。保持 R3 中點 O 不動，設 k 是過 O 點的任一軸，繞k 軸轉角的轉動為 C k ( ) 。定義兩個轉動C k ( ) 和 C' (' ) 的乘積 Ck ( )Ck' (' ) ，為先實行繞k 軸k轉角，再實行繞 k ' 軸轉' 角。則繞所有過 O 點軸的一切轉動構成SO(3) 群。 SO(3) 群的單位元素是轉角0 ，即不轉。繞同一軸k ，轉角和 2的元素 C k ( ) ， Ck '( '

7、 )互為逆元素。'.由上述例子可以看出群的元素不但可以是數，而且可以是空間反演、空間轉動、空間平移等操作，也可以是置換等等。當群 G 的元素個數有限時，G 稱為有限群。 當 G 的元素個數為無限時，G 稱為無限群。空間反演群、Sn 群、 D 3 群是有限群，例4 至例 6 是無限群。有限群 G 的元素的個數n 稱為群的階，有時記為n G 。反演群是二階群，D 3 是 6 階群， Sn 是 n! 階群。群的乘法，可以是數乘和數的加法，也可以是空間反演、轉動等連續兩次操作和連續兩次置換等等。有限群的乘法規則，可以列為乘法表。無限群的乘法雖然不能列出乘法表，但乘法規則總是確定的。群的乘法一般

8、不具有可交換性。即對任意f , gG ，一般說來fg 與 gf并不相等。如果對任意 f , gG ，有 fggf ，則稱 G 是可交換群或阿貝爾 (Abel) 群。從前面例子還可以看出，群G 的任何元素可以用指標a 標記。當 G 是 n 階有限群時，指標 a 取 1,2, n ，群元用 ga(a1,2, n) 表示。當 G 是可數的無限群時，如整數加法群， a 可以取所有整數值，a0,1, 2,。當 G 是連續的無限群時，如實數加法群，有時 a 取全體實數，有時a 取多個有序的連續變化的實數：如在平移群中，a 是三個無界的有序實數 (ax , a y , az ) ，aax ia y jaz

9、k又如在轉動群中，a 是 3 個有界的有序實數 , ,，其中 , 是轉軸 k 的方位角，是轉動角度，而且，0,02,0,綜上所述，群G 是任一個元素，總可用在一定范圍內變化的一個數a 標記為 g a ，給出此范圍中任一個數a ，就對應群 G 的一個元素。定理 1.1（重排定理）設 G g a , uG ，當 a 取遍所有可能值時，乘積ug a 給出并且僅僅一次給出G 的所有元素。證 明 先 證 G 中 任 意 元 素 g可 以 寫 成 ug a 的 形 式 。 因 為 u 1G，所以u 1 ggG ，自然有 gug。再證 ug a 當不同時，給出 G 中不同的元素。用反證法，設'ug

10、'，而 ug，兩邊左乘 u 1 得gg ' ，這與可以唯一標記 G 中元素矛盾。 故' 時，ugug '。'.于是當改變時， ug a 給出并僅一次給出 G 的所有元素。定理證畢。系 ga u 在 取遍所有可能值時，也給出并且僅僅一次給出群G 的所有元素。重排定理是關于群的乘法的重要定理。它指出每一個群元素，在乘法表的每一行（或每一列） 中被列入一次而且僅僅一次。 乘法表的每一行 （或每一列） 都是群元素的重新排列，不可能有兩行（或兩列）元素是相同的。1.2 子群和陪集定義 1.2設 H 是群 G 的一個子集，若對于與群 G 同樣的乘法運算， H 也構成

11、一個群，則稱 H 為 G 的子群。常記為HG 。容易證明，群 G 的非空子集H 是 G 的子群的充要條件為：(1)若 ha , hH ，則 h hH ，(2)若 hH ，則 h 1H 。任意一個群 G ，其單位元素 e 和 G 本身都是 G 的子群，這兩種子群稱為顯然子群和平庸子群。群 G 的非顯然子群稱為固有子群。若不特別說明，一般說是指固有子群。例 7 在定義群的乘法為數的加法時，整數全體構成的群是實數全體構成的群的子群。例 8在 x 軸方向的平移 Ta xi 全體構成平移群T (3) 的一個子群。例 9繞固定軸 k 的轉動 C k ()， 02是 SO(3)群的一個子群。定義 1.3n

12、階循環群是由元素a 的冪 ak 組成， k1,2, , n ，并且 a ne，記為zn a, a 2 , , ane .循環群的乘法可以交換，故循環群是阿貝爾群。從n 階有限群 G 的任一個元素 a 出發，總可以構成 G 的一個循環子群zk ,稱 a 的階為 k ， zk 是由 a 生成的 k 階循環群。 因為當 ae, e 為 G 的一階循環子群， 這是顯然子群。當a,2a,如 a2e， 則 由 a 生 成 2階循環子群。如e aae, a2e, ak1e, ，用重排定理，知 a, a 2, , a k 1 , a k 為 G 中不同元素。通過增加k ，再利用重排定理， 總可以在 kn 中達

13、到 ake。因此， 從階有限群的任一元素a 出發，總可以生成一個G 的循環子群。定義 1.4設H 是群 G的子群， H h 。由固定 gG ， gH ，可生成子群H 的左陪集 gHghhH ,同樣也可生成H 的右陪集'.Hgh g hH ,有時也將陪集稱為旁集。當H 是有限子群時，陪集元素的個數等于H 的階。定理 1.2 （陪集定理） 設群 H 是群 G 的子群，則 H 的兩個左（或右）陪集或者有完全相同的元素，或者沒有任何公共元素。證明 設 u, v G ， u, vH ，考慮由 u, v 生成的 H 的兩個左陪集，uHuh hH , vH vh hH 設左陪集 uH 和 vH 有一

14、個公共元素，uhvh則 v 1u h h 1H根據重排定理，v 1uh 當取遍所有可能值時，v 1uh 給出群 H 的所有元素一次，并且僅僅一次，故左陪集v v 1uh uh 與左陪集 vh重合。因此當左陪集uH 和 vH 有一個公共元素時， uH 和 vH 就完全重合。定理證畢。同樣的證法，也適用于右陪集。定理 1.3（拉格朗日定理） 有限群的子群的階，等于該有限群階的因子。證明 設 G 是 n 階有限群，H 是 G 的 m 階子群。取 u1G ， u1H ,作左陪集 u1 H 。如果包括子群 H 的左陪集串 H , u1H 不能窮盡整個群G ，則取 u2G, u2H , u2u1 H ，作

15、左陪集 u2 H 。根據陪集定理，u2 H 與 H 和 u1H 完全不重合。繼續這種做法，由于G 的階有限，故總存在u j 1 ，使包括子群H 的左陪集串H ,u1 H , u2 H ,u j 1 H窮盡了整個 G 。即群 G 的任一元素被包含在此左陪集串中，而左陪集串中又沒有相重合的元素，故群 G 的元素被分成j 個左陪集，每個陪集有m 個元素。于是群 G 的階 n =（子群 H 的階 m ）j定理證畢。系 階為素數的群沒有非平庸子群。上面把群 G 的元素， 分成其子群 H 的左陪集串的作法， 不僅對證明拉格朗日定理有用，而且提供了一種把群 G 分割為不相交子集的方法。這是一種很有用的分割群

16、的方法。同樣，也可以把群 G 分割成其子群的右陪集串。例 10 D 3 有子群 H 1 e, a, H 2 e,b, H 3 e, c 和 H 4 e, d, f 。 D 3 可按 H 1 分成左 陪 集 串 ， H 1 e, a, bH 1 b, f , cH 1 c,d 。 也 可 按 H 4 分 成 右 陪 集 串 ，'.H 4 e, d , f , H 4 a a, b, c 。1.3 類與不變子群定義 1.5 設 f , h 是群 G 的兩個元素， 若有元素 gG ，使 gfg 1h ，則稱元素 h 與 f 共軛。記為 h f 。共軌具有對稱性，當h f ，則 f h 。且

17、f f。共軌還具有傳遞性，即當f 1 h, f 2 h, ，則有 f1f 2 。因 f1g1 hg11 , f 2g 2 hg21 , 故f1g1g 2 1 f 2 g 2 g1 1(g1g 2 1 ) f2 ( g1 g2 1 ) 1 ,定義 1.6 群 G 的所有相互共軌的元素集合組成G 的一類。由于共軛關系具有對稱性和傳遞性，因此一個類被這類中任意一個元素所決定。只要給出類中任意一個元素f ，就可求出f 類的所有元素，f 類 f ' f 'g fg 1 , gG 。一個群的單位元素e 自成一類， 因對任意 gG ，有 g eg 1e。阿貝爾群的每個元素自成一類，因對任意f

18、 , gG ，有 g fg1f 。設元素 f 的階為 m ，即 f me，則f 類所有元素的階都是m ，因 (gfg 1 ) mg f m g1e ，對任意 gG 成立。應該指出， 當 g取遍群 G 的所有元素時， gfg1 可能不止一次地給出f 類中的元素。如 fe， gfg 1 永遠給出單位元素e 。由共軌關系具有傳遞性可以知道， 兩個不同的類沒有公共元素。 因此可以對群按共軌類進行分割。 這種對群按共軌類進行的分割， 每個類中元素個數不一定相同。 而按子群的陪集對群進行的分割， 每個陪集元素的個數是相同的。 按類和按陪集分割群， 是分割群的兩種重要方式。定理 1.4 有限群每類元素的個數

19、等于群階的因子。證明 設 G 是 n 階有限群，g 是 G 的任一個元素，看g 類元素的個數。作G 的子群 H g ，H g hG hgh 1g,H g 由 G 中所有與 g 對易的元素 h 組成，即 hggh 。對于 g1 , g2G, g1 , g2H g ，如果 g1 gg1 1g 2 gg 2 1 ，則 g1 , g 2 必屬于 H g 的同一左 陪 集g1H g。因 為按定義，g1g1 H g。由g1 gg 1 1g2 gg 21可得'.( g1 1 g2 ) g( g1 1 g2 ) 1g ，故 g1 1 g2 H g , g 2 g1 H g 。反 之 ， 如 果 g1

20、, g 2 屬 于 H g 的 同 一 左 陪 集 g1 H g ， 必 有 g2g1h, h H g 。 于 是 有g2 gg 21g1 hgh 1 g11g1 gg11因此 g類中元素的個數，等于群G 按 H g 分割陪集的個數，也就是群G 的階的因子。G的階g 類元素個數= H g的階定義 1.7設 H 和 K 是群 G 的兩個子群，若有 gG ，使K gHg 1 k ghg 1 hH ，則稱 H 是 K 的共軛子群。由共軛關系的對稱性和傳遞性，知共軛子群也有對稱性和傳遞性。即若H是K的共軛子群，則 K 也是 H 的共軛子群。若H1 和 H 2是 K 的共軛子群，則H1和 H2 也互為共

21、軛子群。 G 的全部子群可分割為共軛子群類。定義 1.8設 H 是 G 的子群，若對任意 gG ,hH ，有 gh g1H 。即如果 H 包含元素 h ，則它將包含所有與h 同類的元素，我們稱H 是 G 的不變子群。定理 1.5設 H 是 G 的不變子群，對任一固定元素f G ，在 h取遍 H 的所有群元時，乘積 fh f1 一次并且僅僅一次給出H 的所有元素。證明 首 先 證 明 H 的 任 意 元 素 h 具 有 fh f1的形式。因為 H 是不變子群，故f 1h fH ，令 f 1 h fh ，則 hfh f 1 。而且當 hh 時， fh f 1fh f1 ，否則必引起矛盾。因此當h取

22、遍所有可能的 H 元素時， fhf1 一次并且僅僅一次給出H 的所有元素。例 11 以加法作為群的乘法時，整數加法群是實數加法群的不變子群。實事上，阿貝爾群的所有子群都是不變子群。不變子群的左陪集和右陪集是重合的。因為對 G 的不變子群 H ，由 gG , gH ，生成 H 的左陪集 gH gh hH 和右陪集 Hg h g hH '.而由 H 是 G 的不變子群知g 1 h gH 。由下式可以看出左陪集的元素g( g 1h g) 也是右陪集的元素。g( g 1 h g )h gHg故 H 的左右陪集重合。因此對不變子群，就不再區分左陪集和右陪集，只說不變子群的陪集就夠了。設 H 是

23、G 的不變子群。考慮沒有公共元素的H 的陪集串， H , g1H , g2 H , , gi H , , ，假定陪集串窮盡了群G ，兩個陪集 g i H 和 g j H 中元素的乘積。必屬于另一陪集。因gh gh ggg1 h ghgigh hgghgh g Hijijjjjijkk其中hg j 1h g j ,hh h , gkg i g j定義 1.9 設群 G 不變子群 H 生成的陪集串為H , g1 H , g2 H , gi H , ，把其中每一個陪集看成一個新的元素，并由兩個陪集中元素相乘的另一個陪集的元素，定義新的元素間的乘法規則，即陪集串新元素Hf0g1Hf1g 2 Hf 2g

24、 iHf i乘法規則gi h g j hg k hfi f jfk這樣得到的群 f 0 , f1 , f 2 , f i , ，稱為不變子群H 的商群，記為 G H 。不變子群 H 對應商群 G H 的單位元素f0 ，每一個陪集gi H 對應商群 G H 的一個元素f i 。陪集 gi H 和陪 集 g j H 的 乘 積 對 應f i 和f j 的 乘 積 。 事 實 上 ， 群 f0 , f 1, f 2 , fi , 和 群 H , g1 H , g2 H , gi H , 同構，它們都可以作為商群G H 的定義。例 12 D 3 群的元素可以分為三類，即c 類 e ， d 類 d, f

25、 ， a 類 a, b, c 。恒等轉動 e自成一類，繞z 軸轉 23 和 43 是一類，繞角等分線轉角是一類。因此 D 3 的子群H 1 e, a, H 2 e,b, H 3 e, c ，是互為共軛的子群， H 4 e, d, f 是不變子群。 H 4的陪集串和商群D 3 H 4 的元素間有以下對應'.H 4 e, d , f f 0 , aH 4 a, b, cf1故商群 D3 H 4 是二階循環群Z 2 。1.4 群的同構與同態定義 1.10 若從群 G 到群 F 上，存在一個一一對應的滿映射，而且保持群的基本運算規律（乘法） 不變；即群 G 中兩個元素乘積的映射， 等于兩元素映

26、射的乘積， 則稱群 G 和群 F 同構，記為 G F 。映射 稱為同構映射。同構映射可由圖 1.2 表示：其中: GFgif ig jf jgi g jfi f j同構映射，把 G 的單位元素 g 0 映為 F 的單位元素f 0 ，因對任意fiG,: g if i 。設: g0f 0' ，則有: g0 gigi g0gif 0' f ifi f 0'fi故 f0'f0 , f 0' 必為 F 的單位元素f 0 。同構映射，還把 G 的互逆元素gi , gi 1 映為的互逆元素 f j , f j 1 。由于同構映射是一一滿映射，故逆映射1 恒存在，1 把

27、 F 映為 G ，而且1 保持群的乘法規律不變，即1:FGfig if jg jf i f jg i g j所以當群 G 和群 F 同構，必有群 F 與群 G 同構， FG 。兩個同構的群， 不僅群的元素間有一一對應關系，而且他們所滿足的乘法規律間也有一一對應關系。 因此從數學角度看， 兩個同構的群具有完全相同的群結構。作為抽象的群來說，兩個同構的群本質上沒有任何區別。例 13空間反演群E, I和二階循環群Z 2,a2ae 同構。例 14三階對稱群S3 和正三角形對稱群D3 同構。'.例 15 群 G 的兩個互為共軛的子群H 和 K 是同構的。因為存在gG ，使 hH 與kK 有一一對

28、應關系，hgk g 1 , kg 1h g以上各個同構的群，有完全相同的乘法表。因此作為抽象的數學群來說，它們是一樣的。當然，對同一抽象群， 當它用于不同的物理或幾何問題時，它將代表不同的物理或幾何意義。這和初等數學中2+3=5 可以代表不同對象相加是同樣的。定義 1.11 設存在一個從群G 到群 F 上的滿映射，保持群的基本規律（乘法）不變；即 G 中兩個元素乘積的映射，等于兩個元素映射的乘積，則稱群G 與群 F 同態，記為G F 。映射稱為從 G 到 F 上的同態映射。圖 1.3 表示從 G 到 F 上的同態映射:其中: GFgif ig jf jgi g jfi f j也有定義從群G 到

29、群 F 中的同態映射，這時保持群的乘法規律不變，但并不是滿映射。以后如不特別說明，我們說同態，是指從群G 到群 F 上的同態。一般說， 同態映射并不是一一對應的。即對群 F 中的一個元素f i ， G 中可能不止一個元素 g i , gi' , 與之對應。因此群G 與群 F 同態，并不一定有群F 與群 G 同態。同構是一種特殊的同態，即當同態映射是一一映射時， 同態就是同構。 因此若群 G 與群 F 同構，則 G 必與 F 同態。反之，若群G 與群 F 同態， G 與 F 不一定同構。任何群 G 與只有單位元素的群Z1 e 同態。這種同態是顯然的，一般不考慮這種同態。定義 1.12 設

30、群 G 與群 F 同態， G 中與 F 的單位元素f 0 對應的元素集合H h ，稱為同態核。定理 1.6 （同態核定理）設群G 與群 F 同態，則有（1）同態核 H 是 G 的不變子群；（2）商群G H 與F同構。同態核定理可以用圖1.4 表示。證明 先證明同態核H 是 G 的子群。對任意 h , hH ，有 : hf 0 , hf0 ,h hf 0故 h hH 。因此同態核中二元素h hf 0 ，的乘積仍在H 中。而且由于同態映射把單位元素映為單位元素， 故 H 含有 G 的單位元素 g 0 ，因設: g0f0' ，則對任意 g iG ，'.有: gif i,g0 g ig

31、 i g0gif0' f if i f0'f i ,f0'f 0于是，如果 hH ，必有 h1H 。否則，設 h 1H ，: h 1f 0'f0而又有: h1hg 0f 0' f 0f 0這不可能，因此若h屬于 H ，必有 h1 屬于 H 。這就證明了H 是G的子群。再證同態核 H 是 G 的不變子群。對 hH ，與 h同類的元素為 gi h gi1， g是群 G 的任意元素。同態映射有以下作用。: gif i , gi1f i1 ,gi h gi1f i f 0 f i1f0故所有與 h同類的元素 g i hgi1H 。H是G的不變子群。最后證明商群G

32、 H與F同構。包括H的陪集串，H h , g1H g1h, giH gi h ,是商群 G H 的元素。因為同態映射保持群的乘法規律不變， 故只要證明陪集串的元素與F 的元素有一一對應， 就證明了 G H 與 F同構。首 先 ， H 的 一 個 陪 集 gi H gi h 對 應 F 的 一 個 元 素 ， 設 : gifi ， 則: gi hfi，對任意 hH 。其次 H 的不同陪集 gi H , g jH ，對應 F 中的不同元素，因為 giH 和 g jH 不同，由陪集定理可知，它們沒有公共元素。設: gifi , g jf j ，假設 f if j: gi haf i f0f i ,，

33、則fi1 f j f 0f 0gi 1 g j h得到 gi1 g j hH ， gi H 和 g j H 重合。這與假設矛盾，故f if j因此 H 的陪集與 F 的元素有一一對應關系，商群G H 與 F 同構。定理證畢。從圖 1.4可以看到，如群G 與群 F 同態，同態映射為。 G 中對應 F 單位元素 f 0 的'.元素集合 h 是 G 的一個不變子群H 。 H 陪集串中的每一個陪集gi H ，唯一地對應 F 中的一個元素 fi。 F 中的一個元素f i 也唯一地對應 H 的一個陪集 gi H 。已知各個陪集中元素數目相同，故G 中與 F 的每一個元素對應的元素數目是相同的。同態

34、核定理， 說明同態映射保持群的乘法規律不變，它是關于同態性質的重要定理。在處理各種群的問題中，我們會經常用到它。例16 D3群與二階循環群Z2 同態。同態核是不變子群 H e,d , f ， 陪 集 是aH a,b, c 。圖 1.5 表示這個同態映射。定義 1.13 群 G 到自身的同構映射v ，稱為 G 的自同構映射 v : GG 。即 對 任 意 gG 。 有 v( g) gG ,而且保持群的乘法規律不變，v( gg ) v( g)v( g ) 。故自同構映射v 總是把群 G 的單位元素 g0 映為 g0 ，把互逆元素g 和 g 1 映為互逆元素 g 和 g 1 。定義1.14 定義兩個

35、自同構v1 和 v2 的乘積 v1v2 ，為先實行自同構映射 v2，再實行自同構映射 v1 。 恒等映射 v0 對應單位元素。每個自同構映射v 有逆 v1存在。于是群 G 的所有自同構映射 v 構成一個群，稱為群 G 的自同構群，記為A(G ) 或 Aut(G ) 。 A(G ) 的子群也稱為 G 的一個自同構群。如果群 G 的自同構映射，是由 uG 引起，即對任意 gG ，有( g ) ug u 1則稱是 G 的內自同構映射。與定義自同構的乘法一樣，可以定義內自同構的乘法。于是群G 的所有內自同構構成一個群，稱為群G 的內自同構群，記為I (G) 或 In (G ) 。內自同構群 I (G

36、) 是自同構群A(G) 的一個子群，而且是A(G ) 的不變子群。因為對任意I (G) ，與同類的元素為v v 1 ，其中 vA(G) ，設 v 1 ( g )g ，則vv 1 (g)v (g )vug u1v(u)v( g )v(u 1 ) v(u) g v(u 1 )vg v 1I (G)其中 vv(u)G ，故 I (G) 是 A(G) 的不變子群。例 17三階循環群 Z3 e, a, a2 的自同構群 A(Z3 ) 有兩個元素，'.v0 : e, a, a2 e, a, a2 ,v : e, a, a2 e, a 2 , a,故 A(Z 3 ) v0 ,v 與 Z2 同構。顯然

37、A( Z3 ) 不是內自同構群。例 18 三階對稱群 S3 有以下的內自同構映射：0 (g )g , 1 ( g ) (1 2)g (1 2), 2 (g ) (13) g (1 3), 3 ( g ) ( 2 3) g (2 3)4 (g )(1 2 3) g (13 2),5 ( g)(1 32) g(12 3)因此 S3 群的內自同構群為I(S3) 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 內自同構群 I (S3 ) 的子群 0, 1,0 ,2, 0 ,3, 0 ,4 ,5 ，也都是 S3 的內自同構群。總之， 同構的群作為抽象的數學群來說，是相同的。群的同態映射，是保持群結構的一種映射，是常用

38、的重要概念。1.5 變換群前面所討論的都只涉及到抽象群。 而將群論用于物理對稱性的研究時， 常常借助變換群來研究被變換對象和變換群之間的關系。 因此變換群提供了把群論用到幾何和物理問題中的重要途徑。變換與變換群又稱為置換與置換群。對置換群的討論應包括被變換對象和變換群兩部分。設被變換對象X 由元素 x, y, z,組成，它是一個非空的集合，X x, y, z,。X 上的置換 f 是將 X 映入自身的一一滿映射， f : XX ,即對任意 xX ，有 f (x)yX ，而且 f 有逆 f 1 , f 1 ( y) x 。定義 1.15 定義 X 上兩個置換 f 和 g 得乘積 fg 為先實行置換

39、 g ，再實行置換f 。即對任意 x X ，有 fg ( x)f ( g( x) ， X 的全體置換在次乘法下構成一個群，稱為X 上的完全對稱群， 記為 SX f , g, 。恒等置換 e 是 SX 的單位元素， 置換 f與其逆置 f1換為 SX的互逆元素。被置換對象X 的元素個數可以是無限的，如X 是三維實歐式空間R3中所有的點，或是希耳伯特空間的所有態矢量等等。X 的元素個數也可以是有限的，如平面正三角形的3個頂點， 或正四面體的4 個頂點等等。 當 X 有無限多個元素時， SX 是無限群。 當 X 有 n 個元素時， X 的完全對稱群 SX 就是 n 個元素的置換群 Sn 。 Sn 共有

40、 n! 個元素。'.X 的完全對稱群 SX 的任何一個子群，是 X 的一個對稱群。又稱為X 上的變換群。同一個數學抽象群，可以對應不同的變換群。如二階循環群Z2,a2ae ，可以對應轉動群的子群， C k (0), C k ( ) ,也可以對應空間反演群 E, I 。群 C k (0), C k ( ) 和群 E, I 是 Z2 的兩個不同的實現。雖然這兩個群是同構的，具有完全相同的乘法表，但他們作用于被變換對象R3 中的向量時，引起的后果并不相同。這說明兩個同構的群，應用到物理問題上，若是不同的實現，必須注意它們的區別。定理 1.7 ( 凱萊定理 ) 群 G 同構于 G 的完全對稱群

41、SG 的一個子群。 特別地， 當 G 是 n 階有限群時， G 同構于 Sn 的一個子群。證明 設 G f , g, h, 。將 G 本身看作被變換對象X f , g, h, ，則任意 G 的元素g ，把 hH 按群 G 的乘法映入X ，即 g(h)( gh)X 。由重排定理知道，g 是把 X 映入 X 的一一滿映射，故G 是將 XG 映入自身的一個變換群。因此 G 是 G 上完全對稱群SG 的一個子群。下面將討論關于變換群的軌道等重要概念。設 G f , g,h, 是 X x, y, z, 的一個變換群，如果X 中兩個元素x 和 y ，有gG ，使 gxy ，則稱元素 x 是 G 等價于元素

42、y ，或稱為 x 點與 y 點等價。 記為 x y 。因此等價是指被變換對象X 中兩個元素 x 和 y ，可以通過變換群G 的作用，從x 變到 y 。顯然等價具有對稱性，若x y ，必有 y x ，因 gxy ，必有 g 1 yx 。等價也具有傳遞性，若x y ， y z,必有 x z ，因 gxy ， fyz ，必有 fgxz 。由 X 中全部與 x 等價的點組成的軌道稱為含x 的 G 軌道，即為 gx gG 。即從點 x出發，用 G 中元素 g 作用于 x ，當 g 取遍 G 的所有元素時，gx 給出 X 的一個子集，這個子集就是含x 的 G 軌道。含 x 的 G 軌道，就是x 點經群 G 作用后，可以變到的所有的點。有時也簡稱為軌道，不過要注意是過那一點的軌道。X 的 G 不變子集 Y ，是指 X 的子集 Y ，在變換群 G 的作用下，不會變到Y 外面去，即對任意 gG, yY ，有 g( y)Y 。顯然，X 中每一個 G 軌道是 G 不變的；幾個軌道的和集也是 G 不變的。當集合Y 是 G 不變時， G 也是 Y 的對稱群。'.設 G 是 X 的變換群，那么對于X 的任意子集 Y，YX ，總可以找到 G