1、高考數學復習優質專題學案（經典解析）圓錐曲線中的面積問題、基礎知識:1、面積問題的解決策略:（1）求三角形的面積需要尋底找高，需要兩條線段的長度，為了簡化運算，通常優先選擇能用坐標直接進行表示的底（或高）（2）面積的拆分：不規則的多邊形的面積通?？紤]拆分為多個三角形的面積和，對于三角形如果底和高不便于計算，則也可以考慮拆分成 若干個易于計算的三角形2、多個圖形面積的關系的轉化：關鍵詞“求同存異”，尋找這些圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點，從而可將面積的關 系轉化為線段的關系，使得計算得以簡化3、面積的最值問題：通常利用公式將面積轉化為某個變量的函數，再求解函數的最值，在尋底找高的

2、過程中，優先選擇長度為定值的線段 參與運算。這樣可以使函數解析式較為簡單，便于分析4、橢圓與雙曲線中焦點三角形面積公式（證明詳見“圓錐曲線的性質”）2 2(1)橢圓：設P為橢圓與+占=1（ab>0 ）上一點，且GP F2 =£，則 a bSp F1F2曲an?22 2雙曲線：設P為橢圓-占=1（a,b >0 ）上一點，且NF1PF2=8，則a bSP F1F2121=b r cot- 2二、典型例題：高考數學復習優質專題學案（經典解析）=二卩店2丫 p= c.yp，所以當y最大時，L PF1F2面積最大。即P位于2乞+ y2 =1 可知 a = 2,b=1,c=J3，所以

3、 4P（0,1 ）,F1（,0汗2（73,0 ），進而計算出PF, ”PF2的值為-2A.B.24/3C.322D.2422例1：設F1,F2為橢圓二+ y思路：由橢圓中心對稱的特性可知P,Q關于原點中心對稱，所以L PFiF2與=1的左右焦點，過橢圓中心任作一直線與橢4圓交于P,Q兩點，當四邊形PF1QF2的面積最大時， 左宛的值等于2 2思路：將橢圓化為標準方程為討計，進而可得c = Sp 吋2 -2短軸頂點時，Lp F1F2面積最大。由答案：-2 例2：已知點P是橢圓16x2+25y2 =1600上的一點，且在x軸上方，RE分別為橢圓的左右焦點，直線PF2的斜率為-4/3，貝y L PF

4、1F2的面積是，所以Fi（6,0）,F2（6,0 ），計算L PF1F2的面積可以以IF1F2I為底，Py為高，所以考慮利用條件計算出P的縱坐標，設P（x,y ），則有kpF =J = -4/3，所以2 X -6K 2216x +25y =1600*亠=7逅可解得八4巧或y泌（舍去），所以X -619y A0高考數學復習優質專題學案（經典解析）11Sp F1F2F1F2- 124忑=24j322答案:例3:已知F為拋物線y2 =x的焦點，點A,B在該拋物線上且位于X軸的兩側,OA OB =2，貝y L ABO與L AFO面積之和的最小值是（A.B. 3D.尿思路：由OA O=2入手可考慮將向量

5、坐標化,設 A(Xi,yi ),B(X2,y2)，則+ yiy2 =2，進而想到可用韋達定理。所以設AB與X軸交于M（m,0 ）直D. 8線 AB : X = ty + m 。1Sla B +o S a孑oO Miy2 一y 中吃由卄孕可知y-yi消元后可得：SABo+SAFo =8yi+令寸8沁=3，等號成立當且僅當yiyi=y2 一 ty 一 m = 0 ,所以x = t y + mymv0,XiX2=yi2y；=m2,所以由x/?=2 可得：m2 m =2=m= 2 , 所以ym 2 ,不妨設A在X軸上方，如圖可得：yi ，所以 SABO +SAFO 的最小值為33答案：B 例4：拋物線

6、y2 =4x的焦點為F，準線為I，經過F且斜率為73的直線與拋物線在X軸上方的部分相交于點A，AK丄I，垂足為K,貝此AFK的 面積是（A. 4B.33高考數學復習優質專題學案（經典解析）思路：斜率為73可知直線的傾斜角為 上，從而可得3NKAF =-，所以在計算面積時可利用兩邊與夾角，3所以可得Sakf : 1工2AKHAFIs噲，由拋物線性質可得AK = AF，所以只需求得焦半徑AF，即只需解出A點橫坐標。利用幾何關系可得Xa = OF + FM方程：由焦半徑公式可得：Xa= of + (Xa +1 戶 Xa=3Sakf : 21答案：C212；!f-=-AF sin =価 3A F二aX

7、1 ,所以可得AF = Xa +1=4小煉有話說：（1）本題的解法是利用題目中的幾何關系求解,繞過代數運算'而突破點即為直線的傾斜角I，所以當題目中出現特殊角時, 可以考慮蘊含其中的幾何特點，從而使得運算更為簡單。（2）本題的Xa也可通過聯立方程，使用代數方法解決，方法步驟如下:由拋物線方程可得：F（1,0 ），設l:y=Qx-1），聯立方程:f 2I y = 4x2 L = 3(x T ) =4x，整理可得: y =5/(x-1)3X2-1oX+3=0X=3或 XW”I =1Jx 3 廠或 I 3(舍) 二 Xa =3ly=2 蟲ly 一I 32 2例5：以橢圓計1的頂點為焦點，焦點

8、為頂點的雙曲線C，其左右焦點分別為Fi,F2，已知點M的坐標為（2,1），雙曲線C上點高考數學復習優質專題學案（經典解析）丘-1P(xo,yo 也 >°0 >0)滿足M1F2FjF MF F S PMF* - S PMF2 等 于A. 2B. 4C.D.-1思路：可先利用橢圓確定雙曲線方程及其焦點坐標, 為（-3,0）,（3,0 ），即為Fi,F2的坐標，橢圓的焦點為（-2,0）,（2,0 ），所以雙曲線中a =2,c=3，進而bW觀察 pFMF1 =PFiF2F11可聯想到投影，即Mf!在Pf1的投影與 M!在FF*的投影相等，由幾何關系可得FiM為Z PF1F2的角平

9、分線。由M (2,1 汗2(3,0 )可得 kMF2 =-1，即 F2M 平分 NP F2F1，從而 M 為 L PF1F2 的內心,徑 r = Ym =*。 從 而2r(|PFi|P F2|)=211Sp MFt S_ PMF2=PF* r 一 PF2 r =-2答案：A2 2例6:已知點P為雙曲線占=1（a>0,b>0 ）右支上一點，Fi,F2分別是a b雙曲線的左右焦點，且F1F2I， I為三角形aPFi F2的內心，右 Si PF* = S_i PF2 +幾5_尸/2成立，貝J幾的值為（）A.1 +2伍2B.23-1c.72+1 D. /r* *fV高考數學復習優質專題學案

10、(經典解析)思路：由三角形內心的性質可得I到三邊的距離相等，所以Lip F1J pf2,if1F2的SLIPFt = S_IPF2 中幾丸尸忻=j PF1 = PF2 + A F1F2 ,+ aSPFi - PF21二 SlipF1 =2PF1r，S利用卩冋確定a,c的關系即可。a解：；I為三角形PF1F2的內心IPF2=2PF2IS1F2F1 = 2時1| rSLlPFt = S_|PF2 +幾尸汗2 二IPF1ITP F2z|F1F2二 A F1F Ph - PF2P在雙曲線上，且Fi,F2是焦點二 PFi - PF2 =2a,農=2c. A仝即A為離心率a2ac=c2-a2，兩邊同時除以

11、a2得:e2 -2e j = 0，解得 e =2 ±22答案：C例7:已知點A(0,-2 ),橢圓e：7 b+占=12汕0 )的離心率為豐,F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為V，O為坐標原點(1)求E的方程(2)設過點A的動直線I與E相交于P,Q兩點，當UOPQ面積最大時,求I的方程解：(1)設 F(c,0)二 kAF =-=2朋 “£高考數學復習優質專題學案(經典解析)2C 2b2 =a2-c2 =1I *c¥ e =a=a 2J32X 2 E: + y2 =14思路：首先設PQ : y = kx 2 ，P(X1,y1 ),Q(X2,y2 )，由圖像可得Sop

12、Q o主Q】PQ，考慮聯立直線與橢圓方程并利用點到直線距離公式和弦長公式用k表示出do_pQ, PQ，從而SoPQ也可用k進行表示：SOPQ 4j4k2 -3宀Eg，再利用均值不等式即可得到最大4值。等號成立的條件/4廠=丄即為k的值。(注意直線與橢圓相交，所以消元后的方程也0)(2)設直線 P Q:y=kx2，P (Xi,yi),Q(X2,y2)二聯立方程可得:y =kx2(x2 +4y2 =42 2=X +4(kx-2) = 4，整理后可得:k>或k<-蟲21 ISoPQ = do -PQ |PQ2do-PQ = / 2Jk2 +1PQ= 7vk2|x1-X2=J1 + k2

13、(xj + X2 )2 - 4x1x2(4k2 +1)x2 -16kx+12=0，因為方程有兩個不等實根2:b =(16k ) -484k2 +1 )>0 解得:由方程(4k2 +1 )x2 -16kx+12=0可得:12代入PQ可得:丄16kX1 +X2 =2,X1 X2 =24k2 +14k2+1PQl+i 4k12 Mk2 -3高考數學復習優質專題學案（經典解析）12i- SOP。=廠朽"4j4k2 -3 _4j4k2 -324k2 +142 = 24k2+14k2-3+4J4k2 -3由均值不等式可得：等號成立條件：=4k2 -3=4= k =±亞2n1此時k

14、=±弓 /. l的方程為y = X2或y 近X 22 2a b22 2例&已知橢圓C:篤+每=1（ab>0 ）的離心率為1，過右焦點F的直線I與C相交于A,B兩點，當I的斜率為1時，坐標原點0到I的距離為號（1）求橢圓C的方程（2）若P,Q,M,N是橢圓C上的四點，已知PF與FQ共線，mF與Tn共線，且=0，求四邊形PMQN面積的最小值解：(1)"-=丄，設 F(c,0 )，則 l:y=x-C a 2恵 1=C =12_ , 2 2 2 - a =2,b =a c =3T *4(2)由(1)可得：F(1,0)，因為 PF MF' =0= PF 丄 MF

15、高考數學復習優質專題學案(經典解析)1二 Spmqn = 2 MN j PQ設 P(X1,y1 ),Q(x2,y2 )，PQ：y=k(x1),聯立方程可得：尸=12，消去X可得：p =k(x-1 )3x2 +4k2(x1 2 =12 整理后可得：(4k2 +3)x2-8k2x+4k2 -12 = 0:、PQ =/+k2Xi -X2二心皿4產嚴匕十1)4k2+3- 4k2+3設MN:y=-十以-1)，以-1替換中的k可得:kkMN(1 )12 I 2 +12_ Vk2 J_12k +12 -4" 3k2 +4卩3二 SpmqnJmnI jPQ| =1 卩：十1)2'2 4k2

16、+3212k +123k2 +4設 u=k242"7 /zT/72k2 +4 +2k2'r 2 1)12 Ik2 +4 +25Vk2丿u +2二 Spmqn =72-=6(1 -112u+25 I 12u+25 丿.c 口斗 o288u = 2 時，Smin -49例9:在平面直角坐標系xOy中，已知點A(-1,1)，P是動點，且三角形POA的三邊所在直線的斜率滿足ko P + koA = kPA(1)求點P的軌跡方程(2)若Q是軌跡C上異于點P的一個點，且PQ"oA,直線OP與QA交于點M ,問：是否存在點P使得LI P Q AH PAM的面積滿足高考數學復習優質

17、專題學案（經典解析）SpQM =2S PAM ?若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由。（1）思路：本題設點P（x,y），且0,A已知，直接利用條件列出等式化簡即可解：設 P(x,y )，由 A(1,1)0(0'0 )可得:koP = , kDA = -1,kPA =，依題意 kop 中 koA = kpA 可得:Xx + 1y -1 = _ = y(x +1) x(x+1)=x(y1 )整理后可得：x x+1y =x2，其中 X h0,x H -1所以P的軌跡方程為y = x?（X工0,x工-1 ）（2）思路：從圖中可得LIPQA和L PAM的高相同，從而面積的比值轉化為對應底

18、邊的比，即Sp QM =2S PAM 二 QA = 2AM，再由 P Q = a0a可得PQ/ 0A 進而QA=2AM = OP =20M，由O,P,M共線再轉成向量關系則只需求出M的坐標即可解出P的坐標解：設 P(x1,x12 ix2,x| ): PQ=a0A”PQ/0A2 2kP Q = koA = 1，即 =1 = X2 = x1 1X2 -X1x2 -1二 QA: y +1 =(為2 Xx 1)因為 0P :x1xr廠1十XXT)可解得xm ly =X1X2申*1+ Slpqm = QA d P-QM , S_|PAM1=2 AM"P qM 且S PQM = 2S PAM/.

19、 QA =2 AM/. QA =2 AM = 0P =2 0M,即 0P = -20M高考數學復習優質專題學案（經典解析）二 Xp = -2xm =1二 P (1,1)所以存在符合條件的P （1,1）例10：設拋物線y2=2x的焦點為F , 過點M（73,0）的直線與拋物線相交于A,B兩點，與拋物線的準線相交于C, BF =2，貝BCF與LACF的面積之比頭£=（）S ACFA. 45C.思路：由|BF|=2聯想到焦半徑公式，從而可解得x|<73，從而可判斷出B在M的左側，作出圖像可發現兩個三角形具備同“高”的特點（即F到BC的距離），所以SACFBCAC，若直接從BC , AC長度出發,則運算量較大，所