1、圓錐曲線與方程知識要點一、橢圓方程.1、橢圓的定義：平面內與兩個定點平面內與兩個定點平面內與兩個定點2、橢圓的性質：焦點的位置F1、F2，點 P 滿足 PF1PF 22aF1F 2，則點 P 的軌跡是F1、F2，點 P 滿足 PF1PF 22aF1F2，則點 P 的軌跡是F1、F2，點 P 滿足 PF 1PF 22aF1F 2，則點 P 的軌跡是焦點在 x 軸上焦點在 y 軸上標準方程參數 a,b,c 的關系焦點焦距范圍對稱性性質頂點軸長實軸長，虛軸長離心率e=離心率范圍：通徑若 P 是橢圓： x2y21上的點 . F 1,F 2 為焦點，若F1PF 2，則PF 1F 2 的面積為a2b23、

2、點與橢圓、直線與橢圓的位置關系22(1) 點 P(x0， y0)與橢圓 x2 y21(ab0)的位置關系：點P 在橢圓上 ?；ab點 P 在橢圓內部 ?； 點 P 在橢圓外部 ?.x2y2y kx m，x2 y2 1.(2) 直線 y kxm 與橢圓 a2b2 1(ab0) 的位置關系判斷方法：先聯立22ab消 y 得一個一元二次方程是：位置關系解的個數的取值交點個數相交相切相離2222(3) 弦長公式：設直線方程為y kx m(k 0)，橢圓方程為x2 y2 1(ab0)或 y2 x2 1(ab0) ，abab直線與橢圓的兩個交點為A(x1， y1) ，B(x2 ，y2 )，則 |AB|（

3、x1 x2） 2（ y1 y2） 2， |AB|（ x1 x2） 2（ kx1 kx2） 2 1 k2 （ x1 x2 ）21 k2 （x1x2） 24x1 x2，或 |AB|11y22（ y1 y2） 211ky1k12 （ y1 y2） 212 （ y1 y2） 2 4y1y2.kk其中， x1 x2 ，x1 x2 或 y1 y2， y1y2 的值，可通過由直線方程與橢圓方程聯立消去y 或 x 后得到關于 x 或 y 的一元二次方程得到（ 4）直線 l： y kxm 與橢圓： x2y21ab0 的兩個交點為 A(x1， y1)， B(x2， y2)，弦 AB 的中點 M（ x0， y0），

4、則 k =a2b2(用 x0， y0表示 )二、雙曲線方程 .1、雙曲線的定義：平面內與兩個定點F1、F2，點 P 滿足 PF1PF 22aF1F 2，則點 P 的軌跡是平面內與兩個定點F1、F2，點 P 滿足 PF1PF 22aF1F 2，則點 P 的軌跡是平面內與兩個定點F1、F2，點 P 滿足 PF1PF 22aF 1F2，則點 P 的軌跡是2、雙曲線的性質：焦點的位置焦點在 x 軸上焦點在 y 軸上標準方程參數 a,b,c 的關系焦點焦距范圍對稱性性質頂點軸長實軸長，虛軸長離心率e=離心率范圍：漸近線通徑（ 1）等軸雙曲線：雙曲線x2 y 2a 2 稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心

5、率 e（ 2）共漸近線的雙曲線系方程：x 2y 2(0) 的漸近線方程為a2b 2如果雙曲線的漸近線為xy時，它的雙曲線方程可設為.0ab（ 3）從雙曲線一個焦點到一條漸近線的距離等于.3、直線與雙曲線的位置關系22(1) 一般地，設直線l： y kx m 雙曲線 C： x2 y2 1(a0 ， b0) ab把代入得關于x 的一元二次方程為.當 b2a2k2 0 時，直線 l 與雙曲線的漸近線，直線與雙曲線 C當 b2a2k20時， 0 ? 直線與雙曲線有公共點 ，此時稱直線與雙曲線； 0? 直線與雙曲線有公共點 ，此時稱直線與雙曲線；0)過焦點 F 的一條弦，設A(x1， y1) 、B(x2

6、， y2)，AB 的中點 M(x ， y )，相應的準線為 l.00(1) 以 AB 為直徑的圓必與準線 l 的位置關系是；(2)|AB|(焦點弦長用中點 M 的坐標表示 )；(3) 若直線 AB 的傾斜角為 ，則 |AB |(焦點弦長用傾斜角為表示 )；如當 90時， AB 叫拋物線的 通徑 ，是焦點弦中最短的；拋物線的通徑 等于.(4) 求證 A、B 兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值，即x x ， y y .12124、直線與拋物線的位置關系1設直線l： y kxm，拋物線： y2 2px(p0) ，將直線方程與拋物線方程聯立整理成關于 x 的一元二次方程為，(1) 若 k 0，直線與拋物線有個公共點，此時直線于拋物線的對稱軸或與對稱軸因此直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切 的條件(2) 若 k0， 當0 時，直線與拋物線，有兩個公共點；當0 時，直線與拋物線，有一個公共點；當0) 的兩個交點為A(x1，y1)，B(x2， y2)，弦 AB 的中點0000M （ x ， y ），