1、小學(xué)數(shù)學(xué)趣題集【一】雞兔同籠：大約在1500年前，孫子算經(jīng)中記載：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？意思是：有若干只雞和兔同在一個籠子里，數(shù)頭有35個；數(shù)腳有94只。求籠中有雞和兔各多少只？     假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨角雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”。這樣，（1）雞和兔的腳的總數(shù)就由94只變成94÷2=47只；（2）如果籠子里有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多1。因此，腳的總只數(shù)47與總頭數(shù)35的差，就是兔子的只數(shù)，即473512（只）。顯然，雞的只數(shù)是351223（只）。&

2、#160;   【“砍足法”令古今中外數(shù)學(xué)家贊嘆不已，這種思維方法叫化歸法。化歸法就是在解決問題時，先不對問題采取直接的分析，而是將題中的條件或問題進(jìn)行變形，使之轉(zhuǎn)化，最終把它歸成某個已經(jīng)解決的問題。】     用“假設(shè)法”：假設(shè)全部是雞，頭有35個，則腳有35×2=70只，相差94-70=24只，是兔多出的腳，每只兔多2只腳，兔有24÷2=12只，雞有351223（只）。     用“方程”來解：解設(shè)兔頭X只，則雞有35-X只，列式為4X+（3

3、5-X）×2=94，X=12，雞有351223（只）。      【二】牛頓問題：英國科學(xué)家牛頓，曾經(jīng)寫過一本數(shù)學(xué)書。書中有一道有名的、關(guān)于牛在牧場上吃草的題目，人們把它稱為“牛頓問題”：“有一牧場，已知養(yǎng)牛27頭，6天把草吃盡；養(yǎng)牛23頭，9天把草吃盡。如果養(yǎng)牛21頭，幾天能把牧場上的草吃盡？（并且牧場上的草是不斷生長的）”     一般解法是：把一頭牛一天所吃的牧草看作1。    （1）27頭牛6天所吃的牧草為：27×61

4、62 （這162包括牧場原有的草和6天新長的草。）    （2）23頭牛9天所吃的牧草為：23×9207 （這207包括牧場原有的草和9天新長的草。）    （3）1天新長的草為：（207162）÷（96）15    （4）牧場上原有的草為：27×615×672    （5）每天新長的草足夠15頭牛吃，21頭牛減去15頭，剩下6頭吃原牧場的草：72÷（2115）72&

5、#247;612（天） 所以養(yǎng)21頭牛，12天才能把牧場上的草吃盡。     【練一練】有一牧場，如果養(yǎng)25只羊，8天可以把草吃盡；養(yǎng)21只羊，12天把草吃盡。如果養(yǎng)15只羊，幾天能把牧場上不斷生長的草吃盡？     【三】鬼谷算：我國漢代有位大將叫韓信，他每次集合部隊，只要求部下先后按l3、15、17報數(shù)，然后再報告一下各隊每次報數(shù)的余數(shù)，他就知道到了多少人。他的這種巧妙算法，人們稱為鬼谷算，也叫隔墻算，或稱為韓信點兵，外國人還稱它為“中國剩余定理”。到了明代，數(shù)學(xué)家程大位用詩歌概括

6、了這一算法，他寫道：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓月正半，除百零五便得知。” 這首詩的意思是：用3除所得的余數(shù)乘上70，加上用5除所得余數(shù)乘以21，再加上用7除所得的余數(shù)乘上15，結(jié)果大于105就減去105的倍數(shù)，這樣就知道所求的數(shù)了。比如，一籃雞蛋，三個三個地數(shù)余1，五個五個地數(shù)余2，七個七個地數(shù)余3，籃子里有雞蛋一定是52個。算式是：1×702×213×15157，15710552（個）     【練一練】四皓小學(xué)訂中國少年報若干張，如果三張三張地數(shù)，余數(shù)為1張；五張五張地數(shù)，余數(shù)為2張；

7、七張七張地數(shù)，余數(shù)為2張。四皓小學(xué)訂中國少年報多少張？     【四】電燈泡問題：“過道里依次掛著標(biāo)號是1，2，3, 100的電燈泡，開始它們都是滅的。當(dāng)?shù)谝粋€人走過時，他將標(biāo)號為1的倍數(shù)的燈泡的開關(guān)拉一下；當(dāng)?shù)诙€人走過時，他將標(biāo)號為2的倍數(shù)的燈泡的開關(guān)拉一下；當(dāng)?shù)谌齻€人走過時，他將標(biāo)號為3的倍數(shù)的電燈泡的開關(guān)拉一下；如此進(jìn)行下去，當(dāng)?shù)谝话賯€人走過時，他將標(biāo)號為100 的倍數(shù)的燈泡的開關(guān)拉一下。問：當(dāng)?shù)谝话賯€人走過后，過道里亮著的電燈泡標(biāo)號是多少？”      此

8、題實質(zhì)是找每個燈泡的因數(shù)個數(shù)。第一個燈泡只有因數(shù)1，燈亮；第二個燈泡有兩個因數(shù)1、2，等滅；由此可以看出因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，燈亮；因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，燈滅。故當(dāng)?shù)谝话賯€人走過后，過道里亮著的電燈泡標(biāo)號是1、4、9、16、25、36、49、64、81、100.      【五】巧求六位數(shù)：“六位數(shù)4321能被4321整除，這個六位數(shù)是多少？”     采用“假設(shè)計算排錯驗證”的方法。     假設(shè)六位數(shù)為943219，那么943219&#

9、247;43212181241，由于余數(shù)大于9，所以不合題意。     假設(shè)六位數(shù)為843219，則有843219÷432119564，余數(shù)大于9，也不合題意。     假設(shè)六位數(shù)為743219，則743219÷43211727，余數(shù)小于9，可見符合條件的六位數(shù)為7432197743212。     當(dāng)六位數(shù)的首位數(shù)分別為6、5、4、3、2、l時，經(jīng)計算均不合題意。綜上分析，要求的六位數(shù)為743212。  

10、   【練一練】：四位數(shù)89能被89整除，這個四位是多少？答案：（4895）     【六】時鐘問題：“鐘面上有時針與分針，每針轉(zhuǎn)動的速度是確定的。” 分針每分鐘旋轉(zhuǎn)的速度：360°÷606°，時針每分鐘旋轉(zhuǎn)的速度：360°÷(12×60)05°，在鐘面上要么是分針追趕時針，要么是分針超越時針。這里的轉(zhuǎn)動角度用度數(shù)來表示，相當(dāng)于行走的路程。因此鐘面上兩針的運動相當(dāng)于典型的追及問題。    

11、0;例1：鐘面上3時多少分時，分針與時針恰好重合？     整3時，分針在12的位置上，時針在3的位置上，兩針相隔90°。當(dāng)兩針第一次重合，就是3時過多少分。在整3時到兩針重合的這段時間內(nèi)，分針要比時針多行走360÷12×3=90°，每分鐘分針比時針多走60555(度)，所用時間為90÷551636(分)。     例2：在鐘面上5時多少分時，分針與時針在一條直線上，而指向相反？     在整5時

12、，時針與分針相隔360÷12×5=150°，然后分針先是追上時針，分針需比時針多行走150°，然后超越時針180°，共150 180=330°，分針每分鐘旋轉(zhuǎn)的速度：360°÷606°，時針每分鐘旋轉(zhuǎn)的速度：360°÷(12×60)05°，(150 180)÷(6 05) 60(分) 5時60分即6時正。      例3：鐘面上12時30分時，時針

13、在分針后面多少度？      整12時，分針與時針重合，相當(dāng)于在同一起跑線上。到12時30分鐘，分針走180°到達(dá)6時的位置上，而時針在30分鐘內(nèi)也在行走。實際上兩針相隔的度數(shù)是在30分鐘內(nèi)分針超越時針的度數(shù)：(605)×30=55×3=165(度)     例4：鐘面上6時到7時之間兩針相隔90°時，是幾時幾分？     從6時整作為起點，此時兩針成180°。當(dāng)分針在時針后面90

14、76;時或分針超越時針90°時，就是所求的時刻。 (18090)÷(605) 90 ÷55 16.36(分鐘)(180 90)÷(6 05) 270÷5.5 4909(分鐘）     此題還可采用分率方法來解決    【七】最優(yōu)化問題：既要在盡可能節(jié)省人力、物力和時間前提下，爭取獲得在可能范圍內(nèi)的最佳效果，因此，最優(yōu)化問題涉及統(tǒng)籌、線性規(guī)劃排序不等式等內(nèi)容。 

15、0;   例1:貨輪上卸下若干只箱子，總重量為10噸，每只箱子的重量不超過1噸，為了保證能把這些箱子一次運走，問至少需要多少輛載重3噸的汽車？    【分析】因為每一只箱子的重量不超過1噸，所以每一輛汽車可運走的箱子重量不會少于2噸，否則可以再放一只箱子。所以，5輛汽車本是足夠的，但是4輛汽車并不一定能把箱子全部運走。例如，設(shè)有13只箱子，所以每輛汽車只能運走3只箱子，13只箱子用4輛汽車一次運不走。因此，為了保證能一次把箱子全部運走，至少需要5輛汽車。     例2:

16、60;用10尺長的竹竿來截取3尺、4尺長的甲、乙兩種短竹竿各100根，至少要用去原材料幾根？怎樣截法最合算？    【分析】 一個10尺長的竹竿應(yīng)有三種截法：（1）3尺兩根和4尺一根，最省； （2）3尺三根，余一尺；（3）4尺兩根，余2尺。為了省材料，盡量使用方法（1），這樣50根原材料，可截得100根3尺的竹竿和50根4尺的竹竿，還差50根4尺的，最好選擇方法（3），這樣所需原材料最少，只需25根即可，這樣，至少需用去原材料75根。     例3: 一個銳角三角形的三條邊的

17、長度分別是兩位數(shù)，而且是三個連續(xù)偶數(shù)，它們個位數(shù)字的和是7的倍數(shù)，這個三角形的周長最長是多少厘米？    【分析】三角形三邊是三個連續(xù)偶數(shù)，所以它們的個位數(shù)字只能是0，2，4，6，8，且它們的和也是偶數(shù)，又它們的個位數(shù)字的和是7的倍數(shù)，只能是14，三角形三條邊最大可能是86，88，90，周長最長為86+88+90=264厘米。     例4: 把25拆成若干個正整數(shù)的和，使它們的積最大。     【分析】先從較小數(shù)形開始實驗，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律：

18、0;    把6拆成3+3，其積為3×3=9最大；     把7拆成3+2+2，其積為3×2×2=12最大；     把8拆成3+3+2，其積為3×3×2=18最大；     把9拆成3+3+3，其積為3×3×3=27最大；     這就是說，要想分拆后的數(shù)的乘積最大，應(yīng)盡可能多的出現(xiàn)3，

19、而當(dāng)某一自然數(shù)可表示為若干個3與1的和時，要取出一個3與1重合在一起再分拆成兩個2之和，因此25可以拆成3+3+3+3+3+3+3+2+2，其積37×22=8748為最大。     例5: A、B兩人要到沙漠中探險，他們每天向沙漠深處走20千米，已知每人最多可攜帶一個人24天的食物和水，如果不準(zhǔn)將部分食物存放于途中，問其中一個人最遠(yuǎn)可以深入沙漠多少千米（要求最后兩人返回出發(fā)點）？如果可以將部分食物存放于途中以備返回時取用呢？    【分析】設(shè)A走X天后返回，A留下自己返回時所需的食物，

20、剩下的轉(zhuǎn)給B，此時B共有（48-3X）天的食物，因為B最多攜帶24天的食物，所以X=8，剩下的24天食物，B只能再向前走8天，留下16天的食物供返回時用，所以B可以向沙漠深處走16天，因為每天走20千米，所以其中一人最多可以深入沙漠320千米。     如果改變條件，則問題關(guān)鍵為A返回時留給B24天的食物，由于24天的食物可以使B單獨深入沙漠12天的路程，而另外24天的食物要供A、B兩人往返一段路，這段路為24÷4=6天的路程，所以B可以深入沙漠18天的路程，也就是說，其中一個人最遠(yuǎn)可以深入沙漠360千米。  &#

21、160;  例6、今有圍棋子1400顆，甲、乙兩人做取圍棋子的游戲，甲先取，乙后取，兩人輪流各取一次，規(guī)定每次只能取7P（P為1或不超過20的任一質(zhì)數(shù)）顆棋子，誰最后取完為勝者，問甲、乙兩人誰有必勝的策略？     【想】因為1400=7×200，所以原題可以轉(zhuǎn)化為：有圍棋子200顆，甲、乙兩人輪流每次取P顆，誰最后取完誰獲勝。乙有必勝的策略。由于200=4×50，P或者是2或者可以表示為4k+1或4k+3的形式（k為零或正整數(shù)）。乙采取的策略為：若甲取2，4k+1，4k+3顆，則乙取2，3，1顆，使得余

22、下的棋子仍是4的倍數(shù)。如此最后出現(xiàn)剩下數(shù)為不超過20的4的倍數(shù)，此時甲總不能取完，而乙可全部取完而獲勝。    說明 （1）此題中，乙是“后發(fā)制人”，故先取者不一定存在必勝的策略，關(guān)鍵是看他們所面臨的“情形”（2）我們可以這樣來分析這個問題的解法，將所有的情形-剩余棋子的顆數(shù)分成兩類，第一類是4的倍數(shù)，第二類是其它。若某人在取棋時遇到的是第二類情形，那么他可以取1或2或3，使得剩下的是第一類情形，若取棋時面臨第一類情形，則取棋后留給另一個人的一定是第二類情形。所以，誰先面臨第二類情形誰就能獲勝，在絕大部分雙人比賽問題中，都可采用這種方法。

23、60;    例7、有一個80人的旅游團，其中男50人，女30人，他們住的旅館有11人、7人和5人的三種房間，男、女分別住不同的房間，他們至少要住多少個房間？     分析 為了使得所住房間數(shù)最少，安排時應(yīng)盡量先安排11人房間，這樣50人男的應(yīng)安排3個11人間，2個5人間和1個7人間；30個女人應(yīng)安排1個11人間，2個7人間和1個5人間，共有10個房間。     練習(xí)     1、十個自然數(shù)之和等

24、于1001，則這十個自然數(shù)的最大公約數(shù)可能取的最大值是多少？（不包括0）     2、在兩條直角邊的和一定的情況下，何種直角三角形面積最大，若兩直角邊的和為8，則三角形的最大面積為多少？     3、5個人各拿一個水桶在自來水龍頭前等候打水，他們打水所需要的時間分別是1分鐘、2分鐘、3分鐘、4分鐘和5分鐘，如果只有一個水龍頭適當(dāng)安排他們的打水順序，就能夠使每個人排隊和打水時間的總和最小，那么這個最小值是多少分鐘？     4、某水池可以用甲、乙兩

25、水管注水，單放甲管需12小時注滿，單放乙管需24小時注滿。若要求10小時注滿水池，并且甲、乙兩管合放的時間盡可能地少，則甲乙兩管全放最少需要多少小時？     5、有1995名少先隊員分散在一條公路上值勤宣傳交通法規(guī)，問完成任務(wù)后應(yīng)該在該公路的什么地點集合，可以使他們從各自的宣傳崗位沿公路走到集合地點的路程總和最小？     6、甲、乙兩人輪流在黑板上寫下不超過10的自然數(shù)，規(guī)則是禁止寫黑板上已寫過的數(shù)的約數(shù)，不能完成下一步的為失敗者。問：是先寫者還是后寫者必勝？如何取勝？  

26、;   習(xí)題參考答案及思路分析     1、1001=7×11×13，可以7×13為公約數(shù),這樣這十個正整數(shù)可以是 ,91×2，它們的最大公約數(shù)為91。     2、對于直角三角形而言，在直角邊的和一定的情況下，等腰直角三角形的面積最大。若兩直角邊的和為8，則三角形的最大面積為 ×4×4=8。     3、為了使每個人排隊和打水時間的總和

27、最小，有兩種方法：（1）排隊的人盡量少；（2）每次排隊的時間盡量少。因此應(yīng)先讓打水快的人打水，才能保證開始排隊人多的時候，每個人等待的時間要少，故共需5×1+4×2+3×3+2×4+5=35（分鐘）。     4、由于甲、乙單獨開放都不可能在10小時注滿水池，因此必須有時間甲、乙全放。為了使它們合放的時間最少，應(yīng)盡量開放甲管（速度快），這樣甲開10小時注滿水池的，余下 只能由乙注滿，需。因此甲乙兩管全放最少需要4小時。     5、此問題我們可以

28、從最簡單問題入手，尋找規(guī)律，從而解決復(fù)雜問題，最后集合地點應(yīng)在中間地點。     6、先寫者存在獲勝的策略。甲第一步寫6，乙僅可寫4，5，7，8，9，10中的一個，把它們分成數(shù)對（4，5），（8，10），（7，9）。如果乙寫數(shù)對中的某個數(shù)，甲就寫數(shù)對中的另一個數(shù)，則甲必勝。     【八】利潤與折扣：工廠和商店有時減價出售商品，通常稱為“打折扣”出售，幾折就是百分之幾十。一般情況下，商品從廠家購進(jìn)的價格稱為本價，商家在成本價的基礎(chǔ)上提高價格出售，所賺的錢稱為利潤，利潤與成本的百分比稱之為利潤率。

29、期望利潤=成本價×期望利潤率。    例1、某商店將某種DVD按進(jìn)價提高35%后，打出“九折優(yōu)惠酬賓，外送50元出租車費”的廣告，結(jié)果每臺仍舊獲利208元，那么每臺DVD的進(jìn)價是多少元？     定價是進(jìn)價的1+35%=135%，打九折后，實際售價是進(jìn)價的135%×90%=121.5%，每臺DVD的實際盈利：208+50=258（元），每臺DVD的進(jìn)價258÷（121.5%-1）=1200（元）     例2：一種服裝，甲店比

30、乙店的進(jìn)貨便宜10%，甲店按20%的利潤定價，乙店按15%的利潤定價，甲店比乙店的出廠價便宜11.2元，甲店的進(jìn)貨價是多少元？     設(shè)乙店的成本價為1，乙店的定價是（1+15%），甲店的定價（1-10%）×（1+20%），甲店比乙店的出廠價便宜   11.2元的對應(yīng)分率是（1+15%）-（1-10%）×（1+20%）=7%，11.2÷7%=160（元）160×（1-10%）=144（元）     例3、原來將一批水果按10

31、0%的利潤定價出售，由于價格過高，無人購買，不得不按38%的利潤重新定價，這樣出售了其中的40%，此時因害怕剩余水果會變質(zhì)，不得不再次降價，售出了全部水果。結(jié)果實際獲得的總利潤是原來利潤的30.2%，那么第二次降價后的價格是原來定價的百分之幾？     要求第二次降價后的價格是原來定價的百分之幾，則需要求出第二次是按百分之幾的利潤定價。解：設(shè)第二次降價是按x%的利潤定價的。38%×40%x%×（1-40%）=30.2%，X%=25%，（1+25%）÷（1+100%）=62.5%   &

32、#160;   練習(xí)：     1、某商品按每個7元的利潤賣出13個的錢，與按每個11元的利潤賣出12個的錢一樣多。這種商品的進(jìn)貨價是每個多少元？     2、租用倉庫堆放3噸貨物，每月租金7000元。這些貨物原計劃要銷售3個月，由于降低了價格，結(jié)果2個月就銷售完了，由于節(jié)省了租倉庫的租金，所以結(jié)算下來，反而比原計劃多賺了1000元。問：每千克貨物的價格降低了多少元？     3、張先生向商店訂購了每件定價100元的

33、某種商品80件。張先生對商店經(jīng)理說：“如果你肯減價，那么每減價1元，我就多訂購4件。”商店經(jīng)理算了一下，若減價5，則由于張先生多訂購，獲得的利潤反而比原來多100元。問：這種商品的成本是多少元？     4、某商店到蘋果產(chǎn)地去收購蘋果，收購價為每千克1.20元。從產(chǎn)地到商店的距離是400千米，運費為每噸貨物每運1千米收1.50元。如果在運輸及銷售過程中的損耗是10，商店要想實現(xiàn)25的利潤率，零售價應(yīng)是每千克多少元？     5、小明到商店買了相同數(shù)量的紅球和白球，紅球原價2元3個，白球原價3元5個。新年優(yōu)惠，兩種球都按1元2個賣，結(jié)