1、1.3.1單調性與最大(小)值1函數的單調性(1)增函數和減函數名稱定義幾何意義圖形表示增函數對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是增函數，區間D稱為f(x)的單調遞增區間f(x)的圖象在區間D上是“上升”的減函數對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是減函數，區間D稱為f(x)的單調遞減區間f(x)的圖象在區間D上是“下降”的(2)單調性如果函數yf(x)在區間D上是增函數或減函數，那么就說函數yf(x)在這一區間具有(

2、嚴格的)單調性區間D叫做函數yf(x)的單調區間談重點 對函數單調性的理解(1)函數在區間D上的單調性是針對定義域內某個區間D而言的這個區間可以是整個定義域：如yx在整個定義域(，)上是單調遞增的，yx在整個定義域(，)上是單調遞減的，此時單調性是函數的一個整體性質這個區間也可以是定義域的一部分，也就是定義域的一個真子集，如yx22x1在整個定義域(，)上不具有單調性，但是在(，1上是減函數，在(1，)上是增函數，這時增減性即單調性是函數的一個局部性質(2)x1，x2的三個特征一定要予以重視函數單調性定義中的x1，x2有三個特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字絕對不能丟掉，證明單

3、調性時更不可隨意以兩個特殊值替換；二是有大小，通常規定x1x2；三是同屬一個單調區間，三者缺一不可(3)有的函數無單調性如函數y它的定義域是(，)，但無單調性可言【例11】若函數f(x)的定義域為(0，)且滿足f(1)f(2)f(3)，則函數f(x)在(0，)上為()A增函數B減函數C先增后減D不能確定解析：由于函數單調性的定義突出了x1，x2的任意性，所以僅憑區間內幾個有限的函數值的關系，是不能做為判斷單調性的依據的，也就是說函數單調性定義的三個特征缺一不可因此本題選D答案：D【例12】函數的單調遞減區間是()A0，)B(，0)C(，0)和(0，)D(，0)(0，)解析：錯解函數在(，0)和

4、(0，)上單調遞減，故其單調遞減區間為(，0)(0，)錯解原因函數在(，0)上是減函數，在(0，)上也是減函數，但不能說函數在(，0)(0，)上是減函數因為當x11，x21時有f(x1)1f(x2)1，不滿足減函數的定義正解函數在(，0)和(0，)上單調遞減，故其單調減區間為(，0)和(0，)答案：C談重點 寫函數的單調區間易忽略的問題(1)若函數f(x)在其定義域內的兩個區間A，B上都是增(或減)函數，一般不能簡單地認為函數f(x)在AB上是增(或減)函數，即單調區間不能并寫；(2)當函數有兩個或兩個以上單調性相同的區間時，這些區間要用“，”或“和”連接【例13】已知函數yf(x)的圖象如圖

5、所示試寫出函數yf(x)的單調區間解：觀察圖象可知，函數yf(x)的圖象在區間2,1和4,6上均是上升的，在區間(1,4)上是下降的，所以函數yf(x)的單調遞增區間是2,1，4,6，單調遞減區間是(1,4)談重點 由圖象確定函數的單調區間易忽略的問題(1)單調區間必須是定義域的子集；(2)單調區間應用“，”或“和”連接，不能用“”連接；(3)本題的單調增區間也可寫為(2,1)，(4,6)，單調減區間也可寫為，因為單獨的一個點不影響函數的單調性，但對于某些無意義的點，單調區間就一定不包括這些點2函數的最值(1)最大值和最小值定義：一般地，設函數yf(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：對于任

6、意的xI，都有f(x)M(f(x)M)；存在x0I，使得f(x0)M那么，我們稱M是函數yf(x)的最大(小)值幾何意義：函數yf(x)的最大(小)值是其圖象上最高(低)點的縱坐標(2)最值函數的最大值和最小值統稱為函數的最值，則函數yf(x)的最值是圖象上最高點或最低點的縱坐標釋疑點 對函數的最值的理解(1)最大值(或最小值)必須是一個函數值，是值域中的一個元素如函數f(x)x2(xR)的最大值是0，有f(0)0(2)使函數f(x)取得最值的自變量的值有時可能不止一個如函數f(x)x2，x1,1的最大值是1，此時有f(1)f(1)1，即取得最大值的自變量有兩個(3)不等式f(x)M或f(x)

7、M中的x是函數定義域中的任意值，不能是定義域中的部分值；(4)不等號“”或“”中的等號必須能夠成立，否則M不是函數的最值【例21】函數yx1在區間3,6上的最大值和最小值分別是()A6,3 B5,2C9,3 D7,4解析：函數yx1在區間3,6上是增函數，則當3x6時，f(3)f(x)f(6)，即2y5，所以最大值和最小值分別是5,2答案：B【例22】函數yf(x)(2x2)的圖象如圖所示，則函數的最大值、最小值分別為_、_解析：由函數最值的定義，結合函數的圖象可知，f(x)的最大值為，最小值為答案：【例23】下圖為函數yf(x)，x4,7的圖象，指出它的最大值、最小值解：觀察函數圖象可以知道

8、，圖象上最高點坐標為(3,3)，最低點坐標為(1.5，2)，所以當x3時，函數yf(x)取得最大值ymax3；當x1.5時，取得最小值ymin23單調性的證明與判斷(1)單調性的證明函數單調性的證明的最基本方法是依據函數單調性的定義來進行，其步驟如下：第一步：設元，即設x1，x2是該區間內的任意兩個值，且x1x2；第二步：作差，即作差f(x1)f(x2)；第三步：變形，即通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差的符號的方向變形；第四步：判號，即確定f(x1)f(x2)的符號，當符號不確定時，可以進行分類討論；第五步：定論，即根據單調性的定義作出結論其中第三步是關鍵，在變形中一般盡量化成

9、幾個最簡因式的乘積或幾個完全平方的形式利用單調性定義的等價形式證明：設x1，x2m，n，x1x2，那么(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在區間m，n上是增函數；(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在區間m，n上是減函數(2)單調性的判斷判斷函數的單調性常用的方法有：定義法：即“設元作差變形判號定論”；圖象法：先作出函數圖象，利用圖象的直觀性判斷函數的單調性；利用已知函數的單調性及運算來判斷函數的單調性，具體方法如下：若函數f(x)，g(x)在區間D上具有單調性，則在區間D上：1°f(x)與f(x)C具有相同的單調性；2°f(x)與af(x)，當a0時單調性

10、相同；當a0時，單調性相反；3°當f(x)，g(x)都是增(減)函數時，f(x)g(x)是增(減)函數；4°當f(x)，g(x)都是增(減)函數時，則f(x)·g(x)當兩者都恒大于0時，是增(減)函數；當兩者都恒小于零時，是減(增)函數5°當f(x)恒不為零時，f(x)與具有相反的單調性6°當f(x)0時，f(x)與具有相同的單調性注意：(1)判斷單調性不等同于證明單調性(2)f(x)，g(x)都是增(減)函數時，f(x)·g(x)不一定是增(減)函數如f(x)x，g(x)2x，則f(x)·g(x)2x2在R上不是增(減)

11、函數同理，也不一定是增(減)函數【例31】判斷并證明函數f(x)1在(0，)上的單調性解：作函數f(x)1，x(0，)的圖象由圖象可知函數f(x)1在(0，)上為增函數證明：設x1，x2是(0，)上的任意兩個實數，且x1x2，(設元)則f(x1)f(x2)(作差)(變形)因此，f(x)1在(0，)上是增函數(定論)談重點 定義法證明函數單調性的四點注意(1)“任意取x1，x2”的“任意”二字絕對不能去掉，更不可隨意用兩個特殊值代替；(2)x1，x2有大小之分，通常規定x1x2；(3)x1，x2同屬于一個單調區間；(4)最重要的步驟是將f(x1)f(x2)變形為能夠與0比較大小的形式，常把它轉化

12、為幾個因式的積或商的形式或者平方和的形式，采用的方法多為分解因式、配方、有理化等，要求化出來的形式能夠直接與0比較，不能看不出正負就下結論【例32】利用函數單調性的定義，證明函數f(x)在區間0，)上是增函數證明：錯證任取x1，x20，)，且x1x2，則f(x1)f(x2)0x1x2，0f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函數f(x)在0，)上是增函數錯證原因由0x1x2，直接得到是錯誤的，因為這個結論的得出恰恰是利用了函數f(x)的單調性，而這一點是需要證明的正確證明任取x1，x20，)，且x1x2，則f(x1)f(x2)0x1x2，x1x20，0f(x1)f(x2)0，即f(x1

13、)f(x2)函數f(x)在0，)上是增函數【例33】下列函數中，在區間(，0)上單調遞增，且在區間(0，)上單調遞減的函數是()A BCyx2 Dyx3解析：對于A，令yf(x)，任取x1，x2(0，)，且x1x2，則f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函數在區間(0，)上單調遞減同理可得函數在區間(，0)上單調遞增對于B，易知函數在區間(，0)和(0，)上都單調遞減對于C，易知函數yx2在區間(，0)上單調遞減，在區間(0，)上單調遞增對于D，令yf(x)x3，任取x1，x2R，且x1x2，則f(x1)f(x2)x13x23(x1x2)(x12x1x2x22)(x1x2)&#

14、183;0，即f(x1)f(x2)，所以函數yx3在R上單調遞增答案：A4函數的單調區間的求法(1)基本初等函數的單調區間以上單調函數的單調區間可作為結論記住，可提高解題速度(2)用圖象法求函數的單調區間利用函數圖象確定函數的單調區間，具體做法是：先化簡函數解析式，然后再畫出它的草圖，最后根據函數定義域與草圖的位置、狀態，確定函數的單調區間(3)利用單調性定義求函數的單調區間用單調性定義求函數單調區間，具體做法是：明確函數的定義域；在定義域內任取兩個自變量x1，x2；作差f(x1)f(x2)并將差變形；根據上一步差的變形結果，確定自變量x1和x2在定義域內一個子集E上差的符號，則該區間E是函數

15、f(x)的一個單調區間；寫出函數的單調區間【例41】求下列函數的單調區間(1)f(x)3|x|；(2)f(x)|x22x3|；(3)f(x)x22|x|3解：(1)f(x)3|x|圖象如圖所示函數f(x)的單調遞減區間為(，0，單調遞增區間為0，)(2)令g(x)x22x3(x1)24先作出函數g(x)的圖象，保留其在x軸及x軸上方部分，把它在x軸下方的圖象翻到x軸上方就得到函數f(x)|x22x3|的圖象，如圖所示由圖象易得：函數f(x)的遞增區間是3，1，1，)；函數f(x)的遞減區間是(，3，1,1(3)f(x)x22|x|3圖象如圖所示由圖象可知，函數f(x)的單調區間為(，1，(1,

16、0，(0,1，(1，)，其中單調減區間為(1,0和(1，)，單調增區間為(，1和(0,1【例42】求函數yx，x0的單調區間分析：函數的定義域是(0，)，在定義域中任取兩值x1，x2，利用函數單調性的定義來確定單調區間解：設x1，x2是區間(0，)上的任意兩個實數，且x1x2，則f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2)，由于0x1x2，則x1x20，x1x20，當x1，x2(0,1時，有x1x210，此時f(x1)f(x2)，當x1，x2(1，)時，有x1x210，此時f(x1)f(x2)故函數yx的單調遞增區間是(1，)，單調遞減區間是(0,1析規律 函數f(x)x(a0)的

17、單調性函數f(x)x(a0)是一類非常重要的函數，在以后的學習中會經常遇到，其圖象如圖由圖象可知其單調增區間為(，)，單調減區間為(，0)，(0，)記住它的圖象，對我們以后的學習會有很大的幫助5復合函數單調性的判斷(1)復合函數yf(g(x)的單調性：g(x)f(x)f(g(x)增增增增減減減增減減減增復合函數的單調性可簡記為“同增異減”，即內層函數g(x)與外層函數f(x)的單調性相同時yf(g(x)是增函數，單調性相反時yf(g(x)是減函數(2)判斷復合函數單調性的步驟以復合函數yf(g(x)為例可按下列步驟操作：將復合函數分解成基本初等函數：yf(t)，tg(x)；分別確定各個函數的定

18、義域；分別確定分解成的兩個基本初等函數的單調區間；若兩個基本初等函數在對應的區間上的單調性是同增或同減，則yf(g(x)為增函數；若為一增一減，則yf(g(x)為減函數_【例51】函數f(x)的單調遞增區間是_，單調遞減區間是_解析：原函數可化為f(x)|x3|x3|其圖象如圖所示，由圖可得(，3為函數f(x)的遞減區間，3，)為函數f(x)的遞增區間答案：3，)(，3【例52】已知函數f(x)82xx2，g(x)f(2x)，試求g(x)的單調區間解：令t2x，則f(t)82tt2；由t2x可知t是關于x的減函數由f(t)82tt2可知，當t1時，f(t)是增函數；當t1時，f(t)是減函數(

19、1)令t2x1，即x1，此時內函數為減函數，外函數f(t)是增函數，故當x1時，g(x)為減函數(2)令t2x1，即x1，此時內函數為減函數，外函數f(t)為減函數，故當x1時，g(x)為增函數綜上可得，g(x)的單調增區間為(，1，g(x)的單調減區間為1，)析規律 復合函數單調性的判斷方法(1)利用“同增異減”判斷；(2)復合函數的單調區間必須在定義域內并且要確定內層函數g(x)的值域，否則就無法確定f(g(x)的單調性特別是當f(g(x)的單調區間是由幾個區間組成時6函數最值的求法(1)觀察法對一些簡單函數可直接觀察求其最值例如，求y1在區間0,9上的最值解：由題目條件可知03，從而y1

20、1,4即當x0時，ymin1，當x9時，ymax4(2)用單調性求最值利用定義法判斷出函數yf(x)的單調性；再利用其單調性求最值函數f(x)在區間a，b上是增函數，則函數yf(x)在區間a，b上的最大值是f(b)，最小值是f(a)，如圖a所示；函數yf(x)在區間a，b上是減函數，則函數yf(x)在區間a，b上的最大值是f(a)，最小值是f(b)，如圖b所示；歸納結論有時也用以下結論來確定函數的最值：如果函數f(x)在區間(a，b上是增函數，在區間b，c)上是減函數，則函數f(x)在區間(a，c)上有最大值f(b)；如果函數f(x)在區間(a，b上是減函數，在區間b，c)上是增函數，則函數f

21、(x)在區間(a，c)上有最小值f(b)(3)利用圖象求最值利用圖象求函數yf(x)最值的步驟：畫出函數yf(x)的圖象；觀察圖象，找出圖象的最高點和最低點；寫出最值，最高點的縱坐標是函數的最大值，最低點的縱坐標是函數的最小值要注意：畫函數的圖象時，要盡量準確，如果條件允許可以借助于計算機有時由于所畫圖象不夠準確，不能確定最高點或最低點的縱坐標，這時，可以利用函數的解析式將所有關鍵點的縱坐標計算出來，這些點的縱坐標中的最大值就是函數的最大值，這些點的縱坐標中的最小值就是函數的最小值【例61】求函數的值域解：由x0，且x10，得函數的定義域為1，)而函數y和在1，)上都是增函數，則也是增函數，當

22、x1時，它取得最小值故的最小值為1，即它的值域為1，)點技巧 巧用“增函數增函數增函數”判斷單調性若兩個函數在公共區間上均為增函數，則它們的和函數也為增函數，當兩個函數在公共區間上均為減函數，則它們的和函數也為減函數本題就是利用這個性質，判斷函數的單調性【例62】已知函數，x3，2，求此函數的最大值和最小值分析：先判斷函數的單調性，再利用函數的單調性求得最值解：(方法一)設3x1x22，則f(x1)f(x2)由于3x1x22，則x1x20，x110，x210所以f(x1)f(x2)所以函數在區間3，2上是增函數又因為f(2)4，f(3)3，所以函數的最大值是4，最小值是3(方法二)，而函數在(

23、，0)上單調遞增，所以函數在(，1)上單調遞增，所以函數y2，即在(，1)上單調遞增所以函數在區間3，2上單調遞增所以當x2時，函數取得最大值4，當x3時，函數取得最小值3點技巧 分離常數法對于形如y(ac0)的函數，我們常用分離常數法解決其單調性或最值問題，具體方法如下：通過y將問題轉化為函數y的單調性問題，進而轉化為函數y的單調性問題，而y的單調性可利用反比例函數的單調性輕松得到【例63】求函數f(x)的最大值與最小值解：畫出函數的圖象，如圖所示由圖可知，函數的最大值是f(3)3，最小值是f(1)17二次函數在閉區間上的最值問題求二次函數f(x)ax2bxc(a0)在區間m，n上的最值問題

24、一般分以下幾種情況：(1)若對稱軸在區間m，n內，則最小值為，最大值為f(m)，f(n)中較大者(或區間端點m，n中與距離較遠的一個對應的函數值為最大值)(2)若對稱軸xm，f(x)在區間m，n上是增函數，則最大值為f(n)，最小值為f(m)；(3)若對稱軸xn，f(x)在區間m，n上是減函數，則最大值為f(m)，最小值為f(n)例如，已知函數yx2x1，求：(1)x1,2的值域；(2)x1,3的值域分析：本題考查二次函數在某個給定區間上的值域問題解題的關鍵是先配方再利用函數的單調性處理解：yx2x12，這個函數圖象開口向上，對稱軸為x(1)1,2，當x時，y有最小值又當x1時，y1；x2時，

25、y5，y的最大值為5所求的函數值域為(2)1,3，且1，函數在區間1,3上單調遞增當x1時，y取最小值1；當x3時，y取最大值11所求的函數值域為1,11【例71】求函數f(x)x22ax1在區間0,2上的最大值與最小值分析：畫圖象分類討論解：f(x)(xa)21a2，對稱軸為xa(1)當a0時，由圖可知，f(x)minf (0)1，f(x)maxf(2)34a；(2)當0a1時，由圖可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)34a；(3)當1a2時，由圖可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(0)1；(4)當a2時，由圖可知，f(x)minf(2)34a，f(x

26、)maxf(0)1【例72】求函數yx2x1在區間a，a1上的值域解：函數yx2x1的對稱軸為，開口方向向上當a1，即a時，區間a，a1在對稱軸的左側，函數yx2x1在區間a，a1上單調遞減當xa1時，ymina23a1；當xa時，ymaxa2a1當a時，區間a，a1在對稱軸的右側，函數yx2x1在區間a，a1上單調遞增當xa時，ymina2a1；當xa1時，ymaxa23a1當aa1，即a時，當x時，ymin；當aa，即1a時，當xa1時，ymaxa23a1；當aa1，即a1時，當xa時，ymaxa2a1綜上可知，當a時，函數yx2x1在區間a，a1上的值域為a23a1，a2a1；當a1時，

27、函數yx2x1在區間a，a1上的值域為；當1a時，函數yx2x1在區間a，a1上的值域為；當a時，函數yx2x1在區間a，a1上的值域為a2a1，a23a18利用函數的單調性求參數的取值范圍根據函數的單調性求參數的取值范圍有以下幾種方法：(1)利用具體函數本身所具有的特性例如，二次函數的對稱軸把二次函數分成兩個單調區間，根據對稱軸相對于所給單調區間的位置求參數的值或范圍(2)利用圖象先畫出函數的圖象，借助于函數的圖象分析出參數的值，再用單調性的定義來證明，這樣做起來方便快捷，不易出現錯誤(3)單調性的定義法設單調區間內x1x2，由f(x2)f(x1)0(或0)恒成立，求參數的范圍其步驟是：第一

28、步：在所給區間內任取兩值x1，x2，且x1x2；第二步：作差f(x1)f(x2)，并將差變形為因式的積或商的形式；第三步：根據函數的單調性，確定差的符號；第四步：討論當差的符號確定時，參數滿足的條件【例81】已知函數f(x)x2mx1在區間1，)上是減函數，求m的取值范圍分析：畫出函數圖象，根據對稱軸與區間端點的關系求解解：根據題意畫出函數的草圖，由于二次函數f(x)在區間1，)上是減函數，則其對稱軸在點(1,0)的左側或過該點，所以有1，解得m2所以實數m的取值范圍是(，2【例82】已知函數f(x)在區間(2，)上是減函數，求實數a的取值范圍分析：由于函數f(x)的圖象不能畫出，則只能利用單

29、調性的定義來解決在區間(2，)內任取兩值x1，x2，作差f(x1)f(x2)，將差變形，轉化為討論當差的符號確定時實數a滿足的條件解：設2x1x2，則f(x1)f(x2)，由于2x1x2，則x2x10又函數f(x)在區間(2，)上是減函數，則0，所以(x1a)(x2a)0所以或即或由于2x1x2，則僅有所以a2，即實數a的取值范圍是2，)9求不等式恒成立問題中參數的取值范圍不等式中的恒成立問題，通常轉化為參數與函數最值的大小關系問題常見情況有：f(x)a恒成立f(x)maxa；f(x)a恒成立f(x)mina例如：設f(x)x22ax2，當x1，)時，f(x)a恒成立，求a的取值范圍解：根據題

30、意，ax22ax2在1，)內恒成立，即af(x)min恒成立下面研究f(x)x22ax2(xa)22a2在1，)上的最小值當a1時，f(x)minf(1)12a232a；當a1時，f(x)minf(a)2a2故f(x)min由af(x)min，得3a1【例9】已知函數f(x)，x1，)若對任意x1，)，f(x)0恒成立，試求a的取值范圍解法一：在區間1，)上，f(x)0恒成立，等價于x22xa0恒成立設yx22xa，x1，)，由yx22xa(x1)2a1遞增，可知當x1時，ymin3a于是當且僅當ymin3a0時，函數f(x)0恒成立，故a3解法二：在區間1，)上f(x)0恒成立等價于x22x

31、a0恒成立，即ax22x恒成立又x1，)，ax22x恒成立，a應大于函數ux22x，x1，)的最大值ax22x(x1)21當x1時，u取得最大值3，a310利用單調性解不等式(1)利用函數的單調性可以比較函數值或自變量值的大小，在解決比較函數值的大小問題時，要注意將對應的自變量放在同一個單調區間上(2)解決抽象不等式(即沒有具體解析式的不等式)的方法：由單調性的下述性質可脫去符號“f”，從而解關于具體變量的不等式，即將函數值的大小關系問題轉化為自變量的大小關系問題，同時應注意自變量的取值必須在同一單調區間內若yf(x)在給定區間上是增函數，則當f(x1)f(x2)時，x1x2；當f(x1)f(

32、x2)時，x1x2若yf(x)在給定區間上是減函數，則當f(x1)f(x2)時，x1x2；當f(x1)f(x2)時，x1x2例如：若函數f(x)的定義域為R，且在(0，)上是減函數，則下列不等式成立的是()Aff(a2a1)Bff(a2a1)Cff(a2a1)Dff(a2a1)解析：f(x)在(0，)上是減函數，且a2a120，f(a2a1)f答案：B注：解題過程中要體現出a2a10，0，即要求自變量在同一個單調區間內【例101】已知函數f(x)是定義在區間(0，)上的減函數，解不等式f(a1)f(4a1)解：函數的定義域為(0，)，有a10，4a10又函數f(x)在區間(0，)上是減函數，且

33、f(a1)f(4a1)，a14a1解不等式組得0a故所求不等式的解集是【例102】已知函數f(x)是定義在(0，)上的增函數，且f(x)f(y)，f(2)1，解不等式f(x)2分析：用特殊值將不等式右邊的常數2轉化為f(a)的形式，將左邊的兩個函數記號轉化為一個，再由單調性轉化為自變量的大小解：在f(x)f(y)中取x4，y2，可得f(2)f(4)f(2)于是f(4)2f(2)2因此不等式f(x)2可轉化為不等式f(x(x3)f(4)函數f(x)是定義在(0，)上的增函數，解得3x4不等式f(x)2的解集為11單調性與最值在實際生活中的應用函數的單調性在實際生活中的應用大多是最值問題，如用料最省、費用最低、利潤最大等問題其解題步驟是：(1)審清題意，讀懂題；(2)恰當設未知數，所設未知數的個數盡量少；(3)根據已知條件列出函數關系式；(4