1、散亂數據曲面擬合的局部加權最小二乘插值方法及權函數的選擇討論 劉福保，李衛國 1 長沙民政職業技術學院 文法系 2 南京航空航天大學 機電學院摘要：本文首先用局部加權最小二乘法將三維空間內任意散亂數據點集均勻，再估計出立方體網格點上的偏導數值及混合偏導數值，最后僅用網格點數據進行快速光滑插值加密計算,從而可得到任意點處的函數值。通過對已知函數的隨機數據點集進行計算,取得了令人滿意的效果。同時,在最小二乘逼近過程中,本文提供了一種權函數,并與其它二種權函數進行分析比較,給出了各種情況下的誤差。關鍵詞:散亂數據,最小二乘,權函數,插值The Topic on Choice of Weighted

2、Functional and Local Weighted Least-mean Square Method for Surface Interpolation to Scattered Data1Liu Fubao ,CHangSha scoclal work collgeg ,ChangSha,410004,China2. Li Weiguo ， Nanjing University of Aeronautics & Astronautics（南航）,    College of Mechanical and E

3、lectrical Engineering（機電學院）, Nanjing 210016, ChinaAbstract: In this article, a uniform grid data is firstly sampled from the scattered data in 3D space by local weighted least square mean method, then partial and mixed partial derivative value on the volume grid node position is estimated, finally t

4、he grid data are interpolated to be a global functional by smoothing and densification a prior. We reported some satisfactory case results at the end of this article. Also, in the process of least square mean fitting, a best weighted functional was adopted after compared with other two traditional w

5、eighted functional. We also presented the error in the case of varied inputted parameters.Keywords: scattered data, least square mean, weighted functional, interpolation、引言給定平面區域內的某一散亂點集D=以及對應點上的函數值,求一個二元函數使其滿足(),這就是三維空間內散亂數據點集的擬合問題。散亂數據的擬合有著非常廣泛的應用領域,在計算機輔助幾何設計、醫學、地質、航空、氣象分析以及環境監測等領域都曾有人試圖應用到,文1詳細地

6、討論了知道其多種解決方法及應用范圍。文2探討了三維空間距離加權最小二乘擬合方法在腦電位地形圖上的應用,其解決方法是對于空間內的每一點都用最小二乘方法估計出函數值來,就是說每求一個值必須解一10´10階的線性方程組,這致使運算過程非常緩慢。文3提出了用多步方法來擬合或插值,即用局部最小二乘逼近與Hermite插值兩步擬合,最后用Shepard方法修正一次得到插值。做完前兩步得到擬合函數,三步做完得到插值函數。與文2的方法相比,文3的計算時間是大大減少了,然而,文3在Hermite插值過程中,直接應用從逼近函數多項式表達式中求得的偏導數值及混合偏導數值與其真值相差很大,從而對擬合曲面的保

7、形性質及精度都有很大影響。因此,在Hermite插值過程中怎樣精確估計出導數值是關鍵一步。文4從三次樣條內節點間的三階導數的變化在最小二乘意義下最小出發推出的一階導數估計方法比文3精確,因而本 劉福保（1962-）,男，湖南藍山人，長沙民政職業技術學院數學高級講師，從事變分法研究。E-mail:lfb620520文采用文4的方法估計導數。同時,考慮到最小二乘擬合過程中,權函數起到了舉足輕重的作用,實踐表明,往往因權函數的選擇不同而誤差大有所異,故本文討論了三種權函數,通過分析和誤差比較,選出一種具有普遍精確性質的權函數。2、常用算法基本步聚為了比較擬合方法的準確性,我們采用通常文獻中普遍所遇到

8、的六個二元函數來作為實際例子,它們的表達式將在下面列出。選擇三批平面數據點集D(分別為25,64,100),點集的生成方法用隨機函數在定義域0,1´0,1上產生.六個函數如下：,.本文算法的基本步聚如下:(1)將平面區域0,1´0,1均勻網格化.(2)用局部最小二乘方法估計出每個網格點上的函數值.(3)估計出網格點上的偏導數值及混合偏導數值.(4)用三次Hermite函數插值均勻網格點上的函數值,得到所求的逼近函數表達式.(5)求出任意點的函數值,用以描會出曲面圖形.3、局部加權最小二乘逼近 局部加權最小二乘逼近的方法基于以下思想:假設要估計出點上的函數值,則這點的函數可被

9、視為其鄰近范圍已知點共同作用影響的結果.顯然,在已知的散亂點中,離距離越近的點對其影響將越大,反之將越小,而在很遠處,影響幾乎可視為零.因此,我們要找到一個具有支撐性質的權函數,其值域應為0,1或近似于0,1,且在附近某個范圍內大于零,其它地方則等于零.這樣的權函數則調節了以知散亂點對所求點的影響能力. 具體的局部加權最小二乘方法是設逼近函數為 (1)其中為參數.對于任一點,求出的值,代入(1)式則可得到函數值,而參數將從以下最小二乘意義上求得: （2）其中,為權函數,為指定的點數.逼近函數可以選擇為二次多項式函數或三次多項式函數本文以二次多項式為例.4、權函數的選擇 權函數的目的是為了調節點

10、附近個點對其的影響,它應該適當地反映這一特點:距離近的點所占權大,距離遠的點所占權小.并且還具有第三部分中提到的那些性質.本文試用以下三種權函數來作比較:(1)(2)(3)其中,;曾在文3中用到,曾在文2中用到.是作者選擇的權函數.它們都具有較好的支撐性質,當時,它們的圖形分別如下:圖.1.高斯函數的形狀隨參數的變化而變化5、Hermite插值與導數值估計 若設定義域上的非均勻網格點為。則得到一網格區域,在這個區域內,網格點上的函數值可由最小二乘方法估計出來,對于非網格點的任意點上的函數值,同樣可以用最小二乘方法估計,然而,那將每求一點都需解一個6´6階(二次多項式)或10´

11、;10階(三次多項式)的線性方程組,因此,解完所有點后,必將需要大量時間。為減少計算量,則用雙三次Hermite基函數來插值個網格點,以此所得的函數來表示要估計的函數。即設,;, 則 （3）其中,方向的Hermite基函數依此構造,而其中為函數值,為方向偏導數,為方向偏導數,為混合偏導數。 為了得到角點信息矩陣中導數值,我們討論在一維情況下的一階導數值估計方法。對于一維三次樣條曲線,設自變量方向的節點為,對應的函數值為 ,要估計出每個節點上的一次導數值。文4考慮到三次曲線的個節點內的三階導數是呈跳躍狀態的,設二階導數分別為 ,則 ,.為了使三階導數的變化最小,可由最小二乘意義知道,需三階導數的

12、跳躍值的平方和最小,即 （4） 取為最小.考慮在這段區域上,的Hermite插值表示可寫為 其中是三次Hermite基函數。求的二階導數可得： （5）其中 ,因為是三次樣條函數,從而在內 .為了保證二階導數連續,設 因此,將(5)式代入(4)式,可得取,從而最小,即達到最小。 聯系到三次樣條的關系式： （6） 其中根據(6)式,可以將寫成與的表達式,于是變成關于與的二元函數,由最小二乘法可知即得一關于的二元線性方程組,通過這個線性方程組,可把解出來,于是由(6)也就解出來了。 對于二維的情況,可以先分別沿著方向和方向求出其偏導數值,然后以方向的偏導數值為函數值,沿方向求出混合偏導數值。6、實驗

13、結果與結論 對于第三部分所給出的六個函數,我們將定義域劃分成41´41個網格,利用以上介紹的求導方法以及所選的三個權函數,在離散點為25,64,100個點的情況下,得到了它們的RMSE(root-mean-square error)誤差,以此來觀察各種方法的效果。誤差公式為所得結果列表如下:表1.權函數F1F2F3F4F5F68.62083.97042.19242.34213.79125.4338.37293.54652.22082.08743.33904.9838.95304.06302.33312.38514.03165.539表2.權函數F1F2F3F4F5F66.11041.

14、58361.75248.7653.13892.6903.02011.34911.23354.6331.67652.6526.45711.66691.79909.3893.33992.769表3.權函數F1F2F3F4F5F63.03439.2173.9262.5595.3602.5521.94048.6312.9472.1884.8492.3193.19179.9404.3522.6415.9622.623從以上各表可以知道權第二種權函數比其它兩種權都要優越。參考文獻1R.L.Hardy Theory and applications of the multiquadric-biharmonic method. Computer Math.applic Vol.19.No.89.PP.163-208. 19902周龍旗等 三維空間距離加權最小二乘插值方法在腦地形圖上的應用 數值計算與計算機應用 9月 1994年3T.A.Foley Scattered data interpolation and apro