1、緒 論課題第1講緒論學時1學時教學目的要求1、掌握工程力學的任務、地位、作用和學習方法，可變形固體的基本假設，工程力學的研究對象（桿件），桿件變形的形式。2理解工程力學的研究對象（桿件）的幾何特征，使學生對工程力學這門課程的任務、研究對象有一個全面的概念。3了解工程的發展簡史和學習本課程的方法。主要內容工程力學的研究內容重點難點變形固體及其基本假設教學方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業練習預習：第一章 靜力學基本概念一、工程力學的研究對象（a） （b）圖0-1建筑物中承受荷載而起骨架作用的部分稱為結構。結構是由若干構件按一定方式組合而成的。組成結構的各單獨部分稱為構件。例如：支承渡槽槽

2、身的排架是由立柱和橫梁組成的剛架結構，如圖11a所示；單層廠房結構由屋頂、樓板和吊車梁、柱等構件組成，如圖11b所示。結構受荷載作用時，如不考慮建筑材料的變形，其幾何形狀和位置不會發生改變。結構按其幾何特征分為三種類型：（1）桿系結構：由桿件組成的結構。桿件的幾何特征是其長度遠遠大于橫截面的寬度和高度。（2）薄壁結構：由薄板或薄殼組成。薄板或薄殼的幾何特征是其厚度遠遠小于另兩個方向的尺寸。（3）實體結構：由塊體構成。其幾何特征是三個方向的尺寸基本為同一數量級。工程力學的研究對象主要是桿系結構。二、工程力學的研究內容和任務工程力學的任務是研究結構的幾何組成規律，以及在荷載的作用下結構和構件的強度

3、、剛度和穩定性問題。研究平面桿系結構的計算原理和方法，為結構設計合理的形式，其目的是保證結構按設計要求正常工作，并充分發揮材料的性能，使設計的結構既安全可靠又經濟合理。進行結構設計時，要求在受力分析基礎上，進行結構的幾何組成分析，使各構件按一定的規律組成結構，以確保在荷載的作用下結構幾何形狀不發生發變。結構正常工作必須滿足強度、剛度和穩定性的要求。強度是指抵抗破壞的能力。滿足強度要求就是要求結構的構件在正常工作時不發生破壞。剛度是指抵抗變形的能力。滿足剛度要求就是要求結構的構件在正常工作時產生的變形不超過允許范圍。穩定性是指結構或構件保持原有的平衡狀態的能力。滿足穩定性要求就是要求結構的構件在

4、正常工作時不突然改變原有平衡狀態，以免因變形過大而破壞。按教學要求，工程力學主要研究以下幾個部分的內容。（1）靜力學基礎。這是工程力學的重要基礎理論。包括物體的受力分析、力系的簡化與平衡等剛體靜力學基礎理論。（2）桿件的承載能力計算。這部分是計算結構承載能力計算的實質。包括基本變形桿件的內力分析和強度、剛度計算，壓桿穩定和組合變形桿件的強度、剛度計算。（3）靜定結構的內力計算。這部分是靜定結構承載能力計算和超靜定結構計算的基礎。包括研究結構的組成規律、靜定結構的內力分析和位移計算等。（4）超靜定結構的內力分析。是超靜定結構的強度和剛度問題的基礎。包括力法、位移法、力矩分配法和矩陣位移法等求解超

5、靜定結構內力的基本方法。三、剛體、變形固體及其基本假設工程力學中將物體抽象化為兩種計算模型：剛體和理想變形固體。剛體是在外力作用下形狀和尺寸都不改變的物體。實際上，任何物體受力的作用后都發生一定的變形，但在一些力學問題中，物體變形這一因素與所研究的問題無關或對其影響甚微，這時可將物體視為剛體，從而使研究的問題得到簡化。理想變形固體是對實際變形固體的材料理想化，作出以下假設：（1）連續性假設。認為物體的材料結構是密實的，物體內材料是無空隙的連續分布。（2）均勻性假設。認為材料的力學性質是均勻的，從物體上任取或大或小一部分，材料的力學性質均相同。（3）向同性假設。認為材料的力學性質是各向同性的，材

6、料沿不同方向具有相同的力學性質，而各方向力學性質不同的材料稱為各向異性材料。本教材中僅研究各向同性材料。按照上述假設理想化的一般變形固體稱為理想變形固體。剛體和變形固體都是工程力學中必不可少的理想化的力學模型。變形固體受荷載作用時將產生變形。當荷載撤去后，可完全消失的變形稱為彈性變形；不能恢復的變形稱為塑性變形或殘余變形。在多數工程問題中，要求構件只發生彈性變形。工程中，大多數構件在荷載的作用下產生的變形量若與其原始尺寸相比很微小，稱為小變形。小變形構件的計算，可采取變形前的原始尺寸并可略去某些高階無窮小量，可大大簡化計算。綜上所述，工程力學把所研究的結構和構件看作是連續、均勻、各向同性的理想

7、變形固體，在彈性范圍內和小變形情況下研究其承載能力。第一章 靜力學的基本概念課題第2講第一章 靜力學基本概念學時1學時1學時習題課教學目的要求1、掌握力學的基本概念和公理。2、熟悉各種常見約束的性質，熟練地畫出受力圖。主要內容1、靜力學基本概念。2、靜力學基本公理。3、約束與約束反力。4、物體的受力分析與受力圖重點難點1、平衡、剛體和力的概念和靜力學的基本公理。2、掌握物體的受力分析的方法3、正確地選取分離體，并畫出受力圖是求解靜力學的關鍵，教學方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業練習習題：P9：1-1(i,j,k)，1-2(g,h)，1-3(c,d)預習：第二章第一節 力、剛體和平衡的

8、概念靜力學是研究物體的平衡問題的科學。主要討論作用在物體上的力系的簡化和平衡兩大問題。所謂平衡，在工程上是指物體相對于地球保持靜止或勻速直線運動狀態，它是物體機械運動的一種特殊形式。一、剛體的概念工程實際中的許多物體，在力的作用下，它們的變形一般很微小，對平衡問題影響也很小，為了簡化分析，我們把物體視為剛體。所謂剛體，是指在任何外力的作用下，物體的大小和形狀始終保持不變的物體。靜力學的研究對象僅限于剛體，所以又稱之為剛體靜力學。二、力的概念力的概念是人們在長期的生產勞動和生活實踐中逐步形成的，通過歸納、概括和科學的抽象而建立的。力是物體之間相互的機械作用，這種作用使物體的機械運動狀態發生改變，

9、或使物體產生變形。力使物體的運動狀態發生改變的效應稱為外效應，而使物體發生變形的效應稱為內效應。剛體只考慮外效應；變形固體還要研究內效應。經驗表明力對物體作用的效應完全決定于以下力的三要素：（1）力的大小 是物體相互作用的強弱程度。在國際單位制中，力的單位用牛頓（N）或千牛頓（kN），1kN=103N。（2）力的方向 包含力的方位和指向兩方面的涵義。如重力的方向是“豎直向下”。“豎直”是力作用線的方位，“向下”是力的指向。（3）力的作用位置 是指物體上承受力的部位。一般來說是一塊面積或體積，稱為分布力；而有些分布力分布的面積很小，可以近似看作一個點時，這樣的力稱為集中力。如果改變了力的三要素中

10、的任一要素，也就改變了力對物體的作用效應。既然力是有大小和方向的量，所以力是矢量。可以用一帶箭頭的線段來表示，如圖1-1所示，線段AB長度按一定的比例尺表示力F的大小，線段的方位和箭頭的指向表示力的方向。線段的起點A或終點B表示力的作用點。線段AB的延長線（圖中虛線）表示力的作用線。圖11本教材中，用黑體字母表示矢量，用對應字母表示矢量的大小。一般來說，作用在剛體上的力不止一個，我們把作用于物體上的一群力稱為力系。如果作用于物體上的某一力系可以用另一力系來代替，而不改變原有的狀態，這兩個力系互稱等效力系。如果一個力與一個力系等效，則稱此力為該力系的合力，這個過程稱力的合成；而力系中的各個力稱此

11、合力的分力，將合力代換成分力的過程為力的分解。在研究力學問題時，為方便地顯示各種力系對物體作用的總體效應，用一個簡單的等效力系（或一個力）代替一個復雜力系的過程稱為力系的簡化。力系的簡化是剛體靜學的基本問題之一。第二節 靜力學的基本公理所謂公理就是無需證明就為大家在長期生活和生產實踐中所公認的真理。靜力學公理是靜力學全部理論的基礎。公理一 二力平衡公理作用于同一剛體上的兩個力成平衡的必要與充分條件是：力的大小相等，方向相反，作用在同一直線上。可以表示為：F=-F/或F+F/=0此公理給出了作用于剛體上的最簡力系平衡時所必須滿足的條件，是推證其它力系平衡條件的基礎。在兩個力作用下處于平衡的物體稱

12、為二力體，若物體是構件或桿件，也稱二力構件或二力桿件簡稱二力桿。公理二 加減平衡力系公理在作用于剛體的任意力系中，加上或減去平衡力系，并不改變原力系對剛體作用效應。圖12推論一 力的可傳性原理作用于剛體上的力可以沿其作用線移至剛體內任意一點，而不改變該力對剛體的效應。證明：設力F作用于剛體上的點A，如圖1-2所示。在力F作用線上任選一點B，在點B上加一對平衡力F1和F2，使F1= F2=F則F1、F2、F構成的力系與F等效。將平衡力系F、F2減去，則F1與F等效。此時，相當于力F已由點A沿作用線移到了點B。由此可知，作用于剛體上的力是滑移矢量，因此作用于剛體上力的三要素為大小、方向和作用線。公

13、理三 力的平行四邊形法則 圖13作用于物體上同一點的兩個力可以合成為作用于該點的一個合力，它的大小和方向由以這兩個力的矢量為鄰邊所構成的平行四邊形的對角線來表示。如圖13a所示，以FR表示力F1和力F2的合力，則可以表示為：FR=F1+F2。即作用于物體上同一點兩個力的合力等于這兩個力的矢量合。在求共點兩個力的合力時，我們常采用力的三角形法則：（如圖13b）所示。從剛體外任選一點a作矢量ab代表力F1，然后從b的終點作bc代表力F2，最后連起點a與終點c得到矢量ac,則ac就代表合力矢FR。分力矢與合力矢所構成的三角形abc稱為力的三角形。這種合成方法稱為力三角形法則。推論二 三力平衡匯交定理

14、剛體受同一平面內互不平行的三個力作用而平衡時，則此三力的作用線必匯交于一點。圖14證明:設在剛體上三點A、B、C分別作用有力F1、 F2、F3，其互不平行，且為平衡力系，如圖1-4所示，根據力的可傳性，將力F1和F2移至匯交點O，根據力的可傳性公理，得合力FR1，則力F3與FR1平衡，由公理一知，F3與FR1必共線，所以力F1的作用線必過點O。公理四 作用與反作用公理兩個物體間相互作用力，總是同時存在，它們的大小相等，指向相反，并沿同一直線分別作用在這兩個物體上。物體間的作用力與反作用力總是同時出現，同時消失。可見，自然界中的力總是成對地存在，而且同時分別作用在相互作用的兩個物體上。這個公理概

15、括了任何兩物體間的相互作用的關系，不論對剛體或變形體，不管物體是靜止的還是運動的都適用。應該注意，作用力與反作用力雖然等值、反向、共線，但它們不能平衡，因為二者分別作用在兩個物體上，不可與二力平衡公理混淆起來。公理五 剛化原理變形體在已知力系作用下平衡時，若將此變形體視為剛體（剛化），則其平衡狀態不變。此原理建立了剛體平衡條件與談形體平衡條件之間的關系，即關于剛體的平衡條件，對于變形體的平衡來說，也必須滿足。但是，滿足了剛體的平衡條件，變形體不一定平衡。例如一段軟繩，在兩個大小相等，方向相反的拉力作用下處于平衡，若將軟繩變成剛桿，平衡保持不變。把過來，一段剛桿在兩個大小相等、方向相反的壓力作用

16、下處于平衡，而繩索在此壓力下則不能平衡。可見，剛體的平衡條件對于變形體的平衡來說只是必要條件而不是充分條件。第三節 約束與約束反力工程上所遇到的物體通常分兩種：可以在空間作任意運動的物體稱為自由體，如飛機、火箭等；受到其它物體的限制，沿著某些方向不能運動的物體稱為非自由體。如懸掛的重物，因為受到繩索的限制，使其在某些方向不能運動而成為非自由體，這種阻礙物體運動的限制稱為約束。約束通常是通過物體間的直接接觸形成的。既然約束阻礙物體沿某些方向運動，那么當物體沿著約束所阻礙的運動方向運動或有運動趨勢時，約束對其必然有力的作用，以限制其運動，這種力稱為約束反力。簡稱反力。約束反力的方向總是與約束所能阻

17、礙的物體的運動或運動趨勢的方向相反，它的作用點就在約束與被約束的物體的接觸點，大小可以通過計算求得。工程上通常把能使物體主動產生運動或運動趨勢的力稱為主動力。如重力、風力、水壓力等。通常主動力是已知的，約束反力是未知的，它不僅與主動力的情況有關，同時也與約束類型有關。下面介紹工程實際中常見的幾種約束類型及其約束反力的特性。一、柔性約束 圖15 圖16繩索、鏈條、皮帶等屬于柔索約束。理想化條件：柔索絕對柔軟、無重量、無粗細、不可伸長或縮短。由于柔索只能承受拉力，所以柔索的約束反力作用于接觸點，方向沿柔索的中心線而背離物體，為拉力。如圖15和圖16所示。二、光滑接觸面約束當物體接觸面上的摩擦力可以

18、忽略時，即可看作光滑接觸面，這時兩個物體可以脫離開，也可以沿光滑面相對滑動，但沿接觸面法線且指向接觸面的位移受到限制。所以光滑接觸面約束反圖17 圖18力作用于接觸點，沿接觸面的公法線且指向物體，為壓力。如圖17和圖18所示。三、光滑鉸鏈約束工程上常用銷釘來聯接構件或零件，這類約束只限制相對移動不限制轉動，且忽略銷釘與構件間的磨擦。若兩個構件用銷釘連接起來，這種約束稱為鉸鏈約束，簡稱鉸連接或中間鉸，圖19a所示。圖19b為計算簡圖。鉸鏈約束只能限制物體在垂直于銷釘軸線的平面內相對移動，但不能限制物體繞銷釘軸線相對轉動。如圖19c所示，鉸鏈約束的約束反力作用在銷釘與物體的接觸點D，沿接觸面的公法

19、線方向，使被約束物體受壓力。但由于銷釘與銷釘孔壁接觸點與被約束物體所受的主動力有關，一般不能預先確定，所以約束反力Fc的方向也不能確定。因此，其約束反力作用在垂直于銷釘軸線平面內，通過銷釘中心，方向不定。為計算方便，鉸鏈約束的約束反力常用過鉸鏈中心兩個大小未知的正交分力Xc，Yc來表示如圖19d所示。兩個分力的圖19指向可以假設。四、固定鉸支座圖110將結構物或構件用銷釘與地面或機座連接就構成了固定鉸支座，如圖110a所示。固定鉸支座的約束與鉸鏈約束完全相同。簡化記號和約束反力如圖110b和圖110c。五、輥軸支座圖111在固定鉸支座和支承面間裝有輥軸，就構成了輥軸支座，又稱活動鉸支座，如圖1

20、11a所示。這種約束只能限制物體沿支承面法線方向運動，而不能限制物體沿支承面移動和相對于銷釘軸線轉動。所以其約束反力垂直于支承面，過銷釘中心指向可假設。如圖111b和圖111c所示。六、鏈桿約束圖112兩端以鉸鏈與其它物體連接中間不受力且不計自重的剛性直桿稱鏈桿，如圖112a所示。這種約束反力只能限制物體沿鏈桿軸線方向運動，因此鏈桿的約束反力沿著鏈桿,兩端中心連線方向，指向或為拉力或為壓力。如圖112b和圖112c所示。鏈桿屬于二力桿的一種特殊情形。七、固定端約束圖113將構件的一端插入一固定物體（如墻）中，就構成了固定端約束。在連接處具有較大的剛性，被約束的物體在該處被完全固定，即不允許相對

21、移動也不可轉動。固定端的約束反力，一般用兩個正交分力和一個約束反力偶來代替，如圖113所示。第四節 物體的受力分析與受力圖靜力學問題大多是受一定約束的非自由剛體的平衡問題，解決此類問題的關鍵是找出主動力與約束反力之間的關系。因此，必須對物體的受力情況作全面的分析，即物體的受力分析，它是力學計算的前提和關鍵。物體的受力分析包含兩個步驟：一是把該物體從與它相聯系的周圍物體中分離出來，解除全部約束，單獨畫出該物體的圖形，稱為取分離體。二是在分離體上畫出全部主動力和約束反力，這稱為畫受力圖。例11 起吊架由桿件AB和CD組成，起吊重物的重量為Q。不計桿件自重，作桿件AB的受力圖。解：取桿件AB為分離體

22、，畫出其分離體圖。桿件AB上沒有荷載，只有約束反力。A端為固定鉸支座。約束反力用兩個垂直分力XA和YA表示，二者的指向是假定的。D點用鉸鏈與CD連接，因為CD為二力桿，所以鉸D反力的作用線沿C、D兩點連線，以FD表示。圖中FD的指向也是假定的。B點與繩索連接，繩索作用給B點的約束反力FT沿繩索、背離桿件AB。圖114b為桿件AB的受力圖。應該注意，（圖b）中的力FT不是起吊重物的重力FG。力FT是繩索對桿件AB的作用力；力FG是地球對重物的作用力。這兩個力的施力物體和受力物體是完全不同的。在繩索和重物的受（圖c）上，作用有力FT的反作用力FT和重力FG。由二力平衡條件，力FT與力FG是反向、等

23、值的；由作用反作用定律，力FT與FT是反向、等值的。所以力FT與力FG大小相等，方向相同。圖114圖115例12 水平梁用斜桿支撐，A、C、D三處均為光滑鉸鏈連接，如圖115所示。梁上放置一重為FG1的電動機。已知梁重為FG2，不計桿CD自重，試分別畫出桿CD和梁AB的受力圖。解： （1）取CD為研究對象。由于斜桿CD自重不計，只在桿的兩端分別受有鉸鏈的約束反力FC和FD的作用，由些判斷CD桿為二力桿。根據公理一，FC和FD兩力大小相等、沿鉸鏈中心連線CD方向且指向相反。斜桿CD的受力圖如圖115b所示。（2）取梁AB（包括電動機）為研究對象。它受FG1、FG2兩個主動力的作用；梁在鉸鏈D處受

24、二力桿CD給它的約束反力FD的作用，根據公理四，FDFD；梁在A處受固定鉸支座的約束反力，由于方向未知，可用兩個大小未知的正交分力XA和YA表示。梁AB的受力圖如圖115c所示。例13 簡支梁兩端分別為固定鉸支座和可動鉸支座，在C處作用一集中荷載FP（圖116a），梁重不計，試畫梁AB的受力圖。圖116解：取梁AB為研究對象。作用于梁上的力有集中荷載FP，可動鉸支座B的反力FB，鉛垂向上，固定鉸支座A的反力用過點A的兩個正交分力XA的YA表示。受力圖如圖116b所示。由于些梁受三個力作用而平衡，故可由推論二確定FA的方向。用點D表示力FP和FB的作用線交點。FA的作用線必過交點D，如圖116c

25、所示。例14 三鉸拱橋由左右兩拱鉸接而成，如圖117a所示。設各拱自重不計，在拱AC上作用荷載F。試分別畫出拱AC和CB的受力圖。圖117解：（1）取拱CB為研究對象。由于拱自重不計，且只在B、C處受到鉸約束，因此CB為二力構件。在鉸鏈中心B、C分別受到FB和FC的作用，且FBFC。拱CB的受力圖如圖117b所示。（2）取拱AC連同銷釘C為研究對象。由于自重不計，主動力只有荷載F；點C受拱CB施加的約束力FC，且FCFC；點A處的約束反力可分解為XA和YA。拱AC的受力圖如圖117c所示。又拱AC在F、FC和FA三力作用下平衡，根據三力平衡匯交定理，可確定出鉸鏈A處約束反力FA的方向。點D為力

26、F與FC的交點，當拱AC平衡時，FA的作用線必通過點D，如圖117d所示，FA的指向，可先作假設，以后由平衡條件確定。例15 圖118a所示系統中，物體F重FG，其它和構件不計自重。作（1）整體；（2）AB桿；（3）BE桿；（4）桿CD、輪C、繩及重物F所組成的系統的受力圖。圖118解：整體受力圖如圖118a所示。固定支座A自有兩個垂直反力和一個約束反力偶。鉸C、D、E和G點這四處的約束反力對整體來說是內力，受力圖上不應畫出。桿件AB的受力圖如圖118b所示。對桿件AB來說，鉸B、D的反力是外力，應畫出。桿件BE的受力圖如圖118c所示。BE上B點的反力XB和YB是AB上XB和YB反作用力，必

27、須等值、反向的畫出。桿件CD、輪C、繩和重物F所組成的系統的受力圖如圖所示。其上的約束反力分別是圖118b和圖118c上相應力的反作用力，它們的指向分別與相應力的指向相反。如XE是圖118c上XE的反作用力，力XE的指向應與力XE的指向相反，不能再隨意假定。鉸C的反力為內力，受力圖上不應畫出。在畫受力圖時應注意如下幾個問題：（1）明確研究對象并取出脫離體。（2）要先畫出全部的主動力。（3）明確約束反力的個數。凡是研究對象與周圍物體相接觸的地方，都一定有約束反力，不可隨意增加或減少。（4）要根據約束的類型畫約束反力。即按約束的性質確定約束反力的作用位置和方向，不能主觀臆斷。（5）二力桿要優先分析

28、。（6）對物體系統進行分析時注意同一力，在不同受力圖上的畫法要完全一致；在分析兩個相互作用的力時，應遵循作用和反作用關系，作用力方向一經確定，則反作用力必與之相反，不可再假設指向。（7）內力不必畫出。思考題11說明下列式子的意義和區別。（1）F1F2和F1F2；（2）FRF1F2和FRF1F212力的可傳性原理的適用條件是什么？如圖119所示，能否根據力的可傳性原理，將作用于桿AC上的力F沿其作用線移至桿BC上而成力F？圖119 圖12013作用于剛體上大小相等、方向相同的兩個力對剛體的作用是否等效？14物體受匯交于一點的三個力作用而處于平衡，此三力是否一定共面？為什么？15圖120中力F作用

29、在銷釘C上，試問銷釘C對AC的力與銷釘C對BC的力是否等值、反向、共線？為什么？16圖121中各物體受力圖是否正確？若有錯誤試改正。圖121第二章 平面匯交力系課題第3講第二章平面匯交力系學時1學時教學目的要求1、平面匯交力系的合成與平衡。2、掌握平面匯交力系合成的幾何法和解析法。3、理解力在直角坐標系的投影，能熟練計算力在直角坐標軸上的投影。主要內容1、平面匯交力系的合成與平衡的幾何法。2、平面匯交力系合成與平衡的解析法重點難點1、平面匯交力系合成與平衡的解析法教學方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業練習習題：P20：2-4（c、d），2-5，2-12預習：第三章根據力系中各力作用線的

30、位置，力系可分為平面力系和空間力系。各力的作用線都在同一平面內的力系稱為平面力系。在平面力系中又可以分為平面匯交力系、平面平行力系、平面力偶系和平面一般力系。在平面力系中，各力作用線匯交于一點的力系稱平面匯交力系。本章討論平面匯交力系的合成與平衡問題。第一節 平面匯交力系合成與平衡的幾何法一、平面匯交力系合成的幾何法圖21設在某剛體上作用有由力F1、F2、F3、F4組成的平面匯交力系，各力的作用線交于點A，如圖21a所示。由力的可傳性，將力的作用線移至匯交點A;然后由力的合成三角形法則將各力依次合成，即從任意點a作矢量ab代表力矢F1，在其末端b作矢量bc代表力矢F2，則虛線ac表示力矢F1和

31、F2的合力矢FR1；再從點C作矢量cd代表力矢F3，則ad表示FR和F3的合力FR2；最后從點d作de代表力矢F4，則ae代表力矢FR2與F4的合力矢，亦即力F1 、F2 、F3 、F4的合力矢FR，其大小和方向如圖21b，其作用線通過匯交點A。作圖21b時，虛線ac和ad不必畫出，只需把各力矢首尾相連，得折線abcd，則第一個力矢F1的起點a向最后一個力矢F4的終點e作ae，即得合力矢FR。各分力矢與合力矢構成的多邊形稱為力的多邊形，表示合力矢的邊ae稱為力的多邊形的逆封邊。這種求合力的方法稱為力的多邊形法則。若改變各力矢的作圖順序，所得的力的多邊形的形狀則不同，但是這并不影響最后所得的逆封

32、邊的大小和方向。但應注意，各分力矢必須首尾相連，而環繞力多邊形周邊的同一方向，而合力矢則把向封閉力多邊形。上述方法可以推廣到由n個力F1 、F2 、Fn 組成的平面匯交力系：平面匯交力系合成的結果是一個合力，合力的作用線過力系的匯交點，合力等于原力系中所有各力的矢量和。可用矢量式表示為FR=F1 +F2 +Fn =F (2-1)圖22例21同一平面的三根鋼索邊連結在一固定環上，如圖22所示，已知三鋼索的拉力分別為：F1500N，F21000N，F32000N。試用幾何作圖法求三根鋼索在環上作用的合力。解 先定力的比例尺如圖。作力多邊形先將各分力乘以比例尺得到各力的長度，然后作出力多邊形圖（22

33、b），量得代表合力矢的長度為，則FR的實際值為：FR 2700NFR 的方向可由力的多邊形圖直接量出，FR 與F1的夾角為71º31。二、平面匯交力系平衡的幾何條件圖23在圖23a中，平面匯交力系合成為一合力，即與原力系等效。若在該力系中再加一個與等值、反向、共線的力，根據二力平衡公理知物體處于平衡狀態，即為平衡力系。對該力系作力的多邊形時，得出一個閉合的力的多邊形，即最后一個力矢的末端與第一個力矢的始端相重合，亦即該力系的合力為零。因此，平面匯交力系的平衡的必要與充分的幾何條件是：力的多邊形自行封閉，或各力矢的矢量和等于零。用矢量表示為：FR =F=0 （22）圖24例22 圖24

34、a所求一支架，A、B為鉸鏈支座，C為圓柱鉸鏈。斜撐桿BC與水平桿AC的夾角為30º。在支架的C處用繩子吊著重G20kN的重物。不計桿件的自重，試求各桿所受的力。解 桿AC和BC均為二力桿，其受力如圖24b所示。取銷釘C為研究對象，作用在它上面的力有：繩子的拉力FT(FT=G)，AC桿和BC桿對銷釘C的作用力FCA和FCB。這三個力為一平面匯交力系（銷釘C的受力圖如圖24c所示）。根據平面匯交力系平衡的幾何條件，FT、FCA和FCB應組成閉合的力三角形。選取比例尺如圖，先畫已知力FTab，過a、b兩點分別作直線平行于FCA和FCB得交點c，于是得力三角形abc，順著abc的方向標出箭頭

35、，使其首尾相連，則矢量ca和bc就分別表示力FCA和FCB的大小和方向。用同樣的比例尺量得：FCA34.6kNFCB40kN第二節 平面匯交力系合成與平衡的解析法求解平面匯交力系問題的幾何法，具有直觀簡捷的優點，但是作圖時的誤差難以避免。因此，工程中多用解析法來求解力系的合成和平衡問題。解析法是以力在坐標軸上的投影為基礎的。一、在坐標軸上的投影如圖25所示，設力F作用于剛體上的A點，在力作用的平面內建立坐標系oxy，由力F的起點和終點分別向x軸作垂線，得垂足a1和b1，則線段a1b1冠以相應的正負號稱為力F在x軸上的投影，用X表示。即X=±a1b1；同理，力F在y軸上的投影用Y表示，

36、即Y=±a2b2。力在坐標軸上的投影是代數量，正負號規定：力的投影由始到末端與坐標軸正向一致其投影取正號，反之取負號。投影與力的大小及方向有關，即 （23）式中、分別為F與X、Y軸正向所夾的銳角。圖25反之，若已知力F 在坐標軸上的投影X、Y，則該力的大小及方向余弦為 （24）應當注意，力的投影和力的分量是兩個不同的概念。投影是代數量，而分力是矢量；投影無所謂作用點，而分力作用點必須作用在原力的作用點上。另外僅在直角坐標系中在坐標上的投影的絕對值和力沿該軸的分量的大小相等。二、合力投影定理設一平面匯交力系由F1、F2、F3和F4作用于剛體上，其力的多邊形abcde如圖26所示，封閉邊

37、ae表示該力系的合力矢FR，在力的多邊形所在平面內取一坐標系oxy，將所有的力矢都投影到x軸和y軸上。得X=a1e1, X1=a1b1, X2=b1c1，X3=c1d1 ,X4=d1e1由圖26可知a1e1=a1b1+b1c1+c1d1 +d1e1即 X=X1+X2+X3+X4同理 Y=Y1+Y2+Y3+Y4將上述關系式推廣到任意平面匯交力系的情形，得 （25）圖26即合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數和，這就是合力投影定理。三、平面匯交力系合成的解析法用解析法求平面匯交力系的合成時，首先在其所在的平面內選定坐標系oxy。求出力系中各力在x軸和y軸上的投影，由合力投影定理得（

38、26）其中是合力FR分別與X、Y軸正向所夾的銳角。例23如圖27所求，固定圓環作用有四根繩索，其拉力分別為F10.2kN，F20.3kN,F3=0.5kN,F4=0.4kN,它們與軸的夾角分別為130º，245º，30，460º。試求它們的合力大小和方向。圖27解建立如圖27所示直角坐標系。根據合力投影定理，有X=XX1+X2+X3+X4F1cos1F2 cos2F3 cos3F4 cos4=1.085kNY=YY1+Y2+Y3+Y4F1sin1F2 sin2F3sin2F4 sin4=0.234kN由X、Y的代數值可知，X沿X軸的正向，Y沿Y軸的負向。由式（26

39、）得合力的大小方向為解得12º12四、平面匯交力系平衡的解析條件我們已經知道平面匯交力系平衡的必要與充分條件上其合力等于零，即FR0。由式（26）可知，要使FR0，須有X=0 ；Y=0（28）上式表明，平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：力系中各力在力系所在平面內兩個相交軸上投影的代數和同時為零。式（28）稱為平面匯交力系的平衡方程。式（28）是由兩個獨立的平衡方程組成的，故用平面匯交力系的平衡方程只能求解兩個未知量。例24重量為G和重物，放置在傾角為的光滑斜面上（如圖28），試求保持重物成平衡時需沿斜面方向所加的力F和重物對斜面的壓力FN。圖28解以重物為研究對象。重物受到重力G、

40、拉力F和斜面對重物的作用力FN，其受力圖如圖28b所示。取坐標系oxy，列平衡方程X=0 GsinF=0 (1)Y=0Gcos+FN=0 (2)解得F GsinFNGcos則重物對斜面的壓力FNGcos，指向和相反。例25重G20kN的物體被絞車勻速吊起，絞車的繩子繞過光滑的定滑輪A（圖29a），滑輪由不計重量的桿AB、AC支撐，A、B、C三點均為光滑鉸鏈。試求AB、AC所受的力。圖29解桿AB和AC都是二力桿，其受力如圖29b所示。假設兩桿都受拉。取滑輪連同銷釘A為研究對象。重物G通過繩索直接加在滑輪的一邊。在其勻速上升時，拉力FT1G，而繩索又在滑輪的另一邊施加同樣大小的拉力，即FT1FT

41、2。受力圖如圖29c所示，取坐標系Axy。列平衡方程由X=0 解得FAC63.2kN由Y=0 解得FAB41.6kN 力FAC是負值，表示該力的假設方向與實際方向相反，因此桿AC是受壓桿。例26連桿機構由三個無重桿鉸接組成（如圖210a），在鉸B處施加一已知的豎向力FB，要使機構處于平衡狀態，試問在鉸C處施加的力FC應取何值？圖210解這是一個物體系統的平衡問題。從整個機構來看，它受四個力FB、FC、FA、FD不是平面匯交力系（圖a），所以不能取整體作為研究對象求解。要求解的未知力F作用于鉸C上，鉸C受平面匯交力系的作用，所以應該通過研究鉸C的平衡來求解。鉸C除受未知力FC外，還受到二力桿BC

42、和DC的約束反力FAB和FBC和作用（圖c）。這三個力都是未知的，只要能求出FAB和FBC之中的任意一個，就能根據鉸C的平衡求出力FC。鉸B除受已知力FB的作用外，還受到二力桿AB和BC桿的約束反力FBA和FBC的作用。通過研究鉸B的平衡可以求了BC桿的約束反力FBC。綜合以上分析結果，得到本題的解題思路：先以鉸B為脫離體求BC桿的反力FBC；再以鉸C為脫離體，求未知力FC。(1)取鉸B為脫離體，其受力圖如圖（b）所示。因為只需求反力FBC，所以選取x軸與不需求出的力FBA垂直。由平衡方程X=0 FBcos45º+FBCcos45º=0解得 FBC=FB（2）取C為脫離體，

43、其受力圖如圖（c）所示。圖上力FCB的大小是已知的，即FCBFBCFB。為求力FC的大小，選取x軸與反力FCD垂直，由平衡方程X=0 FCBFBCcos45º=0解得通過以上分析和求解過程可以看出，在求解平衡問題時，要恰當地選取脫離體，恰當地選取坐標軸，以最簡捷、合理的途徑完成求解工作。盡量避免求解聯立方程，以提高計算的工作效率。這些都是求解平衡問題所必須注意的。思考題21如圖211所示的平面匯交力系的各力多邊形中，各代表什么意義？圖21122如圖212所示，已知力F大小和其與x軸正向的夾角，試問能否求出此力在x軸上的投影？能否求出此力沿x軸方向的分力？圖21223同一個力在兩個互相

44、平行的軸上的投影有何關系？如果兩個力在同一軸上的投影相等，問這兩個力的大小是否一定相等？24平面匯交力系在任意兩根軸上的投影的代數和分別等于零，則力系必平衡，對嗎？為什么？25若選擇同一平面內的三個軸x、y和z，其中x軸垂直于y軸，而z軸是任意的（圖213），若作用在物體上的平面匯交力系滿足下列方程式：X=0Y=0能否說明該力系一定滿足下列方程式：Z=0試說明理由。圖2-13第三章 平面任意力系課題第4講第三章平面任意力系學時3學時1學時習題課教學目的要求1、熟悉力和力偶的基本概念及其性質，能熟練的計算平面問題中力對點之矩。2、掌握合力距定理。3、掌握平面力偶系的合成和平衡條件。4、握平面任意

45、力系的簡化方法和簡化結果，能計算平面力系的主失和主矩。5、能熟練應用平面任意力系的平衡方程，求解單個物體的平衡問題。6、了解靜定和靜不定問題的概念以及物體系統的平衡問題。7、理解滑動摩擦的概念和摩擦力的特征。掌握摩擦角和自鎖概念。能求解當考慮滑動摩擦時單個物體和簡單物體系統的平衡問題。主要內容1、力對點之距。2、力偶。3、平面力偶系的合成和平衡條件。4、力的平移定理。5、平面任意力系的簡化6、簡化結果分析及合力距定理。7、平面任意力系的平衡。8、靜定和靜不定問題的概念以及物體系統的平衡。重點難點1、合力矩定理。2、平面力偶系的合成和平衡條件。3、力系簡化以及力系簡化結果對于平面情況要詳細討論。

46、4、平面力系平衡方程的各種形式要給以必要的說明。5、物體系統的平衡。教學方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業練習習題：P40：3-5，3-6，3-11，3-17，3-19，3-32預習：第四章各力作用線在同一平面內且任意分布的力系稱為平面任意力系。在工程實際中經常遇到平面任意力系的問題。例如圖31所示的簡支梁受到外荷載及支座反力的作用，這個力系是平面任意力系。有些結構所受的力系本不是平面任意力系，但可以簡化為平面任意力系來處理。如圖32所示的屋架，可以忽略它與其它屋架之間的聯系，單獨分離出來，視為平面結構來考慮。屋架上的荷載及支座反力作用在屋架自身平面內，組成一平面任意力系。對于水壩（圖

47、33）這樣縱向尺寸較大的結構，在分析時常截取單位長度（如1）的壩段來考慮，將壩段所受的力簡化為作用于中央平面內的平面任意力系。事實上工程中的多數問題都簡化為平面任意力系問題來解決。所以，本章的內容在工程實踐中有著重要的意義。圖31 圖32圖33在研究平面任意力系之前，首先研究力矩、力偶和平面力偶系的理論。這都是有關力的轉動效應的基本知識，在理論研究和工程實際應用中都有重要的意義。第一節 力對點之矩一、力矩的概念力不僅可以改變物體的移動狀態，而且還能改變物體的轉動狀態。力使物體繞某點轉動的力學效應，稱為力對該點之矩。以扳手旋轉螺母為例，如圖34所示，設螺母能繞點O轉動。由經驗可知，螺母能否旋動，

48、不僅取決于作用在扳手上的力F的大小，而且還與點O到F的作用線的垂直距離d有關。因此，用F與d的乘積不作為力F使螺母繞點O轉動效應的量度。其中距離d稱為F對O點的力臂，點O稱為矩心。由于轉動有逆時針和順時針兩個轉向，則力F對O點之矩定義為：力的大小F與力臂d的乘積冠以適當的正負號，以符號mo(F) 表示，記為mo(F)±Fh （31）通常規定：力使物體繞矩心逆時針方向轉動時，力矩為正，反之為負。圖34由圖34可見，力F對O點之矩的大小，也可以用三角形OAB的面積的兩倍表示，即mo(F)±2ABC（32）在國際單位制中，力矩的單位是牛頓米（Nm）或千牛頓米（kNm）。由上述分析

49、可得力矩的性質：（1）力對點之矩，不僅取決于力的大小，還與矩心的位置有關。力矩隨矩心的位置變化而變化。（2）力對任一點之矩，不因該力的作用點沿其作用線移動而改變，再次說明力是滑移矢量。（3）力的大小等于零或其作用線通過矩心時，力矩等于零。二、合力矩定理定理：平面匯交力系的合力對其平面內任一點的矩等于所有各分力對同一點之矩的代數和。圖35證明：設剛體上的A點作用著一平面匯交力系。力系的合力。在力系所在平面內任選一點O，過O作oy軸，且垂直于OA。如圖32所示。則圖中Ob1、Ob2、Obn分別等于力F1、F2、Fn和FR在Oy軸上的投影Y1、Y2、Yn和YR。現分別計算F1、F2、Fn和FR各分力

50、對點O的力矩。由圖35可以看出（1）根據合力投影定理YRY1Y2Yn兩端乘以OA得YROAY1OAY2OAYnOA將式（1）代入得mo(FR)mo(F1) mo(F2)mo(Fn)即mo(FR)mo(F)（33）上式稱為合力矩定理。合力矩定理建立了合力對點之矩與分力對同一點之矩的關系。這個定理也適用于有合力的其它力系。例31試計算圖36中力對A點之矩。圖36解本題有兩種解法。（1） 由力矩的定義計算力F對A點之矩。先求力臂d。由圖中幾何關系有：d=ADsin=(AB-DB)sin=(AB-BCctg)sin=(a-bctg)sin=asin-bcos所以mA(F)=Fd=F(asin-bcos

51、)（2） 根據合力矩定理計算力F對A點之矩。將力F在C點分解為兩個正交的分力和，由合力矩定理可得mA(F)= mA(Fx)+ mA(Fy)=Fxb+ Fya=F(bcosasin) =F(asin-bcos)本例兩種解法的計算結果是相同的，當力臂不易確定時，用后一種方法較為簡便。第二節力偶一、力偶、力偶矩在日常生活和工程實際中經常見到物體受動兩個大小相等、方向相反，但不在同一直線上的兩個平行力作用的情況。例如，司機轉動駕駛汽車時兩手作用在方向盤上的力（圖37a）；工人用絲錐攻螺紋時兩手加在扳手上的力（圖37b）；以及用兩個手指擰動水龍頭（圖37c）所加的力等等。在力學中把這樣一對等值、反向而不

52、共線的平行力稱為力偶，用符號 ( F ,F)表示。兩個力作用線之間的垂直距離稱為力偶臂，兩個力作用線所決定的平面稱為力偶的作用面。圖37實驗表明，力偶對物體只能產生轉動效應，且當力愈大或力偶臂愈大時，力偶使剛體轉動效應就愈顯著。因此，力偶對物體的轉動效應取決于：力偶中力的大小、力偶的轉向以及力偶臂的大小。在平面問題中，將力偶中的一個力的大小和力偶臂的乘積冠以正負號，(作為力偶對物體轉動效應的量度，稱為力偶矩，用m或m( F ,F)表示，如圖38所示，即m(F)Fd=±2ABC (3-4)圖38通常規定：力偶使物體逆時針方向轉動時，力偶矩為正，反之為負。在國際單位制中，力矩的單位是牛頓

53、米（Nm）或千牛頓米（kNm）。二、力偶的性質力和力偶是靜力學中兩個基本要素。力偶與力具有不同的性質：（1）力偶不能簡化為一個力，即力偶不能用一個力等效替代。因此力偶不能與一個力平衡，力偶只能與力偶平衡。設剛體上的A和B分別作用著大小不等，指向相反的平行力F1和F2，若F1F2。由同向平行力合成的內分反比關系，來求反向平行力的合力。圖39b所示，將力F1分解成兩個同向平行力，使其中一個分力F2作用于點B，且F2F2，設另一個分力為FR，其作用線與AB的延長線交于C點。現將平衡力F2和F2減去，力FR就與原來兩反向平行力F1和F2等效。即力FR為F1和F2的合力。（圖39b）圖39因為F2F2FRF2FR所以FRF1F2由內分反比關系知若F1F2，則力F1和F2組成力偶，此時，FR0，于是CACA，說明合力的作用點C不存在，所以力偶不能合成為一合力。即力偶不能用一個力代替，也不能與一個力平衡，力偶只能用力偶來平衡。(2)力偶對其作在平面內任一點的矩恒等于力偶矩，與矩心位置無關。圖310如圖310所示，力偶( F ,F)的力偶矩m(F)Fd在其