1、三角形的證明培優(yōu)習(xí)題解析1、 如圖，ABC中， AB=BC， BE AC于點(diǎn)E， AD BC于點(diǎn)D， BAD=45°，AD與 BE 交于點(diǎn)F，連接CF（ 1）求證： BF=2AE；（ 2）若CD=2，求AD的長（ 1）證： AD BC,BAD=45°， ADB是等腰直角三角形，ABD= BAD AD=BD； ABBC， BEAC， ACD+DAC=90°， ACD+ CBE=90° , DAC=CBE,又 ADC= BDF=90° , ADC BDF(ASA), AC=BF, AB BC，BE AC， AE=EC，即 AC=2AE， BF=AC

2、=2AE。（ 2） ABF CBF DF=CD= 2在 Rt CDF中， CF=DF 2 CD2 = ( 2)2 ( 2) 2 = 4 =2 BEAC， AE=EC, AF=FC, AD=AF+DF=2+ 2 。2、如圖， ABC 是邊長為6 的等邊三角形，P 是 AC 邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A 向 C 運(yùn)動(dòng)（與 A 、 C 不重合）， Q 是 CB延長線上一點(diǎn)，與點(diǎn)P 同時(shí)以相同的速度由B 向 CB 延長線方向運(yùn)動(dòng)（Q 不與 B 重合），過P 作 PE AB 于 E，連接 PQ 交AB于D（）若設(shè)AP=x ，則 PC=_， QC=_；（用含x 的代數(shù)式表示）（）當(dāng) BQD=30° 時(shí)，求

3、AP 的長；（）在運(yùn)動(dòng)過程中線段ED 的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED 的長；如果變化請說明理由2解 :(1)(6 分)解法一：過P 作 PEQC則 AFP是等邊三角形， P、 Q 同時(shí)出發(fā)、速度相同，即BQ=AP BQ=PFDBQ DFP , BD=DF BQD BDQ = FDP = FPD =30° ,11 BD=DF=FA= AB=6 =2,33 AP=2.解法二： P、 Q 同時(shí)同速出發(fā)，AQ=BQ設(shè) AP=BQ= x ，則 PC=6- x ， QC=6+ x在 RtQCP中， CQP=30° ,C=60° CQP=90° QC=2PC

4、,即 6+ x =2（6- x ） x =2 AP=2（ 2）由（ 1）知 BD=DF而 APF是等邊三角形，PE AF, AE=EF又 DE+(BD+AE)=AB=6, DE+(DF+EF)=6，即 DE+DE=6 DE=3 為定值，即DE 的長不變3（ 3 分）（ 2013?臨沂）如圖，菱形則AEF 的面積是 3 ABCD中， AB=4 ，B=60 °，AE BC，AF CD ，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，解答：解： 四邊形 ABCD 是菱形， BC=CD ， B= D=60 °， AEBC，AF CD AB ?AE=CD ?AF ， BAE= DAF=30 °

5、;， AE=AF ， B=60 °， BAD=120 °， EAF=120 °30°30°=60 °， AEF 是等邊三角形， AE=EF ， AEF=60 °， AB=4 ， AE=2， EF=AE=2，過A作AMEF， AM=AE ?cos60°=3， AEF 的面積是：EF?AM=×2×3=3故答案為： 34（ 3 分）（2013?威海）將一副直角三角板如圖擺放，點(diǎn)AB=AC E=30°， BCE=40 °，則 CDF=25° C 在EF 上， AC經(jīng)過點(diǎn)D已

6、知 A= EDF=90 °，解答：解： AB=AC ， A=90 °， ACB= B=45 °， EDF=90 °， E=30 °， F=90° E=60 °， ACE= CDF+ F， BCE=40 °， CDF= ACE F= BCE+ ACB F=45°+40° 60°=25°故答案為： 25°5（ 11 分）（ 2013?威海）【操作發(fā)現(xiàn)】 ：將一副直角三角板如圖 擺放，能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC 的斜邊與含30°角的直角三角板的長直角邊DE 重

7、合【問題解決】 ：將圖 中的等腰直角三角板ABC 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，點(diǎn) C 落在 BF 上， AC 與 BD 交于點(diǎn)連接 CD，如圖 （ 1）求證： CDO 是等腰三角形；（ 2）若 DF=8，求 AD 的長DEF O，解答：（ 1）由圖 知 BC=DE ， BDC= BCD ， DEF=30 °， BDC= BCD=75 °， ACB=45 °， DOC=30 °+45 °=75 °， DOC= BDC， CDO 是等腰三角形；（ 2）作 AG BC ，垂足為點(diǎn)G， DH BF，垂足為點(diǎn)H，在 Rt DHF中，

8、F=60°， DF=8 ， DH=43 ，HF=4，在 Rt BDF中， F=60°， DF=8 ， DB=83 ， BF=16 ， BC=BD=83 ， AGBC， ABC=45 °， BG=AG=4 3 ， AG=DH ， AGDH， 四邊形 AGHD 為矩形， AD=GH=BF BG HF=16 4 3 4=12 4 3 6.（本題滿分10 分）如圖，已知四邊形ABDE是平行四邊形，C 為邊 B D 延長線上一點(diǎn)，連結(jié)AC、CE，使 AB=AC.求證： BAD AEC；若 B=30°， ADC=45°， BD=10，求平行四邊形ABDE

9、的面積 .解析 ：（ 1）證明： AB=AC, B= ACB.又 四邊形 ABDE是平行四邊形 AEBD， AE=BD， ACB= CAE= B， DBA AEC(SAS) 4分（ 2）過 A 作 AGBC,垂足為 G.設(shè) AG=x，在 RtAGD 中， ADC=450， AG=DG=x，在 RtAGB 中， B=300 ， BG= 3x ， 6分又 BD=10. BG-DG=BD,即 3x x 10 ，解得 AG=x=105 3 5 . 8分31 S 平行四邊形 ABDE=BD·AG=10×（ 5 3 5 ） = 50350 . 分107（ 4 分）（2013?淄博）如圖

10、， ABC 的周長為26，點(diǎn) D，E 都在邊 BC 上， ABC 的平分線垂直于AE ，垂足為Q， ACB 的平分線垂直于 AD ，垂足為 P，若 BC=10 ，則 DE 的長為（）解答： BQ 平分 ABC ，BQ AE ， BAE 是等腰三角形，同理 CAD 是等腰三角形， 點(diǎn) Q 是 AE 中點(diǎn)，點(diǎn)P 是 AD 中點(diǎn)（三線合一） ， PQ 是 ADE 的中位線， BE+CD=AB+AC=26 BC=26 10=16， DE=BE+CD BC=6 ，8（ 2013 聊城）如圖，在等邊段 DE 的長度為 ABC中， AB=6 ，D是 BC的中點(diǎn)，將 ABD繞點(diǎn)A 旋轉(zhuǎn)后得到 ACE ，那么線

11、解：如圖， 在等邊 ABC 中， B=60 °，AB=6 ， D 是 BC 的中點(diǎn)， AD BD ， BAD= CAD=30 °， BD=11AB=6 =322AD=3 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知， EAC= DAB=30 °，AD=AE ， DAE= EAC+ BAD=60 °， ADE 的等邊三角形， DE=AD=3，即線段 DE 的長度為 3 9. (2013?內(nèi)江）已知，如圖， ABC 和 ECD 都是等腰直角三角形， ACD= DCE=90 °，D 為 AB 邊上一點(diǎn)求證： BD=AE 證明： ABC 和 ECD 都是等腰直角三角形， AC=B

12、C ， CD=CE ， ACD= DCE=90 °， ACE+ ACD= BCD+ ACD ， ACE= BCD ，在ACE 和 BCD 中， ACE BCD （ SAS）， BD=AE10.（ 2013?湖州）一節(jié)數(shù)學(xué)課后，老師布置了一道課后練習(xí)題：如圖，已知在 Rt ABC 中， AB=BC ， ABC=90 °， BO AC ，于點(diǎn) O，點(diǎn) P、 D 分別在 AO 和 BC 上， PB=PD ， DE AC 于點(diǎn) E，求證： BPO PDE （ 1）理清思路，完成解答（2）本題證明的思路可用下列框圖表示：根據(jù)上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程（ 2）特殊位置，證明

13、結(jié)論若 PB 平分 ABO ，其余條件不變求證：AP=CD （ 3）知識(shí)遷移，探索新知若點(diǎn) P 是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到 OC 的中點(diǎn) P時(shí)，滿足題中條件的點(diǎn)D 也隨之在直線BC 上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D ，請直接寫出 CD與 AP 的數(shù)量關(guān)系 （不必寫解答過程）（ 1）證明： PB=PD， 2= PBD， AB=BC ， ABC=90 °， C=45°， BO AC ， 1=45°， 1= C=45°，3=PBO 1，4=2C，3=4， BO AC ， DE AC ， BOP= PED=90 °，在BPO 和PDE 中 BPO PDE（ AAS ）；

14、（ 2）證明：由（ 1）可得： 3= 4， BP 平分 ABO ， ABP= 3， ABP= 4，在ABP 和CPD 中 ABP CPD（ AAS ）， AP=CD （ 3）解： CD與 AP 的數(shù)量關(guān)系是CD=AP 理由是：設(shè)OP=PC=x ，則 AO=OC=2x=BO ，則 AP=2x+x=3x ，由（ 2）知 BO=PE ，PE=2x ，CE=2x x=x ， E=90°， ECD= ACB=45 °， DE=x ，由勾股定理得：CD=x，即 AP=3x ， CD=x， CD與AP 的數(shù)量關(guān)系是CD =AP11（ 2013 菏澤）如圖，在 ABC 中，AB=CB連結(jié)

15、AE 、 DE、DC 求證： ABE CBD ； 若 CAE=30 °，求 BDC 的度數(shù)， ABC=90 °，D為AB延長線上一點(diǎn)， 點(diǎn) E 在BC邊上，且BE=BD， 證明： ABC=90 °，D 為 AB 延長線上一點(diǎn)， ABE= CBD=90 °，在ABE 和 CBD 中， ABE CBD （ SAS）； 解： AB=CB ， ABC=90 °， CAB=45 °， CAE=30 °， BAE= CAB CAE=45 °30°=15°，ABE CBD ， BCD= BAE=15 

16、6;， BDC=90 ° BCD=90 ° 15°=75 °；12（ 4 分）（ 2013?萊蕪）如圖，矩形點(diǎn) A 恰好落在BF 上，則 AD=ABCD中， AB=1 ， E、 F 分別為AD 、CD的中點(diǎn)，沿BE將 ABE折疊，若解：連接 EF ，點(diǎn) E、點(diǎn) F 是 AD 、DC 的中點(diǎn)， AE=ED ， CD=DF=CD=AB=，由折疊的性質(zhì)可得AE=A'E ， A'E=DE ，在 Rt EA'F 和 Rt EDF 中， Rt EA'F Rt EDF （HL ）， A'F=DF= ，BF=BA'+A&#

17、39;F=AB+DF=1+=，在 Rt BCF 中， BC= AD=BC=13(7 分 )(2013 北京 )在 ABC中，AB=AC， BAC= （ 060 ），將線段 BC 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD。（ 1）如圖 1，直接寫出 ABD 的大小（用含的式子表示） ；（ 2）如圖 2， BCE=150°， ABE=60°，判斷 ABE的形狀并加以證明；（ 3）在（ 2）的條件下，連結(jié)DE，若 DEC=45°，求的值。1解析 ：【解析】（ 1） 302（ 2） ABE 為等邊三角形證明連接 AD 、 CD 、 ED線段 BC 繞點(diǎn)B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到線段 BD則 BCBD ，DBC60又 A