1、高中數學復習專題講座關于求圓錐曲線方程的方法高考要求 求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點，主要考查學生識圖、畫圖、數形結合、等價轉化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創新思維能力，解決好這類問題，除要求同學們熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質外，命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數法 重難點歸納 一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟 定形指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置 定式根據“形”設方程的形式，注意曲線系方程的應用，如當橢圓的焦點不確定在哪個坐標軸上時，可設方程為mx2+ny2=

2、1(m0,n0) 定量由題設中的條件找到“式”中特定系數的等量關系，通過解方程得到量的大小 典型題例示范講解 例1某電廠冷卻塔的外形是如圖所示的雙曲線的一部分，繞其中軸(即雙曲線的虛軸)旋轉所成的曲面，其中A、A是雙曲線的頂點，C、C是冷卻塔上口直徑的兩個端點，B、B是下底直徑的兩個端點，已知AA=14 m，CC=18 m,BB=22 m,塔高20 m 建立坐標系并寫出該雙曲線方程 命題意圖 本題考查選擇適當的坐標系建立曲線方程和解方程組的基礎知識，考查應用所學積分知識、思想和方法解決實際問題的能力 知識依托 待定系數法求曲線方程；點在曲線上，點的坐標適合方程；積分法求體積 錯解分析 建立恰當

3、的坐標系是解決本題的關鍵 技巧與方法 本題是待定系數法求曲線方程 解 如圖，建立直角坐標系xOy,使AA在x軸上，AA的中點為坐標原點O，CC與BB平行于x軸 設雙曲線方程為=1(a0,b0),則a=AA=7又設B(11,y1),C(9,x2)因為點B、C在雙曲線上，所以有由題意，知y2y1=20,由以上三式得 y1=12,y2=8,b=7故雙曲線方程為=1 例2過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=x過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程 命題意圖 本題利用對稱問題來考查用待定系數法求曲線方

4、程的方法，設計新穎，基礎性強 知識依托 待定系數法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱問題 錯解分析 不能恰當地利用離心率設出方程是學生容易犯的錯誤 恰當地利用好對稱問題是解決好本題的關鍵 技巧與方法 本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將A、B兩點坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減得關于直線AB斜率的等式 解法二，用韋達定理 解法一 由e=,得,從而a2=2b2,c=b 設橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上 則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12x22)+2(y12y22)=0,設AB中點為(x0,y0),

5、則kAB=,又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是=1,kAB=1,設l的方程為y=x+1 右焦點(b,0)關于l的對稱點設為(x,y),由點(1,1b)在橢圓上，得1+2(1b)2=2b2,b2= 所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=x+1 解法二 由e=,從而a2=2b2,c=b 設橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k= 直線l y=x過AB的中點(),則,解得k=0，或k=1 若k=0,則l的方程為y=

6、0,焦點F(c,0)關于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=1，直線l的方程為y=(x1),即y=x+1,以下同解法一 例3如圖，已知P1OP2的面積為，P為線段P1P2的一個三等分點，求以直線OP1、OP2為漸近線且過點P的離心率為的雙曲線方程 命題意圖 本題考查待定系數法求雙曲線的方程以及綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力 知識依托 定比分點坐標公式；三角形的面積公式；以及點在曲線上，點的坐標適合方程 錯解分析 利用離心率恰當地找出雙曲線的漸近線方程是本題的關鍵，正確地表示出P1OP2的面積是學生感到困難的 技巧與方法 利用點P在曲線上和P1OP2的面

7、積建立關于參數a、b的兩個方程，從而求出a、b的值 解 以O為原點，P1OP2的角平分線為x軸建立如圖的直角坐標系 設雙曲線方程為=1(a0,b0)由e2=，得 兩漸近線OP1、OP2方程分別為y=x和y=x設點P1(x1, x1),P2(x2,x2)(x10,x20),則由點P分所成的比=2,得P點坐標為(),又點P在雙曲線=1上，所以=1,即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 即x1x2= 由、得a2=4,b2=9故雙曲線方程為=1 例4 雙曲線=1(bN)的兩個焦點F1、F2，P為雙曲線上一點，|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數列，則b2=_ 解析 設F1(c,0）、F2(c,0)、P(x,y),則|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|250+2c2,又|PF1|2+