1、加乘原理之數字問題（一）教學目標1 .復習乘法原理和加法原理；2 .培養學生綜合運用加法原理和乘法原理的能力.3 .讓學生懂得并運用加法、乘法原理來解決問題，掌握常見的計數方法，會使用這些方法解決問題.在分類討論中結合分步分析，在分步分析中結合分類討論；教師應該明確并強調哪些是分類，哪些是分 步.并了解與加、乘原理相關的常見題型：數論類問題、染色問題、圖形組合.知識要點一、加乘原理概念生活中常有這樣的情況：在做一件事時，有幾類不同的方法，在具體做的時候，只要采用其中某一類中 的一種方法就可以完成，并且這幾類方法是互不影響的.那么考慮完成這件事所有可能的做法，就要用到加 法原理來解決.還有這樣的

2、一種情況：就是在做一件事時，要分幾步才能完成，而在完成每一步時，又有幾種不同的方 法.要知道完成這件事情共有多少種方法，就要用到乘法原理來解決.二、加乘原理應用應用加法原理和乘法原理時要注意下面幾點：加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務，所以完成任務的 不同方法數等于各類方法數之和.乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務的不同方法數等于各步方法數的乘 積.在很多題目中，加法原理和乘法原理都不是單獨出現的，這就需要我們能夠熟練的運用好這兩大原理,綜合分析，正確作出分類和分步.加法原理運用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方

3、法都能完成任務，這樣的問題可以使用加法原理解決.我們可以簡記為：加法分類，類類獨立乘法原理運用的范圍：這件事要分幾個彼此互不影響.的獨立步驟 來完成，這幾步是完成這件任務缺一不 可的，這樣的問題可以使用乘法原理解決.我們可以簡記為：乘法分步，步步相關例題精講例1由數字1, 2, 3可以組成多少個沒有重復數字的數？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】2星【題型】解答【解析】因為有1, 2, 3共3個數字，因此組成的數有 3類：組成一位數；組成二位數；組成三位數.它們 的和就是問題所求.組成一位數：有3個；組成二位數：由于數字可以重復使用，組成二位數分兩步完成；第一步排十位數，有3種方法;第二步排個

4、位數也有 3種方法，因此由乘法原理，有 3M2 =6個；組成三位數：與組成二位數道理相同，有3父2=6個三位數；所以，根據加法原理，一共可組成3+6+6 =15個數.【答案】15【例2】 用數字1, 2, 3可以組成6個沒有重復數字的三位數，這 6個數的和是 。【考點】加乘原理之綜合運用【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】（1+2+3） X2 X111=1332.【答案】1332【鞏固】 由數字0, 3, 6組成的所有三位數的和是 。【考點】加乘原理之綜合運用【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，四年級，二試，第 6題【解析】由數字0, 3, 6組成的所有三位

5、數有 306, 360, 603, 630,它們的和為:306 +360 +603 +630 =1899。【答案】1899 例3由數字0, 1, 3, 9可以組成多少個無重復數字的自然數？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】2星【題型】解答【解析】 滿足條件的數可以分為 4類：一位、二位、三位、四位數.第一類，組成0和一位數，有4個（0不是一位數，最小的一位數是1）;第二類，組成二位數，有 3 3 =9個；第三類，組成三位數，有 3父3父2=18個；第四類，組成四位數，有 3 3 2 1 =18個.由加法原理，一共可以組成 4+9+18+18 =49個數.【答案】49【例4用數字0, 1, 2,

6、 3, 4可以組成多少個小于 1000的自然數？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】小于1000的自然數有三類.第一類是 0和一位數，有5個；第二類是兩位數，有 4M5 = 20個；第三 類是三位數，有 4父5黑5=100個，共有5+20 + 100=125個.【答案】125 【例5用數碼0, 1, 2, 3, 4,可以組成多少個小于 1000的沒有重復數字的自然數？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】 分為三類，一位數時，0和一位數共有5個；二位數時，為4M4=16個，三位數時，為：4M4M3=48 個，由加法原理，一共可以組成5+16+48=69

7、個小于1000的沒有重復數字的自然數.【答案】69 例6用09這十個數字可組成多少個無重復數字的四位數.【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】無重復數字的四位數的千位、百位、十位、個位的限制條件：千位上不能排0,或說千位上只能排19這九個數字中的一個.而且其他位置上數碼都不相同，下面分別介紹三種解法.（方法一）分兩步完成：第一步：從19這九個數中任選一個占據千位，有9種方法；第二步：從余下的 9個數（包括數字 0）中任選3個占據百位、十位、個位，百位有 9種.十位有8 種，個位有7種方法；由乘法原理，共有滿足條件的四位數9 >9 X8 X7=4536個.（方法二）組成

8、的四位數分為兩類：第一類：不含 0的四位數有9X8X7>6=3024個；第二類：含0的四位數的組成分為兩步： 第一步讓0占一個位有3種占法，（讓0占位只能在百、十、 個位上，所以有3種）第二步讓其余9個數占位有9X8X7種占法.所以含0的四位數有3X9X8X7=1512 個.由加法原理，共有滿足條件的四位數 3024+1512=4536個.【答案】4536【鞏固】 用0, 1, 2, 3四個數碼可以組成多少個沒有重復數字的四位偶數？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】 分為兩類：個位數字為 0的有3M2=6個，個位數字為 2的有2M2=4個，由加法原理，一共有:6

9、+4 =10個沒有重復數字的四位偶數.【答案】10 【例7】 在2000到2999這1000個自然數中，有多少個千位、百位、十位、個位數字中恰有兩個相同的數？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】若相同的數是2,則另一個2可以出現在個、十、百位中的任一個位置上，剩下的兩個位置分別有9個和8個數可選，有 3X9X8=216 （個）；若相同的數是1,有3X8 = 24 （個）；同理，相同的數是 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9時，各有24個，所以，符合題意的數共有216+9X24=432 （個）.【答案】432例8 在1000至1999這些自然數中個位數大于百位數的

10、有多少個？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】（方法一）解決計數問題常用分類討論的方法.設在1000至1999這些自然數中滿足條件的數為1abc（其中c>a）； （1）當a=0時，c可取19中的任一個數字，b可取09中的任一個數字，于是一 共有9x10=90個.（2）當a=1時，c可取29中的任一個數字，b仍可取09中的任一個數字， 于是一共有8M10=80個.（3）類似地，當a依次取2, 3, 4, 5, 6, 7, 8時分別有70, 60, 50, 40, 30, 20, 10個符合條件的自然數.所以，符合條件的自然數有90+80 + 70 + |+20 + 1

11、0 = 450個.（方法二）1000至1999這1000個自然數中，每10個中有一個個位數等于百位數，共有 100個；剩余 的數中，根據對稱性，個位數大于百位數的和百位數大于個位數的一樣多，所以總數為 （1000 - 100）- 2 450.【答案】450【例9】 某人忘記了自己的密碼數字，只記得是由四個非0數碼組成，且四個數碼之和是9.為確保打開保險柜至少要試多少次？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】四個非0數碼之和等于9的組合有1, 1, 1,6;1, 1,2,5;1, 1,3,4;1, 2,2,4;1, 2, 3,3; 2, 2, 2, 3 六種.第一種中，只要考

12、慮 6的位置即可，6可以隨意選擇四個位置，其余位置方1,共有4種選擇.第二種中，先考慮放 2,有4種選擇，再考慮5的位置，有3種選擇，剩下的位置放 1 ,共有4X3=12 種選擇，同理，第三、第四、第五種都有12種選擇，最后一種與第一種相似，3的位置有四種選擇，其余位置放2,共有4種選擇.由加法原理，一共可以組成 4+12+12+12+12+4=56個不同的四位數， 即為確保打開保險柜至少要試56次.【答案】56【例10將1到35這35個自然數連續地寫在一起，夠成了一個大數：1234567891011333435 ,則這個大數的位數是。【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】填空【關鍵詞

13、】希望杯，4年級，1試【解析】 這個數的位數與數碼的總共個數有關系，從1到9都是一位數，則共有 9個數碼，從10到35全市兩位數，則共有 26M2 =52 （個）數碼，那么位數就共有 9+52=61 （位）。【答案】61【例11】如圖，希望杯數學能力培訓教程（四年級）一書有 160頁，在它的頁碼中，數字“2共出現了 次。【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】 十位上是2的有20個（含有22和122）,個位上是2的有14個（除了 22和122）,所以共有34個【答案】34個【例12按照中國籃球職業聯賽組委會的規定，各隊隊員的號碼可以選擇的范圍是0

14、55號，但選擇兩位數的號碼時，每位數字均不能超過5.那么，可供每支球隊選擇的號碼共()個.(A) 34(B) 35(C) 40(D) 56【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】選擇【關鍵詞】華杯賽，初賽，第 3題【解析】 根據題意，可供選擇的號碼可以分為一位數和兩位數兩大類，其中一位數可以為 09,有10種選擇;兩位數的十位可以為 15,個位可以為05,根據乘法原理，兩位數號碼有54=30種選擇。所以可供選擇的號碼共有 10+30=40種。【答案】C種【例13】從1到100的所有自然數中，不含有數字4的自然數有多少個？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】 從1到1

15、00的所有自然數可分為三大類，即一位數，兩位數，三位數.一位數中，不含 4的有8個，它們是1、2、3、5、6、7、8、9;兩位數中，不含 4的可以這樣考慮：十位上，不含 4的有1、2、3、5、6、7、8、9這八種情況.個 位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個兩位數，可以先取十位數， 再取個位數，應用乘法原理，這時共有8父9 =72個數不含4.三位數只有100.所以一共有8+8x9+1=81個不含4的自然數.【答案】81【鞏固】 從1到500的所有自然數中，不含有數字 4的自然數有多少個？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】 從1到500

16、的所有自然數可分為三大類，即一位數，兩位數，三位數.一位數中，不含 4的有8個，它們是1、2、3、5、6、7、8、9;兩位數中，不含 4的可以這樣考慮：十位上，不含 4的有1、2、3、5、6、7、8、9這八種情況.個位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個兩位數，可以先取十位數，再取個位數，應用乘法原理，這時共有8X9=72個數不含4.三位數中，小于500并且不含數字4的可以這樣考慮：百位上，不含4的有1、2、3、這三種情況.十 位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，個位上，不含4的也有九種情況.要確定一個三位數，可以先取百位數，再取十位

17、數，最后取個位數，應用乘法原理，這時共有3M9 M9 =24訃三位數.由于 500也是一個不含 4的三位數.所以，1500中，不含4的三位數共 有 3 M9 M9 +1 =244 個.所以一共有8+8父9+3父9父9+1 =324個不含4的自然數.【答案】324【鞏固】 從1到300的所有自然數中，不含有數字 2的自然數有多少個？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】 從1到300的所有自然數可分為三大類，即一位數，兩位數，三位數.一位數中，不含 2的有8個，它們是1、3、4、5、6、7、8、9;兩位數中，不含 2的可以這樣考慮：十位上，不含 2的有1、3、4、5、6、7、

18、8、9這八種情況.個 位上，不含2的有0、1、3、4、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個兩位數，可以先取十位數， 再取個位數，應用乘法原理，這時共有8 M9 =72個數不含2;三位數中，除去 300外，百位數只有1 一種取法，十位與個位均有0, 1,3,4,5, 6,7,8,9九種取法，根據乘法原理，不含數字2的三位數有：1父9父9=81個，還要加上300;根據加法原理，從 1到300的所有自然數中，不含有數字 2的自然數一共有8 + 72 + 82=162個.【答案】162【例14】將各位數字的和是10的不同的三位數按從大到小的順序排列，第 10個數是。【考點】加法原理之分類枚舉【難度

19、】3星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】百位是9的有2個，百位是8的有3個，百位是7的有4個，這一共是9個，接下來應該是百位是6的，其中最大的是 640,所以第10個數是640。【答案】640【例15】把所有不含重復數字的四位偶數從小到大排成一列，則從前往后數第364個數是多少？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，5年級，第9【解析】1打頭的數中，個位有5種取法，剩下的兩位分別有 8種取法和7種取法，總共有5m 8父7 = 280個數。 364-280=84,所以第364個數是2打頭的第84個數。2打頭的數中，百位是奇數時，個位有 4種取 法，

20、十位有7種取法，總共有28個數；百位是偶數時，個位有3種取法，十位有7種取法，總共有21個數。前兩位是 20, 21, 23, 24的分別有 21, 28, 28, 21個，84-21-28-28=7 ,所以2打頭的第 84個數是24打頭的第7個數。列舉可得前 7個數是2406, 2408, 2410, 2416, 2418, 2430, 2436, 所以是2436。【答案】2436【例16】由數字1, 2, 3, 4組成的所有四位數中（數字不重復使用），從小到大排列，第 7個數是【考點】加乘原理之綜合運用【難度】4星【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，3年級，第2題【解析】1開頭的數有6個，所以

21、第7個數應該是2開頭的最小的數，那么應該是 2134【答案】2134【鞏固】 由1, 2, 3, 4, 5五個數字組成的不同的五位數有120個，將他們從大到小排列起來，第 95個數【考點】加乘原理之綜合運用【難度】4星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，4年級,1試【解析】1打頭的有24個，2打頭24個，3打頭24個，4打頭24個，正好96個，第96個數是45321,第 95 個是 45312。【答案】45312【例17】由數字0、2、8 （既可全用也可不全用）組成的非零自然數，按照從小到大排列，2008排在第個.【考點】加乘原理之綜合運用【難度】4星【題型】解答【關鍵詞】第二屆，華杯賽【解析】 比

22、2008小的4位數有2000和2002,比2008小的3位數有2M3M3=18 （種），比2008小的2位數有2 M3 =6 （種），比2008小的1位數有2 （種），所以2008排在第2+18 + 6+2+1 = 29 （個）.【答案】29【例18從分別寫有2、4、6、8的四張卡片中任取兩張，做兩個一位數乘法.如果其中的6可以看成9,那么共有多少種不同的乘積？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】 取2有8、12、16、18四種，取4增加24、32、36三種，取6增力口 48、72兩種，一共有 9種【答案】9種【鞏固】 有七張卡片：1、1、國、回、回、回、回，從中任取3張可排列成三位數。若其中卡片回旋轉后可看作回，則排成的偶數有 個。【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，五年級，一試，第 19題【解析】當個位