1、第2課時不等式及其性質學 習 目 標核 心 素 養1.掌握不等式的性質(重點)2.能利用不等式的性質進行數或式的大小比較或不等式的證明(難點)3.通過類比等式與不等式的性質，探索兩者之間的共性與差異1.通過不等式性質的判斷與證明，培養邏輯推理能力2.借助不等式性質求范圍問題，提升數學運算素養糖水跟煲湯一樣，具有滋補養生的功效可以作為糖水的材料有很多，不同的材料具有不同的功效，有的具于清涼性，有的具有燥熱性根據不同的主料來配搭不同輔料，可以達到相輔相成的效果專家稱，喝糖水可緩解煩躁失眠，在煩躁而不容易入眠時，喝糖水可使體內產生大量血清素，亦可助眠問題(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了，為什么

2、？(2)把原來的糖水(淡)與加糖后的糖水(濃)混合到一起，你能得出什么不等關系？如何證明？性質1(可加性)：abacbc性質2(可乘性)：acbc性質3：acbc性質4(傳遞法)：ab，bcac推論1(移項法則)：abcacb推論2(同向可加性)：acbd推論3(同向同正可乘性)：acbd推論4(正數乘方性)：ab0anbn(nn，n1).推論5(正數開方性)：ab0拓展(1)性質1說明不等式兩邊都加上同一個實數，所得的不等式與原不等式同向性質1是不等式移項法則的基礎，不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊(2)性質2，3證明過程中的關鍵步驟是根據“同號相乘得正，異號相乘得負”的

3、法則來完成的一定要注意性質2，3中c的符號，因為c的符號不同，結論恰好相反性質2，3中的a，b可以是實數，也可以是式子(3)推論2中，同向不等式可相加，但不能相減，即由ab，cd，可以得出acbd，但不能得出acbd.(4)不等式的性質中，對表達不等式性質的各不等式，要注意“箭頭”是單向的還是雙向的，即符號“”表示等價關系，可以互相推出，而符號“”只能從左邊推向右邊，該性質不具備可逆性尤其在證明不等式時，要注意是否可逆1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)如果ab，c0，那么acbc.()(2)如果ab0，那么a2b2.()(3)如果0，那么|a|b|.()答案(1)(2)

4、(3)×2與a>b等價的不等式是()a|a|>|b|ba2>b2c>1 da3>b3d可利用賦值法令a5，b0，則a，b正確而不滿足a>b，再令a3，b1，則c正確而不滿足a>b，故選d.3設x<a<0，則下列不等式一定成立的是()ax2<ax<a2 bx2>ax>a2cx2<a2<ax dx2>a2>axbx<a<0，x2>a2.x2axx(xa)>0，x2>ax.又axa2a(xa)>0，ax>a2.x2>ax>a2.故選b.

5、4(教材p63練習b改編)若ab0，則下列不等式中不成立的是()aa2b2 bc da5b5a2b3a3b2b由于ab0，則|a|b|，即a2b2，故a成立；當a2，b1時，1，故b不成立；由ab0，兩邊同時除以ab可得，故c成立；a5b5(a2b3a3b2)a2(a3b3)b2(a3b3)(a2b2)(a3b3)(ab)2(ab)(a2abb2)0，故d成立故選b.利用不等式性質判斷命題真假【例1】對于實數a，b，c，下列命題中的真命題是()a若ab，則ac2bc2b若ab0，則c若ab0，則d若ab，則a0，b0思路點撥本題可以利用不等式的性質直接判斷命題的真假，也可以采用特殊值法判斷d法

6、一：c20，c0時，有ac2bc2，故a為假命題；由ab0，有ab0，故b為假命題；ab0ab00，故c為假命題；ab0.ab，a0且b0，故d為真命題法二：特殊值排除法取c0，則ac2bc2，故a錯；取a2，b1，則，1.有，故b錯；取a2，b1，則，2，有，故c錯故選d.運用不等式的性質判斷時，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑想當然隨意捏造性質解有關不等式選擇題時，也可采用特殊值法進行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算1下列命題正確的是()a若a2b2，則abb若，則abc若acbc，則abd若，則abda錯，例如(3)222

7、；b錯，例如；c錯，例如當c2，a3，b2時，有acbc，但ab.故選d.利用不等式性質證明簡單不等式探究問題1證明不等式的常用方法有哪些？提示比較法，綜合法，分析法，反證法2綜合法證明不等式的基本思路是什么？提示從已知條件出發，綜合利用各種結果，經逐步推導，最后得出結論【例2】若ab0，cd0，e0，求證：.思路點撥可結合不等式的基本性質，分析所證不等式的結構，有理有據地導出證明結果證明cd0，cd0.又ab0，acbd0.(ac)2(bd)20.兩邊同乘以，得.又e0，.本例條件不變的情況下，求證：.證明cd0，cd0.ab0，acbd0，0.又e0，.利用不等式的性質證明不等式的注意事項

8、(1)利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式解決此類問題一定要在理解的基礎上，記準、記熟不等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用(2)應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件，切不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則不等式性質的應用探究問題1小明同學做題時進行如下變形：2<b<3，<<，又6<a<8，2<<4.你認為正確嗎？為什么？提示不正確因為不等式兩邊同乘以一個正數，不等號的方向不變，但同乘以一個負數，不等號方向改變，在本題中只知道6<a<8，不明確a值的正負，故不能將<<與6&l

9、t;a<8兩邊分別相乘，只有兩邊都是正數的同向不等式才能分別相乘2由6<a<8，4<b<2，兩邊分別相減得2<ab<6，你認為正確嗎？提示不正確因為同向不等式具有可加性，但不能相減，解題時要充分利用條件，運用不等式的性質進行等價變形，而不可隨意“創造”性質3你知道下面的推理、變形錯在哪兒嗎？2<ab<4，4<ba<2.又2<ab<2，0<a<3，3<b<0，3<ab<3.這怎么與2<ab<2矛盾了呢？提示利用幾個不等式的范圍來確定某不等式的范圍要注意：同向不等式兩邊可以

10、相加(相乘)，這種轉化不是等價變形本題中將2<ab<4與2<ab<2兩邊相加得0<a<3，又將4<ba<2與2<ab<2兩邊相加得出3<b<0，又將該式與0<a<3兩邊相加得出3<ab<3，多次使用了這種轉化，導致了ab范圍的擴大【例3】已知1a4，2b8，試求ab與的取值范圍思路點撥依據不等式的性質，找到b與的范圍，進而求出ab與的取值范圍解因為1a4，2b8，所以8b2，所以18ab42，即7ab2.又因為，所以2，即2.求含字母的數(或式子)的取值范圍時，一要注意題設中的條件，二要正確使用不等

11、式的性質，尤其是兩個同方向的不等式可加不可減，可乘不可除2已知，求，的取值范圍解，兩式相加，得.又，又知，0.故0.知識：1在應用不等式性質時，一定要搞清它們成立的前提條件，不可強化或弱化成立的條件2要注意“箭頭”是單向的還是雙向的，也就是說每條性質是否具有可逆性3證明不等式常選用綜合法，對于不方便用綜合法證明的不等式可以靈活選擇分析法與反證法方法：證明不等式常用的方法有：作差(商)比較法、綜合法、分析法、反證法1若ab0，cd0，則一定有()a.bc dd法一：cd0，cd0，0.又ab0，所以，所以.法二：令a3，b2，c3，d2.則1，1，排除選項a，b.又，所以，排除選項c.2如果ab0，cd0，則下列不等式中不正確的是()aadbc bcadbc dacbdc由已知及不等式的性質可得acbd，即adbc，所以a正確；由cd0，得0，又ab0，所以，即b正確；顯然d正確，因此不正確的選項是c.3若11，則下列各式中恒成立