1、一線三等角模型.一線三等角概念“K形圖”,“三垂直”，"弦圖”等，以下稱為“一線三等“一線三等角”就是一個常見得相似模型，指得就是有三個等角得頂點在同一條 直線上構成得相似圖形,這個角可以就是直角，也可以就是銳角或鈍角。不同地區 對此有不同得稱呼， 角” 二、一線三等角得分類全等篇B鈍角同側銳角rPPA相似篇異側鈍角宜角D銳角PAPBP異側三、“一線三等角”得性質K般情況下，如圖3-1,由Z1=Z2=Z3,易得 AECABDE.2、當等角所對得邊相等時，則兩個三角形全等、如圖37若CE=ED,則AEC絲BDE.ccc圖323、中點型“一線三等角”如圖 32,當Z 1=Z2=Z3,且

2、D 就是 BC 中點ABDEACFDADFE.4、“中點型一線三等角"得變式（了解）如圖37,當ZrZ2且眄點0就是ZkABC得內心.可以考虎構造“一線三等角鮮、NCCtfZ圖3斗如圖3-4 “中點型一線三等角"通常與三角形得內心或旁心相關，這就是內心得性質,反之未必就是內心、在圖3-4佑圖）中，如果延長BE與CF,交于點P,則點D就是PEF得旁心、5. “一線三等角”得各種變式（圖3-5,以等腰三角形為例進行說明）圖35其實這個第4圖，延長DC反而好理解、相當于兩側型得，不延長理解，以為就 是一種新型得，同側穿越型？不管怎么變，都就是由三等角確定相似三角形來進 行解題四、

3、“一線三等角”得應用1. “F三等角”應用得三a、況、!角”，直接應用代，不上“一等，木上“二等角7構造模型解題.軸題中經常會特殊角題.C申己經存在“_綣b/圖畤存在“一線二只有直線上一種情況出現比較多眈其就角函"一 *造“r:一線三等角就是基本手段，尤其就是直角坐標系中體？2、忑鷄對需角問題中,得張角問題，在X軸或y軸（也可以就是平行于X軸或y軸得直線）上構造 一線三等角解決問題更就是重要得手段.3. 構造一線三等角得步驟:找角、定線、構相似A"nD/ / /在DC的延長銭上截職CE= , S CD的延長線上截取DF= > tanatana貝ItanZAEPt ta

4、nZPFB= tans MljZAEP= ZPFB= a= ZAPB ,所以厶噸® ABPF 在CP上截取CE二竺，在DP截DF= >tanatanam則 tanZAEC= tanZBFD= tans則Z.AEC= Z.BFD= a= Z.APB，所以 PAE ABPF C g tXM V O F*A尸得特殊性如圖36,線上有一特殊角，就考慮構造同側型一線三等角當然只加這兩條線通常就是不夠得，為了利用這個特殊角導線段得關系，過C> D 兩點作直線1得垂線就是必不可少得。兩條垂線通常情況下就是為了 “量化” 得需要。上面就k是作輔助線得一般程序，瞧起來線條比較多，很多老師都

5、認為一下子不 容易掌握.解題示范例1如圖所示,一次函數與坐標軸分別交于A、B兩點，點P就是線段AB上一個動點（不 包括A、B兩端點）,C就是線段OB上一點,ZOPC=45。潔AOPC就是等腰三角形，求點P 得坐標、BX例 2 如圖所示,四邊形 ABCD 中,ZC=90o,ZABD二ZDBO22、5AE丄BC 于 E,Z ADE=67x 5°AB=6則 CE=、例 3 如圖,四邊形 ABCD 中,NABC二NBAD=9(r ,ZACD=45° AB=3,AD=5.求 BC 得長、/ 2例 4 如圖,ZkABC 中,ZBAC=45。，AD丄BCBD=2,CD=3,求 AD 得長

6、、一線三等角，補形最重要，內構勤思考，外構更精妙、找出相似形，比例不能少、巧設未知數，妙解方程好還就是可以縱橫斜三個方向構造，坐標系中一般考慮縱橫兩個方向構造lan(i» I fi)I5如圖在AABC中,ZBAO1351 AU AB, ad丄AC交BC于點D,若AD =,求aABC得而當然有45。或135。等待殊角，據此也可以構造不同得一線三等角一線三等角所有得構造都就是把分居定角兩側得數據集中在一起，就是相似集中條件得一 種.大練身手：I如圖，厶4広？中，lan厶CDn丄 /B = 9O。，Q = 2, BC = 4求BQ的長3/VAAffC2如圖.如5C 中，二90°

7、, ZC4D二45° ,川?二3, CD二5,求的長3如圖，鎧四邊形 肋CQ中，/BAD= ZACB= "CD=45° , /C=4,求BCD的周 長.4在直角三角形/4BC, ZO90" 25=30° ,04, D為ylC的中點若DEF為正三角形，求併的長.5如圖，RthABC 中，ZAC片30° D4 平分ZCAB,若ZCP5-60" 心=価求 4£> 的長.巧、D6如圖，在等服恵角三角形中，Z恥690° , D為M上一點，連接CD P為CD上一點、 ZBPD二45°，若CP二6, &

8、quot;CD的面積為18,則線段的長為_C8 如圖，ZUBC 中，Z &430° , AB = 2y2，點Q在月 C 邊上 BC = yf2CD, DE 丄 BC IL, DE二DC DE 交AC邊與點F, EF=運,則/C的長為9如圖，在平面直角坐標系中，點A （4.0>,點（0,25/?）,點C在第象限內，若ZUBC為等邊三角形，則 點C的坐標為it10矩形4BCD在直角坐標系的位S如圖所示，點（27i5.0）點C（O,5）,反比例怕數y = 的圖像交邊/馭 BC T D. £ 兩點且ZDOE=45，則 A&】1如圖.fl線y二2x-4交坐標軸與

9、人B兩點，交雙曲線y = -（x>Q于點C,且點P在點C X的右側的雙曲線上.ZH5C45。,則點F的坐標為12在肋C中，JS = 272,ZS=45以點&為直角頂點作等腰直角VDE.點D在BC匕點E在JC±,若CE = y/5 則CD的長為_13如圖，直角川?C中，Z090* , AC=EBC= & D是斜邊的中點 £為BC上動點,DF丄F點尺 連接,若DEF是等腰ft角三角形，求DE的長度彳14在厶3C中，Z3=45° , ZC=30° ,點I足BC上點，連接4£過點X作43丄應,在以5上取 點刁 連接DF.延長04至

10、E,使E=XF,連接EG, DG,且GE=DF<1)若AB = 2y/iAB=2求BQ的長;(2)如附當點G在/C上時，求證，叫嚴,<3)如圖2,當點G在“的垂直平分線上時，直接寫出備的值.例7:在平而直角坐標系中，已知點A(bOLB(O,3),C(-3)Q就是線段上一點,CD交y軸于氏 且 S“ac=2S."o8(1)求直線AB得解析式；求點D得坐標，猜想線段CE與線段AB得數量關系與位置關系,并說明理由；若F為射線CD匕一點,且ZDBF=451求點F得坐標.例8:如圖，宜線y=x+2與y軸殳于點C,與拋物線y=a/交于久B兩點(&在B得左側0?= 2AC點P就

11、是拋物線上一點.(1) 求拋物線得函數表達式；(2) 若點P在直線AB得下方，求點P到直線A8得距離得最大值；(3) 若點P在宜線46得上方，且ZBPC=45。,求所有滿足條件得點P得坐標.練1：.如圖,拋物線得頂點為且經過點A,點B與坐抹原點。點B得橫坐標為一3.(1) 求拋物線得解析式；(2) 若點D為拋物線上得一點,且2800得面積等于00<?得面$若點E得坐標為(0,2),點P就是線段BC上得一個動點，就是才存在影撇得ZOPE=45。？ 若存在，求出點P得坐標;若不存在/請說明理由.H青直接硼點Q得坐標;課后作業：如圖，點Al),B(3,0),P為直線W -X+5上一點，若ZAP

12、C5。在四邊形 ABCD 中,ZABC=ZBAD=9(r ,ZAC必5。,AB=9,如圖,正方形ABCD中，點E,F,G分別在AB,BCCD上,為等 證:BE+GC=BCACZ>GO X角如 ILAABCADBA,.! L AC=BC 求證:CD=2 AB、CA如制在四邊形 ABCD 中,ZABC=9O1AB=3,BC=4,C£)=1OQA=求 BD 得長 如圖，點A就是反比例(X>0)圖形上一點，點B就是X軸正半軸上一點，點C得坐標為(02), 點ABC就是等邊三角形時求點A得坐標、拋物線y=r-4M + 3與坐標軸交于小B、C三點，點P在拋物線上，"丄BCT

13、點E.若PE=2CE.求P點坐標.如圖拋物線y=ax+bx+4與x軸殳于久8兩點(點&在點8得左側)占y軸交于點C宜線17hy=-x+m經過點A與拋物線交于列一點0(5,-0點P就是直線/上方得拋物線上得動點/ 連接PC、PD(1)求拋物線得解析式；當P3為直角三角形時，求點P得坐標；(3) 設PCD得面積為S/請您探究:使S得值為整數得點P共有幾個，說明理由 如圖，直線AC：y=-2x+2與X軸交于點如與y軸交于點C拋物線y=0/+bx+c（0>O）過爪C 兩點，與X軸交于另一點B（B在A得右側）且OBCsOCA.1.如圖1,已知直線尸&與拋物線仕)求直線尸kx得解析式打線段0A得長度；C(2) 點P為拋物線第一象限內得動點，過點P作直線PM, 交直線CW于點Q,再過點Q作直線PM得垂線,： 線段QN得長度之比就是否為定值？