1、全微分方程 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第五節一、全微分方程一、全微分方程二、積分因子法二、積分因子法 第十二章 判別: p, q 在某單連通域d內有連續一階偏導數,xqypdyx),( 為全微分方程 則求解步驟:方法1 湊微分法;方法2 利用積分與路徑無關的條件.1. 求原函數 u (x, y)2. 由 d u = 0 知通解為 u (x, y) = c .一、全微分方程一、全微分方程使若存在),(yxuyyxqxyxpyxud),(d),(),(d則稱0d),(d),(yyxqxyxp為全微分方程 ( 又叫做恰當方程 ) .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),(yxyxo例例1

2、. 求解0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解解: 因為yp236yyx ,xq故這是全微分方程. , 0, 000yx取則有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223yx3yx331y因此方程的通解為cyyxyxx332253123)0 ,(x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 求解0d1d)(2yxxxyx解解:21xyp 這是一個全微分方程 .用湊微分法求通解. 將方程改寫為0ddd2xxyyxxx即, 0d21d2xyx故原方程的通解為021d2xyx或cxyx221,xq機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、積分因子法二、積

3、分因子法思考思考: 如何解方程?0dd)(3yxxyx這不是一個全微分方程 ,12x就化成例2 的方程 .,0),(yx使0d),(),(d),(),(yyxqyxxyxpyx為全微分方程,),(yx則稱在簡單情況下, 可憑觀察和經驗根據微分倒推式得到為原方程的積分因子.但若在方程兩邊同乘0d),(d),(yyxqxyxp若存在連續可微函數 積分因子.例2 目錄 上頁 下頁 返回 結束 常用微分倒推公式常用微分倒推公式:)(ddd) 1 yxyx )(ddd)2xyyxyx)(ddd)3yyxx)(2221yx )(ddd)42yyxxyyx)(ddd)52xyxxyxy)(ddd)6yxyx

4、xyyxln)(ddd)722yxyxxyyxarctan)(ddd)822yxyyxx22yx 積分因子不一定唯一 .0ddyxxy例如, 對可取,1yx221yx ,21y,21x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 求解0d)1(d)1(yxyxxyyx解解: 分項組合得)dd(yxxy即0)dd()(d22yyxxyxyx選擇積分因子,),(221yxyx同乘方程兩邊 , 得0dd)()d(2yyxxyxyx即0)lnd()lnd(1dyxyx因此通解為,lnln1cyxyx即yxecyx1因 x = 0 也是方程的解 , 故 c 為任意常數 . 0)dd(yxxyyx機動 目

5、錄 上頁 下頁 返回 結束 作業作業p285 1(2), (4), (7); 2(2), (5); 4 習題課1 目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題備用題 解方程.0d)(dyxyxy解法解法1 積分因子法. 原方程變形為0d)dd(yyyxxy取積分因子21y0ddd2yyyyxxy故通解為cyyxln此外, y = 0 也是方程的解.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解法解法2 化為齊次方程. 原方程變形為xyyxyddxyxy1,xuy 令，則uxuyuuuxu1xxuuudd)1 (2積分得cxuulnln1將xyu 代入 ,cyyxln得通解此外, y = 0 也是方程的解.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解法解法3 化為線性方程. 原方程變形為11ddxyyx1,1qypyyexd1 ) 1(yyed1