1、核心突破直線與圓錐曲線的位置關系山東 劉乃東1有關直線與圓錐曲線的交點個數問題有關直線與圓錐曲線的交點個數問題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實數解的個數問題，特別地，對于直線與圓的交點的個數問題，則常利用初中所學有關知識解決；有關弦的中點問題，則應注意靈活運用“差分法”，設而不求，簡化運算。2解析幾何中的最值、定值問題常用的方法和技巧有：利用二次函數的性質、三角函數的有界性、基本不等式、函數的單調性、函數的導數、數形結合等。 3向量與解析幾何的結合 運用向量的方法解決解析幾何問題，有時可簡化運算（平行、垂直與夾角）；也可以把向量轉化為坐標運算。注：（1）關于圓錐曲線的參數取值范圍和幾何最

2、值問題實屬一類問題，其解題方法是統一的，往往都是代數、三角、幾何多方面知識的滲透與綜合，函數、方程、不等式、轉化、化歸、分類討論等多種思想的交叉運用，換元、數形結合、三角代換等多種方法技巧的靈活運用。 （2）求范圍與最值問題首先應在做題前弄清：平面幾何知識，如三角形三邊不等關系，兩點之間線段最短等；涉及直線與圓錐曲線的公共點，判別式解出不等式；圓錐曲線上點的坐標的范圍；題目已知條件，某一參數已知的取值范圍。 （3）求范圍與最值問題的解題方法主要有以下幾種：數形結合法；函數法；變量替換法；不等式法。 例1 已知拋物線的弦經過點，且（為坐標原點），求弦的長。 分析：要求弦的長，只需求出、兩點的坐標

3、，為此設出、兩點的坐標，利用的條件和、三點共線的條件求解。解析：由、兩點在拋物線上，可設，。由得，。 點、與點在一條直線上，化簡整理得， 將代入得 由和得，從而點的坐標為，點的坐標為，。點評：通過解方程組求得、兩點的坐標，然后利用兩點間的距離公式求解。例2 給定雙曲線。（1）過點的直線與所給曲線交于兩點、，如果點是弦的中點，求的方程；（2）把點改為，具備上述性質的直線是否存在？如果存在，求出方程；如果不存在，請說明理由。分析：該例綜合性較強，要注意分類討論思想的運用。 解析：（1）法1：設過點的弦的端點、，則兩式相減得，故所求直線的方程為。法2：設直線斜率為，不存在時，過的直線是，它與雙曲線的

4、交點是方程組，交點為不符合題意，舍去。當存在時，由消去得 設直線與雙曲線的兩個交點為、，則是方程的兩個根，則解此方程組得，故所求直線的方程為。（2）點坐標為，直線方程為不存在時，舍去）。，消去得，則解得，但不滿足條件。故不存在適合題意的直線。點評：以某一定點為弦的中點求弦的方程，也要結合韋達定理的中點坐標公式，或者用設點不求的技巧差點法巧妙地求出斜率。例3 已知直線與曲線恰有一個公共點，求實數的值。 分析：切莫先入為主，武斷地屆定為拋物線方程，因為參數在變化，當時，即變為，此時是一條直線。 解析：直線與拋物線組成方程組 當時，此方程組恰有一組解為 當時，消去得。若，即，方程變為，此時方程組有一組解；若時，即，由得，解得，此時直線與拋物線相切，只有一個公共點。綜上所述，當或或時，直線與曲線只有一個公共點。點評：對于開放的曲線，僅是直線與圓錐曲線有一個公共點的充分但不必要條件，解題時應特別注意。練習：1為過橢圓中心的弦，是橢圓的右焦點，則的面積的最大值是（ ） 2若橢圓經過