1、 §7 二次曲線方程的化簡與分類一 方程的化簡： 1 中心曲線方程的化簡： 對中心曲線F（x,y）=0，令O（，）為其中心，若將坐標原點平移至O，則新方程中將不含一次項，再選取適當的角，作旋轉變換，還可消去方程中的交叉乘積項，最終中心曲線的方程可化簡為 （1） 由于， 全不為0，從而中心曲線（1）關于新系的x， y軸對稱，即以中心曲線的二主直徑作為坐標軸建立新坐標系時，則曲線的方程便簡化為（1）例1：化簡二次曲線方程x²-xy+y²+4x-2y=0 解：所給二次曲線的二主直徑為x+y+2=0 ，x-y+2=0 取坐標變換公式 即 代入原方程有x²+3y&

2、#178;-8=0 即 2 無心曲線方程的化簡： 對無心曲線F（x,y）=0，選取適當的角作旋轉變換，可消去方程中的交叉乘積項，即方程簡化為由于 有且僅有一為0，不妨設=0 ，再配方有作平移則方程最終簡化為 （2）由于 從而無心曲線（2）關于x軸對稱，即x軸是其一主直徑，且x州與曲線的交點是新坐標系的坐標原點。可見以無心曲線的主直徑作為x軸，以過頂點且與主直徑垂直的直線作為y軸建立新系，則曲線的方程便簡化為（2）例2：化簡二次曲線方程x²+2xy+y²+2x-2y=0 解：所給曲線的一主直徑為x+y=-0，曲線的頂點為原點，取過頂點且與主直徑垂直的直線x-y=0，并取坐標變

3、換，為 即 代入原方程并化簡為 3 線心曲線方程的化簡： 對于線心曲線F（x,y）=0，取一中心（，），并作平移變換即可消去方程中的一次項，再選取適當的角作旋轉變換，還可消去交叉乘積項，最終方程簡化為 由于 有且僅有一為0，不妨設，則線心曲線方程化簡為 （3）由于，曲線（3）關于x軸對稱，可見新坐標系的x軸是其主直徑，即以曲線的一主直徑作為x軸建立新坐標系，則在新系下，曲線的方程將簡化為（3）例3：化簡二次曲線方程 x²-2xy+y²+2x-2y=0 解：可以驗證所給曲線是線心曲線，其主直徑為x-y+1=0 再取一與主直徑垂直的直線x+y=0，作坐標變換 即 代入原方程并化

4、簡得 總結上述化簡二次曲線方程的方法，可得如下結論： 選取適當坐標系，可使 中心二次曲線的方程的化簡為 無心二次曲線的方程的化簡為 線心二次曲線的方程的化簡為 二 二次曲線的分類： 1°對于中心曲線，其方程可化簡為（I） 當 ，令 A=，B=，則（I）為 Ax²+By²=1 若A，B>0，令A= ，B=，則（I）為 1 橢圓 若A，B<0，令A=-，B=-，則（I）為 2 虛橢圓 若A>0，B<0,令A=，B=-，則（I）為 3 雙曲線 同理當A<0，B>0時，也是雙曲線 當時，令A=，B=，則（I）為 4 一點 同理，若A，B<0,則（I）也為一點 若A>0,B<0，令A=，B=-，則（I）為 5 二相交直線 同理 若A<0，B>0,則（I）也為二相交直線。2°對于無心曲線，其方程可化簡為（II），令 P= ，則（II）為 6 y²=2Px 拋物線3°對于線心曲線，其方程可化簡為（III），令 k= ，則（III）為 y²=k 若k>0，則（III）為 7y²=a² 二平行