1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案第十一章梁彎曲時(shí)的變形習(xí)題11- 1用積分法求下列簡(jiǎn)支梁 A、B 截面的轉(zhuǎn)角和跨中截面 C 點(diǎn)的撓度。EIMeBMeAAEIBCCl/2l/2l/2l/2(a)(b)習(xí)題 11-1 圖解：（ a）取坐標(biāo)系如圖所示。彎矩方程為：MM e xMelAEIB撓曲線近似微分方程為：EIyM exCll/2l/2積分一次和兩次分別得： EI yM ex 2C ，（ a）y2lEIyM ex3CxD (b)6l邊界條件為： x=0 時(shí)， y=0，x=l 時(shí)， y=0，代入（ a）、 (b) 式，得： CM e l ,D06梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程式分別為：y1 (M e x2M el ) ， y1

2、(M e x3M e lx )EI2l6EI6l6所以： M lMe l , yM l 2e ,CeA6EIB3EI16EI（ b）取坐標(biāo)系如圖所示。MeAEIBAC 段彎矩方程為： MM ex1(0x1l)Cxl2l/2l/2BC段彎矩方程為：MM e x2M e( lx2l )l2兩段的撓曲線近似微分方程及其積分分別為：精彩文檔第十一章AC 段： EIy1M ex1lEIy1M ex12C1 ，（a）2lEIy1M ex3CxD(b)6l1111BC 段： EIy2M ex2M elEIy2M ex2MeC2，（c）2l2EIy2M e3M e x2C2 x2D 2(d)6lx2邊界條件為

3、： x1=0 時(shí)，y1=0，x2=l 時(shí)， y2=0，變形連續(xù)條件為： xx2l 時(shí)， yy ， yy212121代入（ a）、(b) 式、（c）、(d) 式 , 得：CM e l ,C211M e l , D10，D2M e l 2 ,124248梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程式分別為： AC 段：y1 (M e x12M e l ) ， y11 (M e x13M e lx1)EI2l24EI6l24BC 段：y21 (M e x22M e x211M el ) ，y21 (M ex23 M e x2211M e lx 2M el 2)EI2l24EI6l2248所以： M el , M e l, y

4、0A24 EIB24EIC11- 2用積分法求下列懸臂梁自由端截面的轉(zhuǎn)角和撓度。qMeAEIBAEIBll（a）（ b）習(xí)題 11- 2圖qB解：（ a）取坐標(biāo)系如圖所示。彎矩方程為：Mq x 2AEIx2l（ a）實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案撓曲線近似微分方程為： EIyq x22積分一次和兩次分別得： EIyq x3C ，（a）6EIyq x4CxD (b)24邊界條件為： x=l 時(shí)， y=0，y' = 0，代入（ a）、 (b) 式，得： Cq l 3,D1 ql 468梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程式分別為：y1 ( q x3q l 3 ) ， y1 ( q x 4q l 3 x1 ql 4 )EI 6

5、6EI2468所以： ql 3, yAql 4A6EI8EIMe（ b）取坐標(biāo)系如圖所示。彎矩方程為： MM exAEIB撓曲線近似微分方程為： EIyM el積 分一 次和 兩 次分 別得 ： EI yM e xC（ a）EIyM ex2CxD(b)2邊界條件為： x=l 時(shí)， y=0，y' = 0，代入（ a）、 (b) 式，得： C Ml , D1 Ml 2e2e梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程式分別為：y1 ( M e x M el )EI1M ex2M lx1Ml2)y(EI2e2e所以： Ml,yMl 2eAeAEI2EI11- 3 一懸臂梁在 BC 段受均布荷載作用，如圖所示，試用積分

6、法求梁自由端截面 C 的轉(zhuǎn)角和撓度。qqEICEIxABACBl/ 2l/2l/2l/ 2y精彩文檔習(xí)題 11- 3圖第十一章解：取坐標(biāo)系如圖所示。AB 段彎矩方程為： Mql x13 ql 2(0x1l )282BC 段彎矩方程為： Mqlx23 ql 21 q(x2l )2( lx2l )28222兩段的撓曲線近似微分方程及其積分分別為：AB 段： EI y1q lx13 ql 228EIy1ql x123 ql 2 x1C1 ，（a）48EIy1q lx133 ql 2 x12C1 x1D1(b)1216BC 段： EIy2ql x23 ql 21 q( x2l ) 22822EIy2q

7、l x223 ql 2 x21 q( x2l )3C2（c）4862EIy 2ql x323 ql 2 x221 q(x2l ) 4C2 x2D 2(d)1216242邊界條件為： x1時(shí)，1，1，=0y =0y ' = 0變形連續(xù)條件為： xx2l 時(shí)， yy ， yy212121代入（ a）、 (b) 式、（c）、 (d) 式 , 得： C10,C20, D1 0，D20梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程式分別為：AB 段： y11 ( ql x123 ql 2 x1) ， y11 (q lx133 ql 2 x12 )EI48EI1216BC 段：y1 ql x23 ql 2 x21 q( xl

8、 ) 3 2EI428622y1 ql x33 ql 2 x21 q(x2l ) 4 2EI122162242所以： 7ql3y41ql4y0,CC48EIC384EI11- 4 一外伸梁受均布荷載，如圖所示，試用積分法求A、 B 截面的轉(zhuǎn)角以及 C、D 截面的撓度。qADEIBCqADEIBCxllllll習(xí)題 11-4 圖y實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案解：取坐標(biāo)系如圖所示。AB 段彎矩方程為： M3ql x11 qx12(0x12l )42BC 段彎矩方程為： M3ql x21 qx229 ql ( x22l )(2lx23l )424兩段的撓曲線近似微分方程及其積分分別為：AB 段： EIy13q lx

9、11 qx1242EIy13ql x121 qx3C1 ，（a）861EIy13q lx131 qx14C1 x1D1 (b)2424BC 段： EIy23ql x21 qx 229 ql ( x22l )424EIy23ql x221 qx239 ql ( x22l ) 2C2（c）868EIy 2ql x231 qx249 ql (x22l )3C 2 x2D 2(d)82424邊界條件為： x1時(shí)， 1，=0y =0變形連續(xù)條件為： x1x22l時(shí)， y1y20， y1y2代入（ a）、 (b) 式、（c）、 (d) 式 , 得： C1 ql 3 ,C2ql 3, D10， D20166

10、梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程式分別為： AB 段： y1(3qlx21 qx31 ql 3 )181616EIy1(q lx31 qx4ql 3x )1EI8124161BC 段：y13ql x21 qx39 ql ( x22l ) 21 ql 3 2EI826286y1ql x31 qx49 ql (x22l )31 ql 3 x2EI822422462所以： ql 3,0,yCql 4, yDql 4A6EIB8EI12EI精彩文檔第十一章11- 5 用積分法求位移時(shí)，下列各梁應(yīng)分幾段來列撓曲線的近似微分方程式？試分別列出積分常數(shù)時(shí)所需的邊界條件和變形連續(xù)條件。qqABDACl/ 2ll/2l(a)

11、習(xí)題 11- 5圖解：（ a）分三段。 AB 、 BC、CD 段位移分別為 y1、y2、 y3。則邊界條件 B 點(diǎn)： x1x2l 時(shí) ,y1y20,2C 點(diǎn)： x2 x3 3l 時(shí) , y3y20,2變形連續(xù)條件為： x1x2l 時(shí) ,y1y2 ,x1 x2l 時(shí) ,22（ b）分兩段。 AB 、BC 段位移分別為 y1、y2。則邊界條件 A 點(diǎn)： x1 0時(shí) , y1 0,B 點(diǎn)： x2x3l 時(shí) ,y1y20,FBCl/ 2(b)y1y2變形連續(xù)條件為： x1 x2 l時(shí) , y1 y2 ,11- 6 一簡(jiǎn)支型鋼梁承受荷載如圖所示，已知所用型鋼為18 號(hào)工字鋼，E = 210GPa， M

12、= 8.1kN ·m，q = 15kN/m，跨長(zhǎng) l = 3.26m。試用積分法求此梁跨中點(diǎn) C 處的撓度。MqMACEIBl/2l/2習(xí)題 11- 6圖解：取坐標(biāo)系如圖所示。彎矩方程為：M1 qlxM e1 qx222撓曲線近似微分方程為： EIy1 qlx M e1 qx 222積分一次和兩次分別得：EI y1 qlx 2M e x1 qx3C（a）4613M e214(b)EIy12 qlx2x24 qxCxD實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案邊界條件為： x=0=l 時(shí)， y=0代入（ a）、 (b) 式，得： CM elql 3D0224 ,梁的撓度方程式為：y1 1 qlx 3M e x21

13、qx4( 1 ql 3M e x )xEI12224242所以：5ql4M el23432yC9185 15 103.268.1 103.26 384EI8EI210 101660 1038483.2410-3 (m)3.24mm11- 7一簡(jiǎn)支梁受力如圖所示，試用疊加法求跨中截面C 點(diǎn)的撓度。FEIFABCaaaa習(xí)題 11-7 圖解：當(dāng)右邊的 F 單獨(dú)作用時(shí)，查表得：Fbx222FaEI 16a22211Fa 3yC6lEI(lbx)64aa4a12EI由對(duì)稱得： yC11Fa 3211Fa 312EI6EI11- 8一簡(jiǎn)支梁承受均布荷載作用，并在A 支座處有一集中力偶作用，如圖所示，已知

14、： Mql 2，試用疊加法求 A、B 截面的轉(zhuǎn)角和跨中截面 C 的撓度。20解：當(dāng) q 單獨(dú)作用時(shí)，ql 3ql 35ql 4Aq24EI ,Bq24EI ,yCq384EI當(dāng) M q 單獨(dú)作用時(shí)，AMMlql 3,BqMlql3,yCMMl 2ql 43EI6EI120EI16EI320EI60EI所以：ql 3ql 319ql 4AAqAM40EI ,BBqBM30EI ,yCyCqyCM1920EI11- 9一懸臂梁受力如圖所示，試用疊加法求自由端截面的轉(zhuǎn)角和撓度。MqqBEIACEIABC精彩文檔l/2l/2l/2l/2習(xí)題 11- 8圖習(xí)題 11- 9圖第十一章q4ql 4q3ql

15、3解：yBl,Bl8EI2128EI6EI248EI所以： yC yBlBql 4lql 37ql 4, C Bql 32128EI248EI384EI48EI11- 10一外伸梁受力如圖所示，試用疊加法求自由端截面的轉(zhuǎn)角和撓度。已知： F = ql/6。qFAEICBll/2習(xí)題 11- 10 圖解：對(duì) AB 段，看作在均布荷載和力偶Fl/2 作用下的簡(jiǎn)支梁，則， Bqql 3, BMMlFl 2ql 324EI3EI6EI36 EI所以： ql 3BBqBM72EI將 BC段看作懸臂梁，固定端處有轉(zhuǎn)角B ,則yFl 3Fl 3ql 4, ylql 4C13EI224EI144EIC 2B2

16、144EI所以： yCyC1yC20Fl2Fl 2ql 3, 則 CCFBql 3ql 3ql 3,CF2EI28EI48EI48EI72EI144EI11- 11試用疊加法求下述懸臂梁自由端截面的撓度和轉(zhuǎn)角。FM=FlFFAEICAEIBBl/ 2l/2aaal/(a)習(xí)題 11- 11 圖(b)解：（ a）當(dāng) M 單獨(dú)作用時(shí)， y CMMl 2Fl 3, CMMlFl 22EI2EIEIEI實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案Fl3Fl 3Fl22當(dāng) F 單獨(dú)作用時(shí)， y BF,BFFl3EI224 EI2EI28EI所以： yyl5Fl 3Fl 22 48EI ,8EICFBFBFCFBF則： y Cy CMy

17、CFFl 35Fl 329Fl 3,CCMCFFl 2Fl 29Fl 22EI48EI48EIEI8EI8EI解：（ b）當(dāng) C 點(diǎn)處的 F 單獨(dú)作用時(shí)， yFa 3Fa 23EI ,2EICC此時(shí) yy2a4Fa3Fa 23EI,2EIB1CCB1C當(dāng) D 點(diǎn)處的 F 單獨(dú)作用時(shí)，y DF ( 2a) 38Fa 3,F ( 2a) 22Fa 23EI3EID2EIEI此時(shí) yya14Fa32Fa 2B2D,DD3EIB 2EI所以 y ByB1yB26Fa 3 ,BB1B25Fa 2EI2EI11- 12 一工字鋼的簡(jiǎn)支梁， 梁上荷載如圖所示， 已知：l = 6m， M = 4kN·

18、;m，q = 3kN/m ，f1，工字鋼為 20a，鋼材的彈性模量 E = 200GPa，試校核梁的l400剛度。MqMqFAEIBAEIBll/2l/2習(xí)題 11- 12圖習(xí)題 11- 13 圖解：y max5ql 42Ml 2384EI16EI200110 8( 53 1036424 10342)0.01448m 14.48mm109237038416則 ymax1f1 ，所以剛度滿足要求。l414l400精彩文檔第十一章11- 13一工字鋼的簡(jiǎn)支梁，梁上荷載如圖所示，已知：l = 6m， F = 10kN，q = 4kN/m ， f1，材料許用應(yīng)力 150MPa，彈性模量E = 200G

19、Pa，試l 250選擇工字鋼的型號(hào)并校核梁的剛度。解：跨中最大彎矩為：M maxql 2Fl14 621106 )33kNm8484WM max331030.12103m3220cm3150106取 20a，則y max5ql 4Fl 3384EI48EI20010 9110 8( 54 1036410 10362) 0.0237 m 23.73mm237038448則 ymax1f1，所以剛度滿足要求。l252.8l25011- 14在下列梁中，指明哪些梁是超靜定梁， 并判定各種超靜定梁的次數(shù)。FqFq（ a）（ b）qFq(c)(d)qFF(e)(f)習(xí)題 11- 14 圖解：（ a）2

20、次；（ b） 1 次；（c） 2 次；(d)1 次；（e）靜定結(jié)構(gòu)；（f） 3 次。11- 15 試畫出下列各超靜定梁的彎矩圖。AMFBABEICEIll/22aa(a)F(b)實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案解：（a）該梁為一次超靜定梁，將 B 支座視為多余約束，解除該支座，并施加多余約束反力 FRB。根據(jù)該梁的變形條件，梁在 B 點(diǎn)的撓度應(yīng)為零，即補(bǔ)充方程式為：yB0由疊加法 :yByB MyBF0（ a）式中： yBM 為梁在力偶單獨(dú)作用下引起的B 點(diǎn)的撓度（圖 d），由表格 11- 1 可查得：yB MMl 2（ b）2EIyBF 為梁在 FRB 單獨(dú)作用下 B 點(diǎn)的撓度，同樣由表格11- 1 可查得：y

21、BFFRBl 22lFRBl36EI3EI（ c）將 (b) 、（c）兩式代入式（ a），得：Ml 2FRB l3（ d）2 EI3EI0由該式可解得： FRB3M2l則M圖為：（b）該梁為一次超靜定梁，將 B 支座視為多余約束，解除該支座，并施加多余約束反力 FRB。根據(jù)該梁的變形條件，梁在 B 點(diǎn)的撓度應(yīng)為零，即補(bǔ)充方程式為：yB0由疊加法 :yByB FyRB0（ a）精彩文檔第十一章式中： yBF 為梁在 F 單獨(dú)作用下引起的B 點(diǎn)的撓度，由表格11- 1 可查得：yB Fy aF ( 2a )3F ( 2a )2a14Fa 3（ b）CC3EI2EI3EIyRB 為梁在 FRB 單獨(dú)作用下 B 點(diǎn)的撓