1、1.2.2同角三角函數的根本關系（名師：卓忠越）一、教學目標一核心素養通過教學，使學生學習運用觀察、類比、數形結合、聯想、猜測、檢驗等合情推理方法，提高學生運算能力和邏輯推理能力.二學習目標1 .牢固掌握同角三角函數關系式，并能靈活解題，提高學生分析、解決三角函數的思維能力；2 .探究同角三角函數關系式時，體會數形結合的思想；一個角的三角函數值，求這個角的其他三角函數值時，進一步樹立分類思想；解題時，注重化歸的思想，將新題目化歸到已經掌握的知識點上；3 .牢固掌握同角三角函數的關系式，并能靈活運用于解題，提高分析、解決三角函數的思維能力;4 .靈活運用同角三角函數關系式的不同變形，提高三角恒等

2、變形的能力.三學習重點1.理解并掌握同角三角函數關系式；2,熟練掌握一個角的三角函數值求其他三角函數值的方法.四學習難點1 .某角的一個三角函數值，求其余的各三角函數值時符號確實定；2 .掌握同角三角函數的關系式，并能靈活運用于解題，提高分析、解決三角函數的思維能力.二、教學設計一課前設計1.預習任務1熟記0,30,45,60,90五個特殊角的三角函數值2閱讀教材P18P202,預習自測，、4一一1cos5，且為弟二象限角，求sin、tan的值【知識點】兩組關系式的根本應用及三角函數值符號判定【解題過程】:在第三象限sin0,tan0,由sin2cos21得：sin/cos2sin3由tan得

3、：tan-【思路點撥】利用兩組三角函數公式和三角函數符號判定，代入解方程求解2化簡：1cos tan ；22cos211 2sin2【答案】sin實用文檔.【知識點】兩組關系式的根本應用【解題過程】1cos tansin cos .cossin2.2cossin2r2cossin-2.222cossincos22T-2"sincos2sin【思路點撥】1切化弦，統一函數名稱從而實現化簡的目的；2利用1sin2cos2進行“I的代換，統一分子分母為齊次式.【答案】1sin；213求證：1sin4cos4sin2cos22sin4sin2cos2cos21【知識點】兩組關系式的根本應用【

4、解題過程】1法一：左邊二sin4cos4(sin2cos2)(sin2coJ)sin2cos2二右邊法二：右邊sin2cos2(sin2cos2)(sin2cos2)sin4cos4=左邊12左邊二sin2(sin2cos2)cos2sin2cos21"右邊【思路點撥】包等式證明遵循化繁為簡的根本準那么，即可從左化到右，也可從右化到左,或左右都往中間化得到相同的結果.【答案】見解題過程(二)課堂設計1 .知識回憶1任意角的三角函數的定義2任意角的三角函數值的符號法那么3初中所學的同角銳角三角函數的根本關系2 .問題探究探究一結合任意角的三角函數的定義，探究同角三角函數的根本關系舌動類

5、比初中所學知識，猜測同角三角函數的根本關系回憶初中學習銳角三角函數的相關知識，在RtAACB中，/C=90,三邊長分別為a,c,b,銳角A的三角函數的定義是什么？abasinA一,cosA,tanAccb銳角A的這三個三角函數之間有什么關系呢？.22sinAsinAcosA1;tanAcosA以上同角三角函數關系對任意角仍成立嗎？【設計意圖】從已有的知識出發，類比探究知識的延展，得到合理的猜測，為發現新知奠定根底，體會由特殊到一般的數學思想.舌動回歸定義，證明猜測，得到結論你能根據任意角的三角函數定義證明以上同角三角函數關系嗎？222.22,y、2/X2yxrsincos(-)(一)21rrr

6、rysinry.tancosxxr也就是說，同一個角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切.【設計意圖】運用定義給予嚴格證明，肯定猜測的正確性，是解決數學問題的常用方法舌動架構遷移，熟悉公式結構和使用條件為了讓學生及時熟悉公式，要求學生完成以下的課堂練習：222-21sin30cos30；2sin(x-)cos(x_)3sin22xco嫉2x；4sin230cos245.學生交流、討論，最終在教師的引導下得到上述兩個公式中應該注意的問題:注意同角指相同的角，例如：sin230cos2451、sin22cos221、.22,sin(+)cos(+)1;注意這些關系r式都是對于使它們有意義的角

7、而言的，如號二tan.中cos0,且tan需cos有意義等.【設計意圖】通過練習，感知并理解同角的意義和公式的使用條件，培養嚴謹的數學思維習慣.探究二同角三角公式的靈活運用舌動探究兩個公式的等價變形式及應用由等價變形式sin21cos2,余弦值可以求正弦值；由等價變形式cos21sin2,正弦值可以求余弦值.但比方：sin/cos2,止匕時,cos、sin的符號受所在象限的限制，不是無條件的.5sin,其中在用四象限，求cos,tan的化【知識點】兩組關系式的根本應用及三角函數值符號判定【數學思想】方程的思想【解題過程】第一步：定號;在第四象限-cos0,tan0第二步：定值,由sin2cos

8、21得：cosJ1sn1()21313由tan-sin得：tancos12【思路點撥】熟記公式，代入解方程求解.【答案】cos,tan13123.同類訓練1:sin-，求cos,tan的值.【知識點】兩組關系式的根本應用及三角函數值符號判定【數學思想】方程的思想和分類討論思想【解題過程】定象限sin在第一或第二象限第二步:號、定值在第一象限時,cos0,tan 0二由 sin2 cos1得:cos、1 sin2(5)2由tans得: costan2當在第二象限時,cos0,tan1 sin2,3 24(5)5 in【思路點撥】涉及開方運算,符號判斷取決于角所在象限.當角所在象限不確定時，需逐一

9、分情況討論.44cos一 cos案】5或533tan一 tan44同類訓練2: tan在第三象限，求sin ,cos的值.【知識點】兩組關系式的根本應用及三角函數值符號判定【數學思想】方程的思想【解題過程】;在第三象限sin 0,cos 0第二步：定值2sin由 sincos2 cos121解方程得：sin ,cos52.55sin,cos,tan共三個量，兩個方程，任給其中一個都可以求出另兩個【答案】sin.5,cos5【設計意圖】通過計算熟練掌握公式，并體會分類討論思想在三角函數符號確定中的應用舌動強化提升、靈活應用14.例2sincos-,求sincos的值【知識點】正余弦公式的靈活應用

10、【數學思想】化歸思想【解題過程】2.221角單：(sincos)sincos2sincos12sincos25.12一sincos25【思路點撥】通過平方升次后，便二12【答案】sincos一25同類訓練：在例2的條件下，能為【知識點】正余弦公式的靈活應用【數學思想】化歸思想【解題過程】解：(sincos)2sin2cos21-0sincos-151當是第二象限角時，sin.7sincos一52當是第四象限角時，sin.7sincos一5【思路點撥】sincos,sin個可以求出另外兩個.【答案】sincos7或sin使用sin2cos2sincos嗎？2sincos12sin是第二或第四象限

11、角0,cos0sin0,cos0sincos兩者之間通知sin7cos一1,從而使問題得到簡化12.49cos12()2525cos0cos0cos聯系起來，三者任給其中一例3tan2,求以下各式的值:1sincoscossin2c .222sin sin cos cos4sin2 3cos2【知識點】弦化切公式的靈活應用【數學思想】化歸思想【解題過程】解：1分子分母上下同時除以cos得：sncos-旦一13cossin1tan2分子分母上下同時除以cos2得：c,22c2/2sinsincoscos2tantan172Z22Z7T4sin3cos4tan313tan 的式子.【思路點撥】關于

12、sin,cos的齊次分式，可以弦化切，變形為關于【答案】13;同類訓練：tan2-132 ,求值：1sin242 2 cos5【知識點】弦化切公式的靈活應用【數學思想】化歸思想【解題過程】解：1.2-sin422cos51.2-sin422cos52sin2cos122tan4572tan2125【思路點撥】關于sin,cos的齊次分式，可以弦化切，變形為關于tan的式子.【答案】-25例4求證：12sin2cos222-cos2sin21tan21tan2【知識點】三角函數關系式恒等變形【數學思想】轉化化歸【解題過程】解：左邊二12sin2cos2cos2sin22(cos2sin2)cos

13、2(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2sin21tan2八上二右邊1tan2【思路點撥】恒等式變形可由左到右，亦可由右到左，統一次數，統一函數名稱【答案】見解題過程同類訓練求證：tan.sintansintansintan.sin【知識點】三角函數關系式恒等變形【解題過程】tan .sin解：左邊=tansinsin 一.sin cos sin sin2 sinsinsin sin cos 1 cossincos右邊= tan sin tan .sinsincossin 一.sincossinsin cos sin21 cossin又. sin2(1cos)(1 cos )

14、sin1 coscossin左邊"右邊原式得證.【思路點撥】切化弦統一函數名,為證明恒等式奠基；恒等式證明可以從左右分別變形,得到相同或相等的中間式，從而等式得證【答案】見解題過程3.課堂總結知識梳理掌握兩組三角函數根本關系式：sin22 cos1 和 sin- tancos重難點歸納1運用三角函數公式求三角函數值涉及開方運算時，注意分析確定三角函數值的符號；不能確定的要進行分類討論;2根據三角函數式的結構和求解目標，選擇合理的變形方向，并在訓練中不斷提高三角包等變形的能力.三課后作業根底型自主突破:3sin萬，且為用四象限角，求cos,tan的值.【知識點】正余弦關系式的根本應用及

15、三角函數值符號判定【數學思想】方程的思想【解題過程】cos0,tan0由 sin22 cos1 得：cos41 sn- Ji （ 港）2 -由tansincos行：【思路點撥】熟記公式,【答案】cos - ,tan 2tan代入解方程求解.,33»tan -,求 sin ,cos的值.【知識點】兩組關系式的根本應用及三角函數值符號判定【數學思想】方程的思想【解題過程】tan0.在第二或第四象限1假設角在第二象限，那么sin0,cos2sin由sincos2cos13解方程得:4sin3一，cos52假設角在第四象限，那么sin0,cossin2由sin2cos13解方程得:sin3,

16、cos5cos4【思路點撥】sin,cos,tan共三個量，兩個方程，任給其中一個都可以求出另兩個；但角所在象限不確定時，注意分類討論.3【答案】sin一,cos5*或sin534,cos55sincostan2,求sincos的值.【知識點】弦化切公式的靈活應用【數學思想】化歸思想【解題過程】解：分子分母上下同時除以cos得：sincos-史一13cossin1tan【思路點撥】關于sin,cos的齊次分式，可以弦化切，變形為關于tan的式子.【答案】3cossin1-,那么求sincos的值.2【知識點】熟練應用公式sin2cos21【數學思想】【解題過程】解：(cossin)2cos22

17、sincossin23sincos8112sincos一4【思路點撥】利用完全平方公式構造sincos，代入sin2cos21即可.3【答案】3822225.求證：tansintan.sin【知識點】三角函數關系式恒等變形【數學思想】【解題過程】2C解：左邊二tansin2sincos一22sin.tan二右邊22-2sinsincos2cos.22、sin(1cos)2cos【思路點撥】恒等式變形可由左到右，亦可由右到左，切化弦是常用統一函數名的方法【答案】見解題過程能力型師生共研11.(1)sin=,且為用二象限角，求tan3sin1七，=一，求tan3(3)sin=m(m0,m1),求t

18、an【知識點】熟練掌握三角函數關系式及符號判定【數學思想】方程的思想和分類討論思想【解題過程】sin ;13,且是第二象限角,一 cosy1 一 sin2 薪 _1、1-12=32,23 .sina&tan后二=一七.cosa41(2).sin方士a是第一或第二象限角.3當a是第一象限角時,2；23 .1、cos - "sin2 后1-1或2=3sina也 tan后=亡-;cosa4當a是第二象限角時,tan 一 米4(3)sin5Fm(nrn0,m±1) cosk±71sin2后勺1m2(當a為第一、四象限角時取正號，當a為第二、三象限角時取負號). 當

19、a為第一、四象限角時，tan環fm;1-m2當a為第二、三象限角時，tangf/m.V1-m2【思路點撥】先求與sin咕勺平方關系相聯系的cos為再由公式求tan.(2)(3)中a的范圍不確定,須討論確定開方的符號.答案乎*或一凈六或一石mm22.sin2cos4173,8C(0,冗)那么(1)sin-0cos於(2)sin3升cos34【知識點】sincos,sincos,sincos三者的關系【數學思想】方程的思想和整體代換的思想【解題過程】(1).sinScosQ173，(sin4cos02>1469.八.八八120.2sin0cos=0正g169又核(0,冗)sin 0 >

20、0 cos 0 <0.二 sin 9-cos4ysin 9-cos C 2 =4sin20-2sin 8 co + Co3 卜考.(2)sin3 升 cos3 4(sin -B cos 0 )(s2rt) sin 0 cos Cos2 0 )601 603二2 197(3)方法一：由sin% cossin9-cos7、T3，八 解得sin生黃 cos上一聶.tan生一?.1713135的一中13,方法二：因為760sin卅cosQ13，sin8cosM)-69,由根與系數的關系，知sin。cos8是方程x2：7：60，；。的兩根,13169所以X1=1|,X2=一磊.1313又sin9c

21、os=9照<0,所以sin9>0cos9<0.169所以sinCOSQ一房.所以tan依黑-=-152.方法三：同方法二，得sin 0 cos=060sin0cos9_60169sin2/cos20二一夜.齊次化切,得號一褊即60tan2升169tan60=0，12.、5斛行tan於一虧或tan4一死.又核（0,sin 6-cos 0=713>0, sin 9co 6 0-60169<0，所以0(2,笫,所以tan生一152【思路點撥】(1)asinx+bcosx=c可與sin2x+cos2x=1聯立，求得sinx,cosx.(2)sinx+cosx,sinxco

22、sx,sinxcosx之間的關系為(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,(sinxcosx)2=12sinxcosx,(sinx+cosx)2+(sinxcosx)2=2.因此上述三個代數式中的任意一個代數式的值，便可求其余兩個代數式的值.【答案】13(2)1103(3)一£探究型多維突破為第二象限角.1sin1sin1sin.1sin【知識點】三角函數關系式恒等變形【數學思想】化歸思想解：原式,僅重工戶口 . 1 sin2. 1 sin2【解題過程】1sin1sincos為第二象限角1 sin 0,1sin 0,cos 0_ 1 sin 1 sincos2sin2tan

23、cos【思路點撥】以開方化簡為目標，分子分母同時升次湊完全平方；在開方時，注意符號確實定.【答案】2tana1sin4cos47661sincos【知識點】三角函數關系式恒等變形【數學思想】化歸思想【解題過程】解：法一原式=1(sin44、cos)1(sin6cos611(sin2*(sin22222cos)2sincos24.22cos)(sinsincos4cos)11(sin42212sincossin2cos4cos)(sin22sin22-cos2cos)2223sincos法二.一1_ _2 sin2,2cos(sin2 cos)2(sin223cos )，原式=需2 cos)2 (sin44cos )2、36cos ) (sin6 cos222sin cos3sin4 cos 3sin2 cos4c222sincos222sincosc22,2273sincos(sincos)I的代換升次從而實【思路點撥】法一通過因式分解降次，統一次數從而實現化簡；法二用現化簡.自助餐51 .假設sin后一2,且a為第四象限角，那么tana的值等于（12A.7c12B一石八55C.12D,12【知識點】三角函數關系式恒等變形【數學思想】化歸思想【解題過程】因為sin即一，且a