1、計算方法練習題一一、填空題1.蔥=3.14159的近似值3.1428，準確數位是（）。2 .滿足 f （a）二 c, f （b）二 d 的插值余項 R（x）二（）。3 .設Pk（x）為勒讓德多項式，則（P2（x）, P2（x）=（）。4 .乘幕法是求實方陣（）特征值與特征向量的迭代法。5 .歐拉法的絕對穩定實區間是（）。6. e =2.71828具有3位有效數字的近似值是（）。9 .已知1 25 4_-A7 .用辛卜生公式計算積分生（）。01 +x8 .設=（ajk）第k列主兀為aP”，則aP嚴=()10 .已知迭代法：Xni =（召），（n =0,1，）收斂，則"（X）滿足條件（）

2、。、單選題1已知近似數a,b,的誤差限；（a）, ；（b），則；（ab）=（）。A. ；(a) ；(b) b. ；(a)；(b) c. a ；(a) b ；(b)d. a ；(b)；(a)2 .設 f(x) = x2 x，則 f1,2,3=()A.lB.2C.3D.43 .設A =1 I則化A為對角陣的平面旋轉3-().JIJIJIJIA. B. C. D. 2 3464 .若雙點弦法收斂，則雙點弦法具有（）斂速.A.線性B.超線性C.平方D.三次5 .改進歐拉法的局部截斷誤差階是（）A. 0(h)23B. o(h ) c. o(h )D. 0( h4 )A. 11027 .矩陣A滿足(6.近

3、似數a =0.47820 102的誤差限是（）。1 1B. 10C. 102 2),則存在三角分解 A=LR。A. det A = 0B.det Ak = 0(1 込 k ： n)c. det A 0 d. det A ： 0已知 x = (-1,3,-5)丁，則 |x1 =()。A . 9B.5C. 3D . 5設Pk（x）為勒讓德多項式，則（P3（X）, R（X）=()。2222一B .C . 一D .57911計算題'X1 + X2=3求矛盾方程組：*捲 +2x2=4的最小二乘解。% - x2 = 22 1.用n = 4的復化梯形公式計算積分-dx，并估計誤差。1 x2論 +5x

4、2 +3x3 =6.用列主元消元法解方程組：2x-i 4x2 3x3 = 5。4捲 6x2 2x3 二 4.用雅可比迭代法解方程組：（求出x）。_4-1'.0.用切線法求x3 -4x，1 = 0最小正根（求出x1）o已知f （x）數表:x012y-204求拋物插值多項式，并求f（0.5）近似值。已知數表:x012y13 . 24 . 8求最小二乘一次式。89A.三、12345671 1 1&已知求積公式：f (x)dx ： Ao花-)Af(O) Azfg)。求Ao,Ai,A，使其具有盡可能高代數精度，并指出代數精度。4109用乘幕法求 A = 131的按模最大特征值與特征向量。

5、'0 1 4 一"y" = 2x y10.用予估校正法求初值問題：Fy在x = 0(0.2)0.4處的解。.y(0)=1四、證明題1.證明：若f ”(x)存在，則線性插值余項為：f牡)R(x)(x xo)(x xj, xo ： : x1。2!y" = -10y2.對初值問題''，當0 < h蘭0.2時，歐拉法絕對穩定。.y(0) = 13設P(A)是實方陣A的譜半徑，證明：P(A)勻A。4證明：計算.a(a 0)的單點弦法迭代公式為：xn彳=ex. a，n = 0,1，。C + Xn計算方法練習題二一、填空題1 近似數a =0.635

6、00 103的誤差限是()。2 .設|x|>>1,則變形 1 X -X =()，計算更準確。 +2x2 =3 一3 用列主元消元法解：，經消元后的第二個方程是()。2石 +2x2 =44 用高斯一賽德爾迭代法解4階方程組，則x3m° =()。5 已知在有根區間a,b上 , f '(x), f ''(x)連續且大于零，則取 X。滿足()，則切線法收斂。6已知誤差限；(a), ；(b),則；(ab)二()。7 用辛卜生公式計算積分1 dxD. 40/0)0D. (D-U)，L5 設雙點弦法收斂，則它具有()斂速°A.線性B.超線性C.平方 1

7、06 .2=1.41424-,則近似值的精確數位是(7D.三次)oD. 10*)0D. 04 11&若A =，則化A為對角陣的平面旋轉角 日=( )o14 一A. 10°B. 10C. 10；7 若A.4 2】；1L ，匕【2 4 一01112 022 一，則有22二(B. 3C.4兀A.-2兀B.3JIJTC.D.469.改進歐拉法的絕對穩定實區間是()oA.-3 , 0B. -2.78 , 0C. 2.51 , 0D. -2 , 0二、計算題x0122 x8若A=A。用改進平方根法解 Ax二b，則0二( )o9 當系數陣A是()矩陣時，則雅可比法與高斯一賽德爾法都收斂。1

8、0若人=爲，且卜i a剛(i K3)，則用乘幕法計算 人茫( )o二、選擇題1 已知近似數 a 的；r(a)=10/0，則；r(a)二()A. 10/0B. 20/ 0C. 30/02設Tk(X)為切比雪夫多項式，則(T2(X).T2(X)=(江JTA.0B .C.D. :426 413 .對A = J直接作二角分解，則r22 = () 0：3 6 一A. 5B. 4C.3D. 24.已知A=D-L-U，則雅可比迭代矩陣 B= ( )oA.D(L U)B. D(L-U)C.(D-L)U1.已知f(x)數表y-4-22用插值法求f(x)=o在0 , 2的根。2.已知數表x0123y2.89.21

9、5.220.8求最小二乘一次式。3用n=4的復化辛卜生公式計算積分1 dx02 x，并估計誤差。4用雅可比法求 A5用歐拉法求初值問題3 10130的全部特征值與特征向量。衛 0 3一y2x y 在 x=0(0.1)0.2 處的解。.y(0) -16已知函數表x12y-10F y02求埃爾米特差值多項式H (x)及其余項。1上的最佳平方逼近一次式。1&求積公式：J。f(x)dx Af (0)+Bf (人)，試求捲,A, B,使其具有盡可能高代數精度,并指出代數精度。9用雙點弦法求 x7 .求 f(X)= X 在-1， - 5x 2 = 0的最小正根(求出 X2)。i y'二 x

10、 y10用歐拉法求初值問題：在x=0(0.1)0.2處的解。I y(o)=i四、證明題1.證明：| 州51a2證明：計算5 a的切線法迭代公式為：Xn 1(4Xn ), n =0,1，5Xn3設lo(X)，ln(X)為插值基函數，證明:n'Tk(x)"。k衛4若B ：:1。證明迭代法： f 2x(m)Bx(m) F,m=0,1,收斂。3 3計算方法練習題一答案一.填空題$ -2,0X2 =1,f vt)21. 102.(x-a)(x-b) 3.4 按模最大2!51工16 .- 10,7.-=,8.1 X . X9.丄b 玄彳必罰a32x2m a34x4m) ) ,10. f(

11、x°):>0a33二單選題l.C2.A3.C4.E5.C6. C7. D 8. B9. B三. 計算題l.(X1,X2)=(xX2 -3)2(X12X2-4)2(X1-X2-2)2,2.=0,=0 得:3% +2x2 =92人 +6x2 =9解得兀=®,X2 = 9。7142dx：11 8 8 8 185 6 7 20.697,M 2R(x)196在0,0.5上,=0 ,由迭代公式:X； _ 4Xn 13x； - 4計算得：XT = 0.25。6 利用反插值法得f(0)譏(0)-(0 4) -丄(0 4)(0 2) =1.752247.由方程組:4a0 6a = 48

12、*614102，解得:30 二3"6，所以 g1(x)3 6x。dx1 r 1 8 88 10.4062,8 2 9 10 11 3M2|R(f)匸 212 167680.00132 。25 3 6'4 6 2 414 6 2 43.2435T12 3T224-46241 i2 2 41 i1 112 16回代得：X=(-1,1,1)T4因為A為嚴格對角占優陣，所以雅可比法收斂。防卄J(i+x2m)4雅可比迭代公式為：円x2m制=1(3+ x1m) + x3m) ,m = 0,1,。 4(m卅)1 /彳丄 (m)、x3=-(vnx2)4取 x(0) =(1,1,1)T 計算得

13、:x h(0.5,1.25,0.5)T。5.因為 f(0) =10, f (0.5)二0.8 7 5:0，所以 x： 0,0.5，2f (x) =3x 4 ： 0, f (x) =6x _ 0。由 f (X0)f (x) _0,選 x。149.因為a22 = an = 3月12 -1,02罷42t'1=4,X1=(,0)2 2所以:2 =3,X2 =(0,1,0)T72 x/FT*2,X3=(,0)T2 210應用歐拉法計算公式：yn 1 =0.2Xn T.1yn計算得 y1 = 1.1, y2 =1.23。四證明題1設 R(x) =k(x)(x X0)(x X1), g(t) = f

14、 (t) - Lj (t) 一 k(x)(t - x°)(t - 洛)，有X0,X1,X為三個零點。應用羅爾定理，g (t)至少有一個零點g ( f ( )-2!k(x) =O,k(x)十。2.由歐拉法公式得：yn - n = 1 - Oh n I y° - 0。當0 ： h乞0.2時，則有yn n|勻y° -0。歐拉法絕對穩定。3因為 A=(A-B)+B, a 乞 a b| 亠| b ,所以 A - B| J A-B ,又因為 B=(B-A)+A,B| J B - A| 亠| A所以 B - A| . .|B - A = A-BB|A 乞 A B4因為計算5 a

15、等價求X5 - a =0的實根,5xn axn ”-45Xn將f (x) = x5 -a, f '(x) =5x4代入切線法迭代公式得:(4xn *), n = 0,1，。5Xn計算方法練習題二答案、填空題1.10, 2.r(G) ：13. xn 1XnXn 丄 a-(n =1,2,),Xn -xnl4. 1.2,5.f(Xn n,yn 加6.|b| ；(a) |a | ；(b),7.731808. 土 ,9.嚴格對角占優rkk10./ (k 七) Xi(k)I Xi二、單選題1. C2. B6. A7. B3.8.4.9.三、計算題兀2血+31. sin 一510:0.582820.

16、582 10。24002.(x, y)=(x y4)2 (x 2 2 y - 3)(2x - y -6),由:X歩P=0, 06x -2y =192x _3y =5，解得:474"荷。復化梯形公式計算得：f-d 拓 1丄+6 +1茫 0.4067。0 2 x 6 27833.由丄乞1 10,解得n -3,取n=3,48n22124.衛3-121 0 -110'.0回代得:= (1,1,1J5.因為a33二 an20乜220運J2兀-41022| 0血220遼20101所以"3,x1珂子,0,子)丁2 =3,X2 =(0,1,0)T“3,x3十丄0,列2 22xH(x

17、) =(12(x-1)(x-2)2 (-1) (x-2)(x-1)2 2 = x2R(x)4&一1)2&一2)2,(1：2)4!7.設gi (x)二 a° p (x) ai pi(x)，則 a。=2 ：x3dx=0,| ：x4dx所以 g1*(x) =3x。52&設求積公式對 f (x) =1,x,x精確得:A +B =11 231= Bx1 =，解得：x1= ,B=,A = 。2 344Bx； =1.3所以求積公式為：f (x)dx ：丄f (0) 3 f(-),七4433 1 2再設f(x) =x，則左=右。此公式具有 3次代數精度。4 99 .因為 f(0) =20, f(0.5) = -0.375 ：0, 故 x 0,0.5，在0，0.5上，mi = min f "(x) =4.25, M 2 = max f "(x) = 3,KR <M22|0.5諾：1應用雙點弦法迭代公式:Xn 1 - Xn(xn -Xnd)(Xn -5焉 +2)(xn - 5xn 2) -(xn5xn2),n = 1,2,.計算得:x2 ： 0.42110. yn 1 = O.IXn 0.9 yn, n =0,1，由 y0 =1，計算得： = 09 y2