1、第三章多維隨機變量及其分布 一、二維隨機變量一、二維隨機變量 二、邊緣分布二、邊緣分布 三、相互獨立的隨機變量三、相互獨立的隨機變量 四、兩個隨機變量的函數的分布四、兩個隨機變量的函數的分布定義定義1 1 設隨機試驗設隨機試驗E的樣本空間是的樣本空間是設設( )XX e和和( )YY e是定義在是定義在上的隨機變量，則由它們構成的一上的隨機變量，則由它們構成的一個向量個向量(, )X Y稱為稱為二維隨機變量二維隨機變量或或二維隨機向量二維隨機向量。 定義定義2 設設(, )X Y是二維隨機變量，對于任意實數是二維隨機變量，對于任意實數, x, y二元函數二元函數,P Xx Yy稱為二維隨機變量

2、稱為二維隨機變量(, )X Y的的分布函數分布函數，或，或聯合分布函數聯合分布函數。第一節第一節 二維隨機變量二維隨機變量 ,SeS)()(),(yYxXPyxF 二維分布函數的幾何意義二維分布函數的幾何意義( , )F x y處的函數值處的函數值:在在( , )x y隨機點隨機點(, )X Y落在以落在以( , )x y為頂點的左下方為頂點的左下方矩形開域上的概率。矩形開域上的概率。),(yxxy021(,)xy22(,)xy12( ,)x y11( ,)x yy2x1x1y2y0 x1212,P xXxyYy所以所以22122111(,)( ,)(,)( ,)F x yF x yF x y

3、F x y性質：性質： ( , )F x y是變量是變量x和和y的不減函數，即的不減函數，即對任意固定的對任意固定的y，當，當21xx時，時，21(, )(, )F xyF xy對任意固定的對任意固定的x，當，當21yy時，時，21( ,)( ,)F x yF x y 0( , )1F x y(,)0F ( , )F x y關于關于, x y右連續，即右連續，即( , )(0, )F x yF xy, 0),( yF, 0),(xF. 1),(F,( , )( ,0)F x yF x y(,)1,F (,)0,F 0),(F),(YX)4arctan)(3arctan(),(yCxBAyxF3

4、,4.P XY例例1. 設設的分布函數為的分布函數為求常數求常數, ,A B C的值及概率的值及概率解解 由分布函數的性質由分布函數的性質得得1)2)(2(CBA0)2)(2(CBA0)2)(2(CBA21A2B2C)4, 3(F169定義：定義： 若二維隨機變量若二維隨機變量),(YX的所有可能取值的所有可能取值( ,),ijx y,1,2,i j 是有限對或可列無限多對時，則稱是有限對或可列無限多對時，則稱),(YX為為離散型隨機變量離散型隨機變量。 一、二維離散型隨機變量一、二維離散型隨機變量( ,1, 2,)(1)i j jijipyYxXP,的的分布律分布律。),(YX則稱則稱(1)

5、式為二維隨機變量式為二維隨機變量0) 1jip1)211ijjip滿足：滿足：例例1 1次，令：將一枚均勻的硬幣擲3的聯合分布律，試求YX數；次拋擲中正面出現的次： 3X；，的可能取值為3210X解解：，的可能取值為31Y次數之差的絕對值與反面出現次拋擲中正面出現次數： 3Y；010YXP，30YXP，；8111YXP，；83；031YXP，12YXP，；83；032YXP，；013YXP，8133YXP，的聯合分布律為，由此得隨機變量YX X Y012310838303810081 例例2.2.一袋中有四個球一袋中有四個球, ,上面分別標有數字上面分別標有數字1,2,2,3.1,2,2,3.

6、從從袋中任取一球后不放回袋中任取一球后不放回, ,再從袋中任取一個球再從袋中任取一個球, ,以以,X Y分別表示第一、二次取得的球上標有的數字，求分別表示第一、二次取得的球上標有的數字，求),(YX的分布律。的分布律。解解可能取值均為可能取值均為1,2,3.1,2,3.,X Y111,1pP XY121,2pP XY11 1|1004P XP YX1211 2|1436P XP YX131/4 1/31/12 ,p212/4 1/31/6p222/4 1/31/6 ,p232/4 1/31/6p同理可得311/4 1/31/12 ,p321/4 2/31/6p331/4 00 .p所以),(Y

7、X的分布律為 0 1/6 1/12 1/6 1/6 1/6 1/12 1/6 0 1 2 3 1 2 3XY定義：定義： 設二維隨機變量設二維隨機變量),(YX的分布函數為的分布函數為(, ) ,F xy若存在若存在( , )0,f x y 使得對任意實數使得對任意實數,x y總有總有( , )( , )yxF x yf u v dudv 則稱則稱),(YX為為二維連續型隨機變量二維連續型隨機變量,( , )f x y稱為稱為),(YX的的概率密度概率密度,或稱為隨機變量或稱為隨機變量X和和Y的的聯合概率密度聯合概率密度。二、二維連續型隨機變量二、二維連續型隨機變量若若( , )f x y在點

8、在點( , )x y連續，則有連續，則有2( , )( , )F x yf x yx y (, )( , )0PX Yx y,即連續型隨機變量在某點的即連續型隨機變量在某點的概率為概率為0。(, )( , ),GPX YGf x y dxdyG表示表示xoy平面上的區域平面上的區域,落在此區域上的概率相當于以落在此區域上的概率相當于以 G為底為底,以曲面以曲面( , )zf x y為頂的曲頂柱體體積。為頂的曲頂柱體體積。注：注：( , )0f x y ( , )1f x y dxdy f (x,y)的性質的性質:例例3 設二維隨機變量設二維隨機變量),(YX的概率密度的概率密度2,0 ,0 ,

9、( , )0,.xykexyf x y其它試求：試求： 常數常數k的值；的值； 分布函數分布函數( , );F x y 概率概率;P YX 概率概率1;P XY解解 由概率密度的性質由概率密度的性質2001(, )2x ykf x y dxdykedxdy 得得2k ,從而得從而得22,0 ,0 ,( , )0,.xyexyf x y其它 由分布函數的性質由分布函數的性質(, )( , )xyF xyf u v dvdu 2002,0,0,0,.xyu vedvduxyothers 2(1)(1),0,0,0,.xyeexyothers:(, )( , )G y xP YXPX YGf x y

10、 dxdy2021/3x yydyedx 112120021 2yx ydyedxee xy0111xyxy0Gyx 將將),(YX看作平面上隨機點的坐標，有看作平面上隨機點的坐標，有GdxdyyxfYXP),(1122Gyxdxdye122Gyxdxdye例例4 設二維隨機變量設二維隨機變量),(YX的概率密度為的概率密度為21,01 02,( , )30,.xxyxyf x yothers，試求概率試求概率1YXP解解 積分區域如右圖所示積分區域如右圖所示1( , )x yf x y dxdy 1P XY12201()3xxydxxdy6572xy0111xy21)31(2Gdxdyxyx

11、)16)(9(12),(),(2222yxyxyxFyxf03PX的分布函數為的分布函數為),(YX)4arctan2)(3arctan2(1),(2yxyxF(, );f xy例例5 已知已知試求：試求：),(YX的概率密度的概率密度03.PX解解 03PXY ，3222012.(9)(16)4dydxxy 30),(dydxyxf二維均勻分布二維均勻分布的密度函數為，如果二維隨機變量YXAD其面積為是平面上的有界區域，設上的均勻分布服從區域，則稱二維隨機變量DYXDyxDyxAyxf，01二元正態分布二元正態分布的密度函數為，隨機變量設YX的正態分布，記作，服從參數為，則稱隨機變量rYX2

12、2212122222121212122212121exp121yyxrxrryxf，rNYX222121，21，ii210，ii11r邊緣分布 第三章 二、邊緣分布律二、邊緣分布律一一 、邊緣分布函數、邊緣分布函數 三、邊緣概率密度三、邊緣概率密度第二節一、一、 邊緣分布函數邊緣分布函數 的分布函數為的分布函數為( , ),F x yP Xx Yy( )XFx分別分別的分布函數為的分布函數為設設),(YX記記( )YFy和和的的邊緣分布函數邊緣分布函數。 XY，稱為關于，稱為關于和和,XxXxYXx Y 則則XY和)(xFXxXP,YxXP),( xF同理可得同理可得)(yFY),(yF 研究

13、問題：研究問題：已知聯合分布，怎樣求已知聯合分布，怎樣求 X,Y 的邊緣分布。的邊緣分布。解解: :的邊緣分布函數為的邊緣分布函數為X),(YX關于關于例例1:1: 已知已知),(YX的分布函數為的分布函數為23(1)(1),0,0,( , )0 ,.xyeexyF x y其它( )XFx的邊緣分布函數的邊緣分布函數( )YFy ，和和求求),(YX關于關于XY和問問各服從什么分布？各服從什么分布？XY和),()(xFxFX0,12xex其它, 0同理，同理，),()(yFyFY0,13yey其它, 023二、二、 離散型隨機變量的邊緣分布律離散型隨機變量的邊緣分布律 ),(YX,( ,1,2

14、,)ijijP XxYypi j),(YXX設設的分布律為的分布律為則則關于關于的邊緣分布律為的邊緣分布律為ixXP,1jjiyYxXP1jjip,ixXP)(1jjyY ip記做記做,2,1, i1ijijpyYPjp記做記做同理同理,2,1,j通常用以下表格表示通常用以下表格表示),(YX的分布律和邊緣分布律的分布律和邊緣分布律YX1y2yjy.1x.2x.ix.11p12p1jp21p22p2 jp1ip2ipi jp.1ip1p2pipjp1p2pjp例例2 2 分布律分布律各自的邊緣各自的邊緣及及的聯合分布律與的聯合分布律與，試求，試求記所取的數為記所取的數為中隨機地取出一個數，中隨

15、機地取出一個數，到到，再從，再從記所取的數為記所取的數為個數中隨機取出一個，個數中隨機取出一個，這這，從從YXYXYXX144321三、連續型隨機變量的邊緣概率密度三、連續型隨機變量的邊緣概率密度, ),(yxf),()(xFxFXdux),(YX若若是二維連續型隨機變量是二維連續型隨機變量, 其概率密度為其概率密度為則則: )(xfX dxyxfyfY),()(同理同理dvvuf),( dyyxf),(關于關于X 和和Y 的邊緣概率密度。的邊緣概率密度。),(YX分別是分別是解解:,0, 10| ),(xyxyxG設GYX在),(的邊緣概率和關于求YXYX),(),(YX其它, 0),(,

16、2),(Gyxyxf例例3.上服從均勻分布上服從均勻分布,)(xfX)(yfY密度密度 和和的概率密度為的概率密度為)(xfXdyyxf),(其它,010,20 xdyx其它, 010,2xxx xy y0 01 1y=xy=x)(yfY其它,010),1 (2yydxyxf),(其它,010,21ydxy其它, 0),(, 2),(Gyxyxfx xy y0 01 1y=xy=x解解:,0, 10| ),(xyxyxG設GYX在),(的邊緣概率和關于求YXYX),(),(YX例例3.上服從均勻分布上服從均勻分布,)(xfX)(yfY密度密度 和和的概率密度為的概率密度為yox2yxyx11例

17、例4 已知已知26,(, ) ( , )0,xyxX Yf x y其它.( ) ,( )XYfxfy求。解解( )( , )Xfxf x y dy2266(),01,0,.xxdyxxx其它66(),01,( )( , )0,.yyYdxyyyfyf x y dx其它例例5 已知已知221,1,(, ) ( , )0,xyX Yf x y其它.( ) ,( )XYfxfy求。1111yx解解( )( , )Xfxf x y dy2221112 1,11,0,.xxxdyx 其它22 1,11,( )0,.Yyyfy 其它由對稱性得注：注：聯合分布邊緣分布相互獨立的隨機變量 第三章 二、二、n個

18、隨機變量的獨立性個隨機變量的獨立性 一、兩個隨機變量的獨立性一、兩個隨機變量的獨立性 第三節均有均有),(YXyx, P Xx YyP Xx P YyXY與一、兩個隨機變量的獨立性一、兩個隨機變量的獨立性定義定義1 1 若二維隨機變量若二維隨機變量對任意的實數對任意的實數成立，則稱隨機變量成立，則稱隨機變量是是相互獨立相互獨立的。的。)()(),(yFxFyxFYX即即1) 對于離散型的隨機變量對于離散型的隨機變量,jiyYxXPji,jiyYPxXP 2) 對于連續型的隨機變量對于連續型的隨機變量)()(),(yfxfyxfYX幾乎處處成立。幾乎處處成立。例例1 1 設隨機變量設隨機變量XY

19、與相互獨立，試確定相互獨立，試確定 a,b,c 的值？的值？YXa1/3b1/91/91x2x3xc2y1y1/9 1/3 b1/9ac jp1/9a1/9 b1/3 cip2222pp p1112()()9939bbbb1212pp p11111()()99398aba解：解：XY與因為因為相互獨立相互獨立1111()()19936acbc 其它, 0, 10, 10,4),(yxyxyxf),(YX例例2 2 設隨機變量設隨機變量的概率密度為的概率密度為試問試問X與與Y是否相互獨立是否相互獨立? ?),(YXdyyxfxfX),()(X其它, 0, 10,2410 xxxydy解解 因為因

20、為關于關于的邊緣概率密度的邊緣概率密度其它, 0, 10,2)(yyyfY)()(),(yfxfyxfYX故故X與與Y是相互獨立的。是相互獨立的。例例3.（約會問題）張三與李四決定在老地方相會，他們（約會問題）張三與李四決定在老地方相會，他們到達時間均勻分布在晚上到達時間均勻分布在晚上7:007:30,且時間相互獨立且時間相互獨立,求：兩人在求：兩人在5分鐘之內能見面的概率。分鐘之內能見面的概率。解解設張三到達的時間為設張三到達的時間為X ；李四到達的時間為；李四到達的時間為Y，1/30,030,( )0,.Xxfxothers1/30,030,( )0,.Yyfyothers0301/900

21、,( , )( )( )030,0,.XYxf x yfxfyyothers所以，所以， 所求概率為所求概率為| 5PXY211190036GS2511(1)3636or 525 30 xy502GGdxdyyxf),(19001Gdxdy注：注：關于正態分布的重要結論。關于正態分布的重要結論。二、二、n個隨機變量的獨立性個隨機變量的獨立性定理定理 設隨機變量設隨機變量12(,)mX XX12( ,)nY YY和相互相互獨立，獨立，h , g 是連續函數，則隨機變量是連續函數，則隨機變量12(,)mh X XX12( ,)ng Y YY和也相互獨立。也相互獨立。二維隨機變量的函數的分布 第三章

22、 一、離散型隨機變量函數的分布一、離散型隨機變量函數的分布 第四節二、連續型隨機變量函數的分布二、連續型隨機變量函數的分布 一、二維離散型隨機變量的函數的分布一、二維離散型隨機變量的函數的分布 設離散型隨機變量設離散型隨機變量),(YX的分布律為的分布律為,2,1,jipyYxXPjiji設設),(yxgz 為二元函數，為二元函數，求求的分布律。的分布律。jiyYxX,),(jiyxgz jijipyxgZP),(, 2 , 1,ji當當時，時，Z 相應的值為相應的值為且有且有),(yxgz 例例 1 YX12341410002818100312112112104161161161161 的的

23、聯聯合合分分布布律律為為，設設二二維維離離散散型型隨隨機機變變量量YX的的分分布布律律，試試求求隨隨機機變變量量令令：ZYXZ 解：解：，的取值為可知隨機變量8765432YXZ，的取值都是與由于4321YX2ZP11YXP，；413ZP1221YXPYXP，；818104ZP132231YXPYXPYXP，；2451218107ZP3443YXPYXP，；16116106ZP243342YXPYXPYXP，；48716112105ZP14233241YXPYXPYXPYXP，；487161121008ZP44YXP，161的分布律為由此得YXZZ2345678P418124548748716

24、1161例例2 假設隨機變量假設隨機變量 X 與與 Y 相互獨立，它們分別服從相互獨立，它們分別服從參數為參數為12和的泊松分布。求的泊松分布。求ZX Y的分布律。的分布律。解解 由題意可知由題意可知0,1,2,ZR 111111,0 ,1 ,2,!kP Xkekk222222,0 ,1 ,2,!kP YkekkP ZiP XYi0,0P XYiP Xi Y0,ikP XkYik 故故0ikP XkP Yik P ZiP XYi0,0P XYiP Xi Y0,ikP XkYik 21!)(!201ekiekkiikk12()1201!iki kkieik ik 12()1201!ikki ki

25、keCi 12()12()!iei,2 ,1 ,0i)(21YXZ故故泊松分布具有可加性泊松分布具有可加性二、二維連續型隨機變量的函數的分布二、二維連續型隨機變量的函數的分布 . Z = X+Y 的分布的分布已知已知( X , Y )的概率密度為的概率密度為f (x,y),求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。Z=X+Y的分布函數為的分布函數為解：解：)(zZPzFZzYXPzyxGdxdyyxf:),(xyzyx0yzdxyxfdy),(z),(),(duyyufdxyxfyz令令 x =u-y,則則)(zZPzFZyzdxyxfdy),(z),(),(duyyufdxyxfyz而zZdud

26、yyyufzF),()(dyduyyufz),(dyyyzfzfZ),()(dxxzxf),(特別地特別地,當當X 與與Y 相互獨立時相互獨立時,有有( )()( )ZXYfzfzyfy dy( )( )()ZXYfzfxfzx dx上式稱為上式稱為XYff與的卷積公式的卷積公式 ,記為記為XYffdyyyzfzfZ),()(dxxzxf),(例例 3解：的密度函數，試求隨機變量均勻分布，令上的，相互獨立，都服從區間與設隨機變量ZYXZYX10由題意，可知 其它0101xxfX 其它0101yyfY ，則有的密度函數為設隨機變量zfYXZZ dxxzfxfzfYXZ dxxzfxfzfYXZ,

27、 20 zz，或，或若若 0 zfZ，若若10 z zZdxzf01z dxxzfxfzfYXZ10, 10 xzxxz0 xz1 xz0112的密度函數為綜上所述，我們可得YXZ 其它021210zzzzzfZ zdxzfzzZ 2121)3(11，若若例例4 假設假設 X 和和Y 相互獨立相互獨立,且都服從標準正態分布，且都服從標準正態分布，解解由題意可知由題意可知X 與與Y 的概率密度分別為的概率密度分別為由卷積公式可得由卷積公式可得 Z 的概率密度為的概率密度為).(zfYXZZ的概率密度求,21)(22xexfxX,21)(22yeyfyYdxxzfxfzfYXZ)()()(dxee

28、xzx2)(222212412ze222( 2)122ze)2 , 0( NZ結論：結論： 正態分布的可加性正態分布的可加性nXXX,21若隨機變量若隨機變量相互獨立，并且相互獨立，并且),(2kkkNX(1 , 2 ,)kn),(12211nkkknkkknkkkNXZ,則則為常數ka,解：解：由題意，可知 其它0101xxfX 000yyeyfyY ，則有的密度函數為設隨機變量zfYXZZ dxxzfxfzfYXZ例例5 5 設隨機變量設隨機變量X ,Y 相互獨立，相互獨立，X 服從區間服從區間(0,1)上的上的上的均勻分布，上的均勻分布，Y 服從服從1的指數分布，試求隨機的指數分布，試求

29、隨機變量變量 Z=X+Y 的概率密度函數。的概率密度函數。，若0z 0zfZ，若10 z ,dxxzfxfzfYXZ0, 10 xzxxz0 xz011 zxzZdxezf0)(1ze1zxzdxee0，若1z 10)(dxezfxzZzzee110dxeexz的密度函數為的密度函數為綜上所述，我們可得綜上所述，我們可得YXZ 1101001zeezezzfzzzZ例例5 5 設隨機變量設隨機變量( X ,Y )的概率密度為的概率密度為ZZXYf求的概率密度(z);,0,( , )0,.yexyf x yothers/2,0,( )0,0.zzZeezfzz解：解：.M= max(X,Y )，N= min(X,Y )的分布的分布(隨機變量相互獨立）隨機變量相互獨立）( )( )XYFxFy和X和和Y的分布函數的分布函數( )max(, )MFzP MzPX Yz解解max(, )MX Y的分布函數為的分布函數為,P Xz Yz( )min(, )NFzPX Yz1min(, )PX Yz min(, )NX Y的分布函數為的分布函數為1P XzP Yz 1 1( )1( )XYFzF z zYPzXP)()(zFzFYX( )( )( )MXYFzF