1、1.兩條異面直線所成的角【例1】利用“平移法”求兩條異面直線所成的角（2020 新課標H）直三棱柱 ABC ABG中， BAC 90, M、N分別是 AB1、AC1的中點，且BC = CACC則異面直線BM與AN所成的角的余弦值為A.工 B .2105Ca d .巫102【解析1】（幾何法）取BC中點D ,連接MN、ND ,由于 MN II BC II B1C1且 2MN =BC = B1cl，有 MB / ND ,則 AND 即為異面直線BM與AN所成的角，設 BC 2,且 MB = ND ,則 BMND 厭,AN J5, AD 5因 cos AND222ND2 NA2 AD22ND NA3

2、07c-【解析2】（幾何法）延長MA至D ,使得MA1 AD1，連接AD , ND ,易證 DAN即為異面直線設 BC 2 ,則 BM ADBM與AN所成的角,76 , AN 夙DN2 (V2)2 12 2 72cos1355 ,(.6)2 ( 5)2530勿本cos DAN26510【評注】傳統的幾何法求異面直線所成角一般采用“平移法”，即將一條線段平移后使兩條線段的一個端點重合， 這樣就可化空間角為平面角,這個平面角就是兩條異面直線所成的角【變式2】.注意異面直線所成的角或其補角，再將這個角置于三角形之中，通過解三角形，求出該角的范圍是(0o,90o.【解析3】(向量法)依題意可建立圖示坐

3、標系C xyz ,設BC 2 ,則 A(0,2,0) , B(2,0,0) , N(0,1,2) , M (1,1,2),uuuuuuuAN (0, 1,2), BM ( 1,1,2),uuur uuuu0 ( 1) ( 1) 1 2 2. 30cos AN, BM .:02 ( 1)2 22 ,( 1)2 12 2210【評注】該題條件便于建立恰當直角坐標系的條件，使向量坐標化，利用空間向量夾角公式AN、BM所成的角白余弦值.uiur uuuu即可求出向量 AN、BM的夾角的余弦值，進而得出異面直線【變式1】(2020浙江理)如圖，三棱錐 A BCD中，AB AC BD分別是AD, BC的中

4、點，則異面直線 AN和CM所成的角的余弦值是【解析1】(幾何法)如圖，連接DN ,取DN中點P ,連接PM、CDPC ,則PMC即為AN和CM所成角(或其補角)，易得AN CM DN 2J2 , PMPC 串, cos PCM2 2 2 22異面直線AN和CM所成的角的余弦值是【評注】此法相當于平移 AN，使A、M 的角轉化為平面角，再利用余弦定理求解【解析2】(向量法)78重合，利用三角形的中位線性質將異面直線所成uur 易知I AN IuuuruuurICM I 2, I NC Iuuuu I AMuuir uuuu1 , NC AMuiur uuir uuuu uuuu ，由 AN NC

5、 CMAM ,uur 可得ANuuuu CMuuuu uuirAM NC ,uuu (ANuuuu .CM )2uuuir (AMuuir .NC)2uur 2即 I AN I2uuuu| CM Iuur uuuu2 I AN IICM| cosuur uuuuAN ,CMuuuu I AMI2uuur 2INCI2,uuir uuuu cos AN,CMuuuu _ uuur _I AM I2 I NC I2 u!uur2I ANuur 2期1 1cMiIICM Iuuuu異面直線AN和CM所成的角的余弦值是 -. 8【評注】由于題干中沒有明顯建立恰當直角坐標系的條件，uuir uuuu u

6、uuu uuur由于，AN、CM、AM、NC四個向量的模均可求得，且二向量向量坐標化很難，只好基底化了 .uuir uuuuNC、AM夾角為90,因此，uuir以向量NCuuuuuuir uuuu、AM為基底來表示向量 AN、CM ,即可求出向量uuir uuurAN、CM的夾角的余弦值，進而得出異面直線 AN,CM所成的角的余弦值.ADADPQ2 QD2 PD cos PQD 2PQ QD1-f= , . sin PQD .131 cos2 PQD 39 .13（沈陽市2020高三上學期期末）在直三棱柱 ABC A1B1c1中，若BC AC ,AC 4 , M為AA中點，點P為BM中點，Q在

7、線段CA1上，且A1Q 3QC ,則異面 直線PQ與AC所成角的正弦值 【解析1】（幾何法） 如圖，過P作PD / AB交AA于D ,連DQ ,1AQ.D 為 AM 中點，PD -AB 4 一又. 2QC3DQ/AC, PDQ DQ 3AC 3, 34在 PDQ 中，PQ 442 32 2 4 3cos-而，【評注】此法相當于平移 AC ,使C、Q重合，利用三角形的中位線、三角形相似等性質,化異面直線所成的角為平面角，再利用余弦定理求解【解析2】（幾何法）如圖，連接MQ并延長交AC的延長線于D ,連接BD , 易證PQ/ BD,，在 Rt BDC中， BDC就是異面直線PQ與AC所成角，易求B

8、C4M3 , DC 2 ,貝U BD 2后,sin BDC4.32 .13V39.13【評注】此法相當于平移PQ與AC相交，利用三角形的中位線、三角形相似等性質，化異面直線所成的角為平面角，再解直角三角形求解【解析3】（向量法）依題意可建立圖示坐標系C xyz ,設CC1 4m ,根據uuu已知條件可求得，CA （4,0,0） , B （0,473,0）,M （4,0,2 m）,進而求得 P（2,2 石,m）, Q（1,0,m）,uur _uuu uuuQP (1,273,0) ， cos QP,CA4112 (2 3)2 0213異面直線PQ與AC所成角的正弦值13 屈.【評注】該題具備建立

9、恰當直角坐標系的條件，便于求出向量坐標，利用空間向量夾角公式uuur uur即可求出向量QO、CA的夾角的余弦值，進而得出異面直線PQ與AC所成的角的正弦值.【變式3】在三柱ABC A1B1cl中，側棱與底面垂直，且AB AC AA, BAC 90o,則異面直線 AB與C1A所成的角.【解析1】（幾何法）如圖，延長CA至D使AD CA,連接DA1 ,則DA1 II AC1,BAD就是異面直線 A1B與GA所成的角（或其補角）設正方體的棱長為1,則BDA的三邊長均為 J2,從而異面直線AB與CA所成的角為60.【解析2】（幾何法） 如圖，先將三棱柱 ABC AB1C1補成一個正方體，再將 AC1

10、 平移到對面正方形，再連接底面正方形的對角線，于是它們都是面對角線，構成正三角形，從而異面直線A1B與C1A所成的 角為60.【評注】平移法求異面直線所成的角，一般就是作4次嘗試：將一條線段平移后使兩條線段的一個端點重合，連接另兩個端點，如果能得到可解的三角形， 就能求出異面直線所成的角 我們常常通過取中點、 取線段的等分點、倍長線段、甚至做平行且相等線段等方式實現平移， 從而找到平面角，求出異面直線所成的角.當把一條直線平移到幾何體的外面時，我們可以采取補形的思想，通過連線獲得某條異面直線的平行線，進而找到平面角，求出異面直線所成的角.【解析3】（向量法）依題意，可建立圖示坐標系A xyz,

11、設AB AC AA1 1,urnrurnr則 AB (1,0,1)，C1A (0, 1,1),uuur uur 1 0 0 ( 1) 1 1cos A|B,C1A,12 02 12、02 ( 1)2 1異面直線AiB與CiA所成角為60o.【評注】只要存在三條兩兩互相垂直的直線，就可以建立恰當直角坐標系，并且把兩條異面就可以利用向量夾角公式求出向量夾角的余弦值,進而得直線的方向向量的坐標表示出來, 出異面直線所成的角的大小.【例2利用三面角公式coscos 1 cos 2求兩條直線所成角如圖，直線OA和平面所成的角為點的直線m和OB所成的角為2,所成角為 .求證： cos cos1 cos 2

12、【解析】平移直線m至OC ,設 AB OB , BC OC ,則則ACAOC就可能是異面直線OC,若異面直線m和OAi, OB是OA在平面AOC ,而 AOBBOC 2,在 Rt ABO、Rt BCO和Rt ACO分別有cos 1OB,cos 2OAOC 和 cosOBOCOAcoscos 1 cos這個結論是三面角公式的特例,我們可以直接利用這個結論求兩條異面直線所成角的大小.由cos cos 1 cos 2 還可得EF折成直二面角后，則異面直線【解析1】如圖，折后，平面 AEF，平面 AF與平面EBCDF所成角為AF、BE所成角為EBCDF , 45 ,過F作FG / BE交BC于G ,則

13、 EFG45 ,由公式 cos cos 1 cos 2得,cos cos 1,即斜線和平面所成角1為斜線和平面內的所有直線所成角中的最小角.【變式1】如圖所示，正方形 ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，將此正方形沿BE所成角為60.1cos AFG cos45 cos45 ,即 AF、 2【評注】 使用公式cos cos 1cos 2必須滿足平面 AEF，平面EBCDF的條件.【變式2】將長方體截取一個角，則截面三角形的形狀是A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.不能確定【解析】要證明 EFG是銳角三角形，需證明EFG的三個內角都是銳角，由于正方體的對稱性，只需其中一個內角是銳

14、角即可，不妨證明GFE是銳角.事實上，EB是EG在平面EBF上的射影，且 BEF、 GEB都是銳角，.cos GEF=cos BEF cos GEB 0,， GFE 是銳角，EFG 是銳角三角形半徑為R,求B、C兩地之間的球面距離【變式3】北緯45圈上有B、C兩地，它們的經度分別為東經140與西經130 ,設地球【解析】要求B、C兩地之間的球面距離，只需求球心角BOC的大小即可，由于 B、C兩地的經度分別為東經 140與西經130 ,AOB 45, OA就是OC在平面OAB上的射影，而且 AOC1- cos BOC =cos AOC cos AOBBOC 60o,B、C兩地之間的球面距離為 -

15、R.【評注】利用公式cos cos 1 cos 2求兩條直線夾角（包括兩條異面直線所成角）問題方便快捷，對于選擇填空題來說，是一種很好的辦法【例3】求兩條異面直線所成的角，首先看看兩條異面直線是否垂直已知O是正方體 ABCD AB1C1D1的面ABCD的中心，P是棱AB1上的任意一點， M是棱CC1的中點，則兩條異面直線 PO與BM所成的角A. 30oB. 60。C. 90oD.不確定【解析1】（幾何法）如圖，連接BD、DM ,取DM中點E ,連接OE , 則OE II BM ,易知 POE就可能是異面直線 PO與BM 所成的角，連接 PE ,只需解三角形 POE即可.但是，POE中，OE不變

16、，PO變化，導致 POE隨著P在棱AB上變化而變化，因此，POE的大小不能確定.這個結論是 錯誤的.【解析2】（幾何法）如圖，過O點作EF / AB,連接A1E、BF ,則PO在平面A1EFB1內，易證F是BC中點，在正方形 BCC1B1中，BM BF ,而 BM EF ,因此，BM 平面 AiEFBi ,而 PO 平面 A1EFB1 ,BM PO ,異面直線PO與BM所成的角為90o.【評注】求兩條異面直線所成的角，首先看看兩條異面直線是否垂直，若垂直，即便是用平 移法找到了兩條異面直線所成的角也不好求得，這使解題限于一隅.事實上，求兩條異面直線所成的角，首先嘗試證明兩條異面直線垂直，如果證

17、不出來或者反證出不可能垂直，我們再去用平移法求兩條異面直線所成的角.【解析3】（向量法）依題意可建立圖示坐標系D xyz,設正方體的棱長為2,urnAP miCA (4,0,0) , B(2,2,0) , M (0,2,1)O(1,1,0), P(2,m,2),uuuuuuuBM ( 2,0,1) , OP (1,m 1,2),uur uuurOP BM ( 2) 1 0(m 1) 1 2 0,異面直線PO與BM所成的角為90o.【評注】該題具備建立恰當直角坐標系的條件，便于求出向量坐標，利用空間向量互相垂直的充要條件，即可求出異面直線 所成的角為90.當然不必象幾何法考慮那么多 .【變式1】

18、已知正四棱錐V ABCD中，M、N分別是VB、BC的中點，則MN與BD所 成的角大小為A.30B.45C.60D,90/【解析1】（幾何法）如圖所示，連接 AC,易證BD 平面VAC,4 - 、口BD VC,而 MN II VC, BD MN .異面直線BD與MN所成的角為90.【評注】當兩條異面直線互相垂直時，它們所成的角是90.此時，很難通過“平移法”求得異面直線所成的角.我們只需證明兩異面直線互相垂直即可求得兩異面直線所成的角.【解析2】（向量法） 依題意可建立圖示坐標系 O xyz,設正四棱錐 V ABCD底面邊長為2J2 ,高為2h ,則 B (0,2,0) , D (0, 2,0) , C( 2,0,0),V(0,0,2 h),M(0,1,h) , N( 1,1,0),uuurBDuuuuuuuu uurMN BD(1) 0 0 ( 4) ( h) 0 0 ,(0, 4,0) , MN ( 1,0, h),，異面直線BD與MN所成的角為90o.【變式2】已知四面體 ABCD中，AC AD , BC BD , M、E、F分別是CD、AC、AD的中點，N是AB上任意一點，則 EF與MN所成的角大小為A. 30oB. 45oC. 60oD. 90o、/ 乂【解析1】（幾何法）、如圖所示，連接 AM、