1、第第2章章 丈量誤差分析與處置丈量誤差分析與處置研討誤差的意義在于：研討誤差的意義在于：1. 正確認識誤差的性質，分析誤差產生的緣由，正確認識誤差的性質，分析誤差產生的緣由，以便減小和消除誤差；以便減小和消除誤差；2. 正確認識誤差和實驗數據，合理計算所得結正確認識誤差和實驗數據，合理計算所得結果，以便在一定條件下得到最接近于真值的果，以便在一定條件下得到最接近于真值的數據；數據；3. 正確組成丈量系統，合理選擇儀器和丈量方正確組成丈量系統，合理選擇儀器和丈量方法，以便在最經濟條件下得到最理想的結果。法，以便在最經濟條件下得到最理想的結果。 第一節第一節 丈量誤差的概念丈量誤差的概念 一、一、

2、 丈量誤差的來源丈量誤差的來源1丈量安裝的誤差丈量安裝的誤差 2環境誤差環境誤差 3方法誤差方法誤差 4人員誤差人員誤差 二、丈量誤差的分類二、丈量誤差的分類 按照丈量結果中存在的誤差的特點與按照丈量結果中存在的誤差的特點與性質不同，丈量誤差可分為系統誤差、隨性質不同，丈量誤差可分為系統誤差、隨機誤差和粗大誤差機誤差和粗大誤差 三、丈量誤差的表示三、丈量誤差的表示 誤差誤差 + 真值真值 = 測得值測得值丈量誤差通常采用絕對誤差和相對誤差兩種方式來丈量誤差通常采用絕對誤差和相對誤差兩種方式來表示。表示。 常見的絕對誤差可以用真誤差、剩余誤差、最大絕常見的絕對誤差可以用真誤差、剩余誤差、最大絕對

3、誤差、算術平均誤差、規范誤差、或然誤差、對誤差、算術平均誤差、規范誤差、或然誤差、極限誤差等方法表示。極限誤差等方法表示。絕對誤差與根據需求和方便的取值之比值稱為相對絕對誤差與根據需求和方便的取值之比值稱為相對誤差。對應不同相比的取值，相對誤差可用實踐誤差。對應不同相比的取值，相對誤差可用實踐相對誤差、示值相對誤差、援用相對誤差、最大相對誤差、示值相對誤差、援用相對誤差、最大相對誤差、分貝誤差等方法表示。相對誤差、分貝誤差等方法表示。 第二節第二節 直接丈量誤差的分析與處置直接丈量誤差的分析與處置 一、一、 隨機誤差的分析與處置隨機誤差的分析與處置1. 隨機誤差的定義和分布特點隨機誤差的定義和

4、分布特點1定義定義 在一樣的條件下對同一被丈量進展多次反復丈量，在一樣的條件下對同一被丈量進展多次反復丈量，誤差的大小和符號的變化沒有一定規律，且不可誤差的大小和符號的變化沒有一定規律，且不可預知，這類誤差稱為隨機誤差。預知，這類誤差稱為隨機誤差。 隨機誤差是由很多暫時未能掌握或不便掌握的微小隨機誤差是由很多暫時未能掌握或不便掌握的微小要素綜協作用的結果。要素綜協作用的結果。 2分布的特點分布的特點 有界性有界性 單峰性單峰性 對稱性對稱性 抵償性抵償性 2. 隨機誤差的正態分布特征隨機誤差的正態分布特征 實際和實際都證明了大多數的隨機誤差都實際和實際都證明了大多數的隨機誤差都服從正態分布的規

5、律，其分布密度函數為：服從正態分布的規律，其分布密度函數為： )2(2221)(ef)2)(2221)(xexf01lim1niinn 和確定之后，正態分布就完全確定了。正態分布密度函數的曲線如下圖。從該曲線可以看出，正態分布很好地反映了隨機誤差的分布規律。 1真值真值 設設x1、x2 、xn 為為n次丈量所得的值，那次丈量所得的值，那么算術平均值為么算術平均值為 由隨機誤差的抵償性可知，有由隨機誤差的抵償性可知，有故故 時時 nxnxxxxniin121iixniiniinx1101lim1niinnnx均方根誤差均方根誤差 均方根誤差的定義式為均方根誤差的定義式為 可以證明，均方根誤差的估

6、計值計算公式為：可以證明，均方根誤差的估計值計算公式為： niinniinxnn1212)(1lim1limniiniivnxxn121211)(11算術平均值的均方根誤差算術平均值的均方根誤差 假設在一樣的條件下將同一被丈量分假設在一樣的條件下將同一被丈量分成成m 組，對每組反復丈量組，對每組反復丈量n次，那么每組丈量值次，那么每組丈量值都有一個平均值。由于隨機誤差的存在，這些都有一個平均值。由于隨機誤差的存在，這些算術平均值也各不一樣，而是圍繞真值有一定算術平均值也各不一樣，而是圍繞真值有一定的分散性，即算術平均值與真值間也存在著隨的分散性，即算術平均值與真值間也存在著隨機誤差。用表示算術

7、平均值的均方根誤差，由機誤差。用表示算術平均值的均方根誤差，由概率論中方差運算法那么可以求出概率論中方差運算法那么可以求出 在有限次丈量中，以表示算術平均值在有限次丈量中，以表示算術平均值均方根誤差的估計值，有均方根誤差的估計值，有 nxnx隨機誤差的工程計算隨機誤差的工程計算 隨機誤差出現的性質決議了人們不能隨機誤差出現的性質決議了人們不能夠準確地獲得單個丈量值的真誤差的值。我們夠準確地獲得單個丈量值的真誤差的值。我們所能做的只能是在一定的概率意義下估計隨機所能做的只能是在一定的概率意義下估計隨機誤差數值的范圍，或者求得隨機誤差出如今給誤差數值的范圍，或者求得隨機誤差出如今給定區間的概率。定

8、區間的概率。 對于服從正態分布的丈量誤差，出現于區對于服從正態分布的丈量誤差，出現于區間間 內的概率為內的概率為 思索到正態分布密度函數的對稱性，出現思索到正態分布密度函數的對稱性，出現于區間于區間 的概率為的概率為 d21)()2/(22ebaPbaba,aa,d212)()()2/(022eaPaaPa 令令 ，那么，那么 ，函數函數 稱為概率積分，不同的稱為概率積分，不同的z對應不同對應不同 的。的。假設某隨機誤差在假設某隨機誤差在 范圍內出現的概率為范圍內出現的概率為2 ，那么隨機誤差超出此區間的概率為那么隨機誤差超出此區間的概率為 za /az )(2d22)()(2/02zzezP

9、aPzz)(z)(zz)(z)(21z例例2-1 計算計算z分別等于分別等于1、2、3時對應的置信概率時對應的置信概率P。 解：如下圖，當解：如下圖，當 z=1時，區間為時，區間為 -，此時，此時當當 z=2時，區間為時，區間為 -2，2，此時此時316828. 0d22)(2/110zeP2219545. 0d22)2(2/2202zeP當當 z=3時，區間為時，區間為 -3，3，此時，此時37019973. 0d22)3(2/3302zeP 在普通丈量中，丈量次數很少超越幾十次，因此可以以為大于 的誤差是不能夠出現的，通常把這個誤差稱為單次丈量的極限誤差，即 當z=3時，對應的概率P=99

10、.73%。幾個概念：把區間 稱為置信區間，對應的概率 稱為置信概率， 稱為置信限，z稱為置信因子， 稱為顯著性程度或置信程度。 33lmzz ,)(ZZPPzP1丈量結果的表示方法丈量結果的表示方法假設以單次丈量值表示丈量結果假設以單次丈量值表示丈量結果X，有，有 X = 單次丈量值單次丈量值置信區間半長置信區間半長 (P=置信概率置信概率) 例如：例如：X = 單次丈量值單次丈量值3 (P=99.73) X = 單次丈量值單次丈量值2 (P=95.45)假設以算術平均值表示丈量結果假設以算術平均值表示丈量結果X，有，有 X = 算術平均值算術平均值置信區間半長置信區間半長 (P=置信概率置信

11、概率) 例如：例如：X = 3 (P=99.73) X = 2 (P=95.45)xx 在實踐丈量中的子樣容量通常很小例如在實踐丈量中的子樣容量通常很小例如n 那么以為該丈量列中含有周期性系統誤差。那么以為該丈量列中含有周期性系統誤差。 4.系統誤差的普通處置原那么系統誤差的普通處置原那么 1從產生誤差根源上消除誤差從產生誤差根源上消除誤差 用排除誤差源的方法消除系統誤差是最理想的方法。它用排除誤差源的方法消除系統誤差是最理想的方法。它要求丈量人員，對丈量過程中能夠產生系統誤差的各個環要求丈量人員，對丈量過程中能夠產生系統誤差的各個環節作仔細分析，并在正式測試前就將誤差從產生根源上加節作仔細分

12、析，并在正式測試前就將誤差從產生根源上加以消除或減弱到可忽略的程度。由于詳細條件不同，在分以消除或減弱到可忽略的程度。由于詳細條件不同，在分析查找誤差源時，并無一成不變的方法，但以下幾方面是析查找誤差源時，并無一成不變的方法，但以下幾方面是應予思索的：應予思索的： 所用基準件、規范件如量塊、刻尺等能否準確可所用基準件、規范件如量塊、刻尺等能否準確可靠；靠； 所用量具儀器能否處于正常任務形狀，能否經過所用量具儀器能否處于正常任務形狀，能否經過檢定，并有有效周期的檢定證書；檢定，并有有效周期的檢定證書； 儀器的調整、測件儀器的調整、測件的安裝定位和支承裝卡能否正確合理；的安裝定位和支承裝卡能否正確

13、合理； 所采用的丈量所采用的丈量方法和計算方法能否正確，有無實際誤差；方法和計算方法能否正確，有無實際誤差； 丈量的環丈量的環境條件能否符合規定要求，如溫度、振動、塵污、氣流等；境條件能否符合規定要求，如溫度、振動、塵污、氣流等； 留意防止丈量人員帶入客觀誤差如視差、視力疲勞、留意防止丈量人員帶入客觀誤差如視差、視力疲勞、留意力不集中等。留意力不集中等。 2用修正方法消除系統誤差用修正方法消除系統誤差 這種方法是預先這種方法是預先將丈量器具的系統誤差檢定出來或計算出來，取將丈量器具的系統誤差檢定出來或計算出來，取與誤差大小一樣而符號相反的值作為修正值，將與誤差大小一樣而符號相反的值作為修正值，

14、將測得值加上相應的修正值，即可得到不包含該系測得值加上相應的修正值，即可得到不包含該系統誤差的丈量結果。統誤差的丈量結果。3在實踐丈量時，盡能夠采用有效的丈量方法，在實踐丈量時，盡能夠采用有效的丈量方法，以消除或減弱系統誤差對丈量結果的影響。以消除或減弱系統誤差對丈量結果的影響。 (a) 采用對置法可消除恒值系統誤差。采用對置法可消除恒值系統誤差。 (b) 采用對稱觀測法可消除累進系統誤差。采用對稱觀測法可消除累進系統誤差。 (c) 采用半周期法，可以很好地消除周期性系統誤差。采用半周期法，可以很好地消除周期性系統誤差。 對周期性誤差，可以相隔半個周期進展兩次丈量，對周期性誤差，可以相隔半個周

15、期進展兩次丈量，取兩次讀數平均值，即可有效地消除周期性系統誤取兩次讀數平均值，即可有效地消除周期性系統誤差。差。 例如儀器度盤安裝偏心、測微表針回轉中心與刻例如儀器度盤安裝偏心、測微表針回轉中心與刻度盤中心的偏心度盤中心的偏心 等引起的周期性誤差，皆可用半等引起的周期性誤差，皆可用半周期法予以剔除。周期法予以剔除。 三、粗大誤差的分析與處置三、粗大誤差的分析與處置粗大誤差的定義及產生的緣由粗大誤差的定義及產生的緣由 粗大誤差是指明顯歪曲了丈量結果而使該次丈量失粗大誤差是指明顯歪曲了丈量結果而使該次丈量失效的誤差，也稱為疏失誤差。含有粗大誤差的丈量值稱效的誤差，也稱為疏失誤差。含有粗大誤差的丈量

16、值稱為壞值或異常值。為壞值或異常值。 產生粗大誤差的緣由很多，主要有：產生粗大誤差的緣由很多，主要有：客觀緣由客觀緣由 丈量者在丈量時大意大意、操作不當或過于疲勞丈量者在丈量時大意大意、操作不當或過于疲勞而呵斥錯誤的讀數或記錄，這是產生粗大誤差的主要緣而呵斥錯誤的讀數或記錄，這是產生粗大誤差的主要緣由。由。客觀緣由客觀緣由 丈量條件不測的改動如外界振動、機械沖擊、丈量條件不測的改動如外界振動、機械沖擊、電源瞬時大幅度動搖等，引起儀表示值的改動。電源瞬時大幅度動搖等，引起儀表示值的改動。 對粗大誤差，除了設法從丈量結果中發現和鑒別而對粗大誤差，除了設法從丈量結果中發現和鑒別而加以剔除外，重要的是

17、要加強丈量的任務責任心和嚴厲加以剔除外，重要的是要加強丈量的任務責任心和嚴厲的科學態度。此外，還要保證丈量條件的穩定。的科學態度。此外，還要保證丈量條件的穩定。 2. 2. 判別粗大誤差的準那么判別粗大誤差的準那么 (1) 3 (1) 3 準那么萊伊特準那么準那么萊伊特準那么 假設在丈量列中，發現有大于假設在丈量列中，發現有大于3 3 的剩余誤差的剩余誤差的測得值，即的測得值，即 那么可以以為它含有粗大誤差，應予以剔除。那么可以以為它含有粗大誤差，應予以剔除。 實踐運用時，規范誤差取其估計值，且按萊伊特準那實踐運用時，規范誤差取其估計值，且按萊伊特準那么剔除含有粗差的壞值后，應重新計算新丈量列

18、的算術平么剔除含有粗差的壞值后，應重新計算新丈量列的算術平均值及規范誤差，斷定在余下的數據中能否還有含粗大誤均值及規范誤差，斷定在余下的數據中能否還有含粗大誤差的壞值。差的壞值。 留意：該準那么是最常用也是最簡單的判別粗大誤差的準那留意：該準那么是最常用也是最簡單的判別粗大誤差的準那么，它是以丈量次數充分大為前提，但通常丈量次數比較么，它是以丈量次數充分大為前提，但通常丈量次數比較少，因此該準那么只是一個近似的準那么。在丈量次數較少，因此該準那么只是一個近似的準那么。在丈量次數較少時，最好不要選用該準那么。少時，最好不要選用該準那么。3iv 【例】 對某量進展15次等精度丈量，測得值如下表所列

19、，設這些測得值已消除了系統誤差，試判別該丈量列中能否含有粗大誤差的測得值。 表 2-11v序號12345678910111213141520.4220.4320.4020.4320.4220.4320.3920.3020.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40+0.016+0.026-0.004+0.026+0.016+0.026-0.014-0.104-0.004+0.026+0.016+0.006-0.014-0.014-0.0040.0002560.0006760.0000160.0006760.0002560.0006760.0001960.0108160.0

20、000160.0006760.0002560.0000360.0001960.0001960.000016+0.009+0.019-0.011+0.019+0.009+0.019-0.021-0.011+0.019+0.009-0.001-0.021-0.021-0.0110.0000810.0003610.0001210.0003610.0000810.0003610.0004410.0001210.0003610.0000810.0000010.0004410.0004410.000121003374.01512 iiv404.20151nlxii01496.01512iiv0151iiv

21、2vv2vl 由表可得由表可得 根據根據 準那么，第八測得值的剩余誤差為：準那么，第八測得值的剩余誤差為： 即它含有粗大誤差即它含有粗大誤差, ,故將此測得值剔除。再根據剩下的故將此測得值剔除。再根據剩下的1414個個測得值重新計算，得：測得值重新計算，得： 由表知，剩下的由表知，剩下的1414個測得值的剩余誤差均滿足個測得值的剩余誤差均滿足 , ,故可以以為這些測得值不再含有粗大誤差。故可以以為這些測得值不再含有粗大誤差。404.20 x033. 01401496. 0112nvnii099. 0033. 0333099. 0104. 08v411.20 x016.013003374.011

22、2 nvnii 3iv2格拉布斯準那么格拉布斯準那么 設對某量作多次等精度獨立丈量，得到一丈量設對某量作多次等精度獨立丈量，得到一丈量列：列：x1，x2，xn。當。當 xi 服從正態分布時，服從正態分布時，計算得到計算得到 niixnx11xxviiniivn1211將將xi按大小順序陳列成順序統計量按大小順序陳列成順序統計量)()2()1(nxxx 計算首、尾測得值的格拉布斯準那么數)1()1(xxg)()(xxgnn 取定置信程度(普通為0.05或0.01)，根據子樣容量n和置信程度，從表中查出相應的格拉布斯準那么臨界值 。假設 ，即判別該測得值含有粗大誤差，應予以剔除。 留意當 和 都大

23、于 ，應先剔除大 者，再重新計算 和 ，這時子樣容量為 ，再進展判別，直至余下的測得值中不再發現壞值。 ),(0ng),(0)(nggi)1(g)(ng),(0ngx1n 按測得值的大小，順序陳列得按測得值的大小，順序陳列得 今有兩測得值今有兩測得值 ， 可疑心，但由于可疑心，但由于 故應先疑心故應先疑心 能否含有粗大誤差，計算能否含有粗大誤差，計算 查表查表2-122-12得得 那么那么 故表故表2-112-11中第八個測得值中第八個測得值 含有粗大誤差，應予剔除。含有粗大誤差，應予剔除。 剩下的剩下的1414個數據，再反復上述步驟，判別個數據，再反復上述步驟，判別 能否含有粗大誤差。能否含

24、有粗大誤差。 解：解： 故可判別故可判別 不包含粗大誤差，而各不包含粗大誤差，而各 皆小于皆小于1.181.18，故可以為其他，故可以為其他測得值也不含粗大誤差。測得值也不含粗大誤差。 , 30.20)1(x43.20)15(x)1(x)15(x104. 030.20404.20)1( xx026. 0404.2043.20)15( xx)1(x15. 3033. 030.20404.20)1(g41. 2)05. 0 ,15(0g41. 2)05. 0 ,15(15. 30)1(gg8x)15(x， 411.20 x016. 018.1016.0411.2043.20)15(g)15(x)(

25、ig還用上例測得值，試判別該丈量列中的測得值能否含有粗大誤差。還用上例測得值，試判別該丈量列中的測得值能否含有粗大誤差。 第三節第三節 間接丈量誤差的分析與處置間接丈量誤差的分析與處置 一、間接丈量中系統誤差的傳送一、間接丈量中系統誤差的傳送 在間接丈量中，函數關系的普通方式為在間接丈量中，函數關系的普通方式為),(21mxxxfy式中式中 為各個直接丈量值；為各個直接丈量值；y為間接為間接丈量值。丈量值。 對于以上函數，其增量可用函數的全微分表示，對于以上函數，其增量可用函數的全微分表示，那么有那么有 mxxx,21mmxxfxxfxxfy2211 上式為間接丈量中系統誤差的傳送公式上式為間接丈量中系統誤差的傳送公式 二、二、 間接丈量中隨機誤差的傳送間接丈量中隨機誤差的傳送 ),(21mxxxfyxjxiijjjii