1、圓錐曲線總結平四邊形問題解析版2 21.已知橢圓C:冷 篤 1 (a b 0)經過點M(1,-),其離心率為-.a b22(I)求橢圓C的方程;(I設直線l : y kX m鄰邊作平行四邊形 OAPB,(|k| -)與橢圓C相交于A、B兩點，以線段OA,OB為2其中頂點P在橢圓C 上, O為坐標原點.求Op的取值范圍.解：(I)由已知可得e4b22.2.2,所以 3a2a 4319又點M(1,3)在橢圓C上，所以篤12a 4b由II解之，得a24,b2 3.2故橢圓C的方程為4,y kx m,(I )由 22i厶1.43消y化簡整理得：(34k2)X228kmx 4m 120，2 2 2 26

2、4k m 4(3 4k )(4 m12)48(3 4k2m2)設A,B, P點的坐標分別為(xi, yi)、(X2,y2)、(Xo,yo)，X0XX28kmky0 y1y2k(Xi X2)2m4k由于點P在橢圓C上，所以2Xo4從而 16212m： 2(3 4 k2)2(3 4k2)21，化簡得4m23 4k2,經檢驗滿足I式.又lOPi廠舲證7(3 4k2)2/ 4m2 (16k2 9)/16k2 9V (3 4k2)2Y 4k2 3因為k34k3'得34k2OP713故732123 4，有 34r即所求OP的取值范圍是坂西.22.已知橢圓C: 9x2 y2 m2(m>0),直

3、線l不過原點0且不平行于坐標軸,I與C有兩個交點A，B,線段AB的中點為M.(I)證明：直線0M的斜率與I的斜率的乘積為定值;(I)若 l 過點(m, m)，3延長線段0M與C交于點P，四邊形OAPB能否平行四邊形？若能，求此時I的斜率；若不能，說明理由.解析：(I)設直線 l:y kx b(k 0,b 0),A(x,yi), B(X2,y2),M(XM,yM),將kx b 代入 9x2 y2 m2得(k2 9)x2 2kbx b2XiX2m2 0,故 Xm 2kbk2 9，YmkXM b #4.于是直線0M的斜率kOMYmxm9-，即 koM kk所以直線0M的斜率與I的斜率的乘積為定值.(

4、I)四邊形OAPB能為平行四邊形,因為直線l過點(Tm)，所以l不過原點且與C有兩個交點的充要條件是0,k 3，由(I)得0M的方程為9y X.k設點P的橫坐標為Xp，由y9x29 -x k2y單L，即Xp9k2 81k2 9將點(m3，m)的坐標代入1的方程得m(3 k)3因此xm骼誓.四邊形3(k9)OAPB為平行四邊形當且僅當線段AB與線段0P互相平分，即xp 2xm，于km是 3jk2 92 k(k 3)m3(k2 9)解得k14 77,k24 T?,因為ki 0,ki3,i1,2 ,所以當丨的斜率為4 尹或4 尹時，四邊形OAPB為平行四邊形.2 23.如圖，在橢圓 冷 £

5、1(a0)中，F1, F2分別為橢圓的左、右焦點,a 8分別為橢圓的左、右頂點，A為橢圓在第一象限內的任意一點，直線AF1交橢圓于另一點C,交y軸于點E,且點Fi、F2三等分線段BD。(II)若四邊形EBCF2為平行四邊形,求點C的坐標。(III )設S AEO解：(I) F1, F2 三等份 BD ,11| F1F2 | -| BD |,即2c - 2a,a 3c 332 .22.2c2 -a bc ,b8, a 9, a(II)由(I)知 a 3, B( 3,0), Fi(Q若四邊形EBCF2為平行四邊形則E( 2 X0,y0),Q E在y軸上,0, a1分(I)求a的值;的取值范圍0AP

6、 .13.3分1,0), F1為BF2的中點,C,E 關于 F1( 1,0)對稱，設 C(Xo,yo),Xo0,X02,L L L L 5分2 2Q點(X0,y0)在橢圓上，互也98彳"0,因此點C的坐標為(依題意yo(III)依題意直線直線AC:y得(8 9k2)X2QSS AEO1,4AC的斜率存在,滋1,解得y。&10832,逝)L L L L 6分3k(x 1),A(X1,y1),C(X2,y2)由18k2x 9(k2 8)2|AF1|hIAF1I1|AEh| |AE|0,X1 X22 X9y2y8k(X18k21)89戶"2X1 | |X11|k | 0 X1 |X1 |29(k8)8 9k2X1 1X1同理可求1 x21 X11X1X2(1X1)X1(1X1X2X1X218k22k22X1X228 9k22X1X2