1、中考數學專題復習平行四邊形的綜合題及詳細答案一、平行四邊形1.（問題情景）利用三角形的面積相等來求解的方法是一種常見的等積法，此方法是我們 解決幾何問題的途徑之一.例如：張老師給小聰提出這樣一個問題：如圖1,在4ABC中，AB=3, AD=6,問4ABC的高 AD與CE的比是多少？ 小聰的計算思路是：1 1根據題意得：Sa abc= BC?AD= AB?CE22一AD1從而得 2AD=CE,CD 1CE 2請運用上述材料中所積累的經驗和方法解決下列問題：（1）（類比探究）如圖2,在？ABCD中，點E、F分別在AD, CD上，且AF=CE并相交于點 O,連接BE、 BF,求證：BO平分角 AOC

2、.（2）（探究延伸）如圖3,已知直線 m/ n,點A、C是直線m上兩點，點B、D是直線n上兩點，點P是線 段CD中點，且/APB=90,兩平行線 m、n間的距離為4.求證：PA?PB=2AB（3）（遷移應用）如圖4, E為AB邊上一點，ED± AD, CE!CB,垂足分別為 D, C, / DAB=/ B, AB=64, BC=2, AC=J26,又已知 M、N分別為AE、BE的中點，連接 DM、CN.求 DEM與 CEN的周長之和.圖3【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3） 5+J34【解析】 分析：（1）、根據平行四邊形的性質得出 4ABF和4BCE的面積相等，過點 B作OG

3、LAF于G, OHCE于H,從而得出 AF=CE然后證明 BOG和 BOH全等，從而得出 /BOG=/ BOH,即角平分線；（2）、過點P作PG±n于G,交m于F,根據平行線的性質得 出4CPF和4DPG全等，延長 BP交AC于E,證明4CPE和4DPB全等，根據等積法得出 AB=APX PB從而得出答案；（3）、，延長 AD, BC交于點G,過點A作AF，BC于F,設CF=x,根據RtABF和RtACF的勾股定理得出x的值，根據等積法得出 AE=2DM=2EM, ill，1，,口，V 八一八、土BE=2CN=2EN DM+CN= AB,從而得出兩個二角形的周長之和.同理：EM+EN

4、= AB2詳解：證明：（1）如圖2,二四邊形ABCD是平行四邊形,Saabif= ' Sabcd, Sa bcSabcd,& abf=Sabce;)過點B作OGAF于G, OH± CE于H,Sa abiAFX BGSabcCEX BHyAFX BEX B HP： AFX BG=CE X B HAF=CE ，BG=BH,在 RtBOG 和 RtBOH 中,眥BO.時二BH RtA BO8 RtA BOH,/ BOG=Z BOH, OB 平分 / AOC,(2)如圖 3,過點 P作 PG± n 于 G,交 m 于 F, v m / n, . .PFl AC,/

5、CFP=/ BGP=90 ,° .點 P 是 CD 中點，rZCKP=ZDCP.PF=PG= FG=2,在 CPF 和 4DPG 中，4 cp = DP, .CP陣DPG,ZCPF=ZDPG延長 BP 交 AC于 E, m / n, . / ECP玄 BDP, . CP=DP在 CPE 和 4DPB 中，CP=DP ,ACPEADPB, . PE=PB./CPE =/DFB / APB=90 ,°AE=AB,Saape=Saapb,區11. Saape= AEX PF=AE=ABSaapb= APX PB .AB弓APX PB 即：PA?PB=2AB(3)如圖 4,延長 A

6、D, BC交于點 G,/BAD=/ B, .AG=BG,過點 A 作 AF± BC于 F,設 CF=x (x>0) , . BF=BC+CF=x+2 在 RtABF 中，AB=信，根據勾股定理得，AF2=AB2 - BF2=34 - (x+2) 2,在 RtACF 中，AC=/醞, 根據勾股定理得，AF2=AC2 - C盧=26 - x2,-J - cBGX CE=BG(DE+CE , 上 .34 - (x+2) 2=26- x2,x=- 1 (舍)或 x=1, AF=J &-工？ =5,連接 EG, ''' SLabg=2"BGX A

7、F=Seg+Sa BEG= AGX . DE+CE=AF=5 在 RtADE 中，點 M 是 AE 的中點，. . AE=2DM=2EM,同理：BE=2CN=2EN .AB=AE+BE 2DM+2CN=AB, . DM+CN=-AB,2同理：EM+EN等AB . .口£“ 與 CEN的周長之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN = DE+CE + (DM+CN) + (EM+EN)=(DE+CN +AB=5+/34.點睛：本題主要考查的就是三角形全等的判定與性質以及三角形的等積法，綜合性非常 強，難度較大.在解決這個問題的關鍵就是作出輔助線，然后根據勾股定理和三角形全等 得出各個線

8、段之間的關系.2.如圖，四邊形 ABCD中，AD/BC, ZA=90°, BD=BC 點E為CD的中點，射線 BE交AD 的延長線于點F,連接CF（1）求證：四邊形 BCFD是菱形；(2)若 AD=1, BC=2,求 BF 的長.【答案】（1）證明見解析（2） 2 J3【解析】(1) AF/ BC,Z DCB=Z CDF, Z FBC=Z BFD,點E為CD的中點,DE=ECFBC BFD在ABCE與FDE中，DCB CDF ,DE EC.,.BCEAFDE,DF=BC,又DF/ BC, 四邊形BCDF為平行四邊形，, BD=BC, 二.四邊形BCFD是菱形；(2)二.四邊形 BCF

9、D是菱形，BD=DF=BC=2, 在 RtA BAD 中，AB= Vbd'_AD7 s/3，. AF=AD+DF=1+2=3,在 RtBAF 中，BF=7AB2AR2 =273 .3.如圖，在 RtABC中，ZB=90°, AC=60cm, /A=60°,點D從點C出發沿 CA方向以4cm/秒的速度向點A勻速運動，同時點 E從點A出發沿AB方向以2cm/秒的速度向點B勻D、E運動的時間是t速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設點秒(0vtwi5 .過點D作DU BC于點F,連接DE, EF.(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t

10、值，如果不能，說明理由;(3)當t為何值時，4DEF為直角三角形？請說明理由.【答案】(1)見解析；(2)能，t=10； (3) t=15或12. 2【解析】【分析】(1)利用t表示出CD以及AE的長，然后在直角 4CDF中，利用直角三角形的性質求得 DF的長，即可證明；(2)易證四邊形 AEFD是平行四邊形，當 AD=AE時，四邊形 AEFD是菱形，據此即可列方 程求得t的值；(3) 4DEF為直角三角形，分 /EDF=90和/ DEF=90兩種情況討論.【詳解】解：(1)證明：二.在 RtABC 中，Z C=9CT - Z A=30° , .AB=-AC=- X 60=30cm2

11、2 . CD=4t, AE=2t,又.在 RtCDF中，/ C=30 , .DF=-CD=2t,DF=AE2(2)能，1. DF/ AB, DF=AE四邊形AEFD是平行四邊形，當AD=AE時，四邊形 AEFD是菱形，即60 - 4t=2t ,解得：t=10,當t=10時，AEFD是菱形；(3)若ADEF為直角三角形，有兩種情況：如圖 1, /EDF=90°, DE/ BC,15則 AD=2AE,即 60 4t=2 X 21 解得：t= 一 ,2如圖 2, /DEF=90： DE±AC,則 AE=2AD,即 2t 2(60 4t),解得：t=12,綜上所述，當t=15或12

12、時，4DEF為直角三角形.24.如圖，正方形 ABCD的邊長為8, E為BC上一定點，BE= 6, F為AB上一動點，把 BEF沿EF折疊，點B落在點B'處，當4AFB恰好為直角三角形時， B'D的長為？【答案】4扁或2V2 5【解析】 【分析】分兩種情況分析：如圖 1,當/AB' F=9時，此時A、B'、E三點共線，過點 B'作B'肚AB, B' CAD,由三角形的面積法則可求得B' M=2.4再由勾股定理可求得 B' N=3.2在RtACB N中，由勾股定理得，B' D=b N2+DN 2 = 732充；如圖2

13、，當/AFB =90° 時，由題意可知此時四邊形 EBFB是正方形，AF=2,過點B作B'皿AD,則四邊形AFB N為 矩形，在RtACS N中，由勾股定理得，B' D=b N2+DN2 =V2222 ；【詳解】如圖1,當/ AB' F=90寸，此時 A、B'、E三點共線,/ B=90 ； -AE=VAB2BE2二花2 62 =10,. B' E=BE=6 . AB' =4. B' F=BFAF+BF=AB=8在 RtAAB 沖，ZAB F=90° 由勾股定理得， AF2=FB 2+AB2 , .AF=5, BF=3,

14、過點B作B'mAB, B' CAD,由三角形的面積法則可求得B' M=2.4再由勾股定理可求得B' N=3,2AN=B ' M=2.4, DN=AD-AN=8-2.4=5.6,在 RtACB N中，由勾股定理得，B' D=b N2+DN 2= J3 22 5 62 =f 屈 ；5如圖2,當/AFB =90寸，由題意可知此時四邊形EBFB是正方形，AF=2,過點 B作 B'皿 AD,則四邊形 AFB N為矩形，AN=B F=6 B' N=AF=2，DN=AD-AN=2,在 RtACE N中，由勾股定理得，B' d=b N2+

15、DN 2 = /222"2 =22 ；綜上，可得B' D的長為4屆或2亞.5【點睛】本題主要考查正方形的性質與判定，矩形有性質判定、勾股定理、折疊的性質等，能正確 地畫出圖形并能分類討論是解題的關鍵.5.已知AD是 ABC的中線P是線段 AD上的一點（不與點 A、D重合），連接 PB> PC,E、F、G、H分別是AB、AC、PRPC的中點，AD與EF交于點M；費1置工(1)如圖1,當AB= AC時，求證：四邊形 EGHF是矩形；(2)如圖2,當點P與點M重合時，在不添加任何輔助線的條件下，寫出所有與4BPE面積相等的三角形(不包括 BPE本身).【答案】(1)見解析；(

16、2) 4APE、AAPR ACPF PGH.【解析】【分析】(1)由三角形中位線定理得出EG/AP,EFBC,EF=1BC,GH/BC,GH=1 BC,推出22EF/ GH, EF=GH證得四邊形 EGHF是平行四邊形，證得 EF± AP,推出EF± EG,即可得出 結論；(2)由4APE與4BPE的底AE=BE又等高，得出 生ape=Sa bpe,由4APE與4APF的底EP=FP又等高，得出 Saape=Sapf,由4APF與4CPF的底AF=CF又等高，得出Saapf=Sacpf,證得 PGH底邊GH上的高等于 4AEF底邊EF上高的一半，推出_1 _Sapgh= S

17、aef=Sx apf,即可得出結果. 2【詳解】(1)證明：£、F、G、H分別是AB、AC PR PC的中點， .EG/ AP, EF/ BC, EF= 1 BC, GH/ BC, GH= 1 BC,22 .EF/ GH, EF= GH, 四邊形EGHF是平行四邊形，.AB= AC,ADXBC,EF± AP,1. EG/ AP, EF± EG,平行四邊形EGHF是矩形；(2) PE是 APB 的中線， .APE與4BPE的底 AE= BE,又等高，Sa ape= Sa bpe, .AP是AAEF的中線， .APE與APF的底.EP= FP,又等高，Sa ape=

18、Sa apf,Sa apf= Sa bpe,.PF是APC的中線， .APF與CPF的底AF=CF,又等高，Sa apf= Sa cpf,SacpSabpe, . EF/ GH/ BC, E、F、G、H 分別是 AR AC PB、PC的中點，.AEF底邊EF上的高等于 ABC底邊BC上高的一半， PGH底邊GH上的高等于 PBC 底邊BC上高的一半，.PGH底邊GH上的高等于 4AEF底邊EF上高的一半， .GH= EF,.Sa pgh= Saaef= Sa apf,2綜上所述，與 BPE面積相等的三角形為：AAPE、AAPR CPE PGH.【點睛】本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的判

19、定、三角形中位線定理、平行線的性質、三角形面積的計算等知識，熟練掌握三角形中位線定理是解決問題的關鍵.6.如圖，在平面直角坐標系中，直線 DE交x軸于點E (30, 0),交y軸于點D (0,、140),直線 AB: y=-x+5交x軸于點A,交y軸于點B,交直線 DE于點P,過點E作3EF± x軸交直線AB于點F,以EF為一邊向右作正方形 EFGH(1)求邊EF的長；(2)將正方形EFGH沿射線FB的方向以每秒 加 個單位的速度勻速平移，得到正方形EiFiGiHi,在平移過程中邊 FiGi始終與y軸垂直，設平移的時間為 t秒(t>0).當點Fi移動到點B時，求t的值； 當Gi

20、, Hi兩點中有一點移動到直線DE上時，請直接寫出此時正方形EiFiGiHi與4APE重疊部分的面積.【答案】(i) EF= i5； (2)i0 ；i20 ；【解析】【分析】(1)根據已知點E (30, 0),點D (0, 40),求出直線 DE的直線解析式y=-x+40,可3求出P點坐標，進而求出 F點坐標即可； 易求B (0, 5),當點Fi移動到點B時，t=10 JT0+JT0 =10;MH 4RDMH'中， - EM 3 'F點移動到F'的距離是 而 t, F垂直x軸方向移動的距離是 t,當點H運動到直線DE上時，在 RtF'NF 中，-NF=1 , E

21、M=NG'=15-F'N=15-3t,在NF 3t=4, Su1x(12普)x n1023 ;當點 G 運動到直線 DE上時，在 RtF'PK中，-PK-=-248F K 3PK t 34PK=t-3, F'K=3t-9,在 RtPKG中，=,t=7, S=15X (15-7) =120.KG 15 3t 93【詳解】(1)設直線DE的直線解析式 y=kx+b, 將點 E (30, 0),點 D (0, 40),30k b 0b 403 ,40直線AB與直線DE的交點P (21, 12), 由題意知F (30, 15),EF= 15；(2)易求 B (0, 5)

22、,1 .BF=10 .10 ,，當點F1移動到點B時，t=10y/ic Ji0=10；當點H運動到直線DE上時，F點移動到F'的距離是，10t,在 Rt"'NF 中,NF _1nF-3.FN=t, F'N=3t,.MH'= FN= t,EM= NG'= 15- F'N= 15- 3t, 在 RtDMH'中，MH 4 ,EM 3t 4 - -,15 3t 3 t = 4, .EM = 3, MH'= 4,F點移動到F'的距離是濟0t,PF=3短， -PF'= Vl0 t- 3 Vl0 ,在 RtF'

23、PK 中,PK 1,F K 3.PK= t-3, F'K= 3t9,在 RtA PKG中,PKKGt 315 3t 92 .t = 7,3 .S= 15 X(15-7) = 120.【點睛】本題考查一次函數圖象及性質，正方形的性質；掌握待定系數法求函數解析式，利用三角 形的正切值求邊的關系，利用勾股定理在直角三角形中建立邊之間的聯系，準確確定陰影 部分的面積是解題的關鍵.7. （1）（問題發現）如圖1,在RtA ABC中，AB= AC= 2, Z BAC= 90°,點D為BC的中點，以CD為一邊作正 方形CDEF點E恰好與點A重合，則線段BE與AF的數量關系為（2）（拓展研究

24、）在（1）的條件下，如果正方形 CDEF繞點C旋轉，連接BE, CE, AF,線段BE與AF的數量關系有無變化？請僅就圖 2的情形給出證明；（3）（問題發現）當正方形CDEF旋轉到B, E, F三點共線時候，直接寫出線段 AF的長.【答案】（1） BE=72AF； （2）無變化；（3） AF的長為73 T 或73+1. 【解析】試題分析：（1）先利用等腰直角三角形的性質得出AD=J2 ,再得出BE=AB=2,即可得出結論；（2）先利用三角函數得出 CA顯,同理得出CF ,夾角相等即可得出CB 2CE 2 AC。 BCE進而得出結論；（3）分兩種情況計算，當點E在線段BF上時，如圖2,先利用勾股

25、定理求出EF=CF=AD=/2, BF=J6,即可得出BE=J6 - J2 ,借助（2）得出的結論，當點 E在線段BF的延長線上，同前一種情況一樣即可得出結論.試題解析：（1）在 RtA ABC 中，AB=AC=2,根據勾股定理得，BC=V2 AB=2后，點D為BC的中點，AD=1BC=J2 ,.四邊形 CDEF是正方形，AF=EF=AD=/2 , BE=AB=2, .BE=V2AF,故答案為BE=,2AF；（2）無變化；如圖 2,在 RtAABC中，AB=AC=2,/ ABC=Z ACB=45sin/ ABC=CA -,CB 2在正方形 CDEF中，ZFEC=1 ZFED=45,02在 Rt

26、CEF中，sin/FEC=CF 且, CE 2 'CF CACE CB， / FCE4 ACB=45 , / FCE- / ACE=Z ACB- / ACE,/ FCA=Z ECBBE CB.ACFABCE =J2，BE=J2 AF,AF CA線段BE與AF的數量關系無變化； （3）當點E在線段AF上時，如圖2, 由（1）知，cf=ef=cd=/2，在 RtBCF 中，CF=72，BC=272 ,根據勾股定理得，BF=y6 ,BE=BF EF=76 -由（2）知，BE=&AF, .AF=V3 - 1,當點E在線段BF的延長線上時，如圖 3,sinZ ABC=CA 2CB 2 &

27、#39;在正方形 CDEF中，Z FEC=1 Z FED=45,°2在 RtCEF中，sinZ FEC=CL 巨 CE 2CFCECACB '在 RtA ABC 中，AB=AC=2, ，/ ABC=Z ACB=45 , / FCE4 ACB=45/ FCB+Z ACB=Z FCB+Z FCE/ FCA之 ECBBE CB一.ACFABCE =J2，BE=J2aF,AF CA由（1）知，cf=ef=cd=/2,在 RtBCF 中，CF、/2 BC=2我，根據勾股定理得，BF=76,BE=BF+EF=/6 + y2，由（2）知，BE=72AF, - AF=yS+1.即：當正方形C

28、DEF旋轉到B, E, F三點共線時候，線段 AF的長為J3 - 1或J3+1.8.（感知）如圖，四邊形 ABCR CEFG勻為正方形.可知 BE=DG（拓展）如圖 ，四邊形 ABCD CEFG勻為菱形，且/ A=/F.求證：BE=DG（應用）如圖 ，四邊形ABCR CEFG均為菱形，點E在邊AD上，點G在AD延長線.（只填結上.若AE=2ED, ZA=ZF, EBC的面積為8,菱形CEFG的面積是 果）【解析】試題分析：探究:D8CB圉圖由四邊形 ABCD四邊形CEFG均為菱形，禾1J用 SAS易證得 BCE DCG,貝U可得BE=DG；應用：由 AD/ BC, BE=DG,可得 Saabe

29、+Sacde=Sxbec=Sxcdg=8,又由 AE=3ED 可求得 CDE 的面積，繼而求得答案.試題解析：探究：二.四邊形ABCR四邊形CEFG勻為菱形，BC=CQ CE=CG / BCD=Z A, / ECG之 F. / A=Z F,/ BCD=Z ECG / BCD-/ ECD=Z ECGjECD 即 / BCE玄 DCG.在4BCE和4DCG中,BC=CDBCE= DCGCE=CG.-.BCEADCG (SAS , BE=DG.應用：二.四邊形ABCD為菱形,.AD/ BC, BE=DG,Sa abe+Sa cdefSa becfSa cdg=8 , .AE=3ED,Sa cde=工

30、 8 2 ,4Sa ecg=Sa cde+Sx cdg=10，S 菱形 cefG=2Sa ecg=20.友好三角形”9.定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做性質：如果兩個三角形是 友好三角形”，那么這兩個三角形的面積相等.理解：如圖 ，在4ABC中，CD是AB邊上的中線，那么 4ACD和4BCD是 友好三角形”，并且 Saacd=Sabcd.應用：如圖 ，在矩形ABCD中，AB=4, BC=6,點E在AD上，點F在BC上，AE=BF AF 與BE交于點O.(1)求證：4AOB和4AOE是友好三角形”；(2)連接OD,若4AOE和ADOE是 友好三角形”，求四邊形 CDOF的面積.探

31、究：在 ABC中，/A=30°, AB=4,點D在線段 AB上，連接 CD, AACDABCD> 友好三角形”，將4ACD沿CD所在直線翻折，得到CD若CDfABC重合部分的面11積等于 ABC面積的4,請直接寫出 ABC的面積.n £圖【答案】(1)見解析；(2) 12;探究：2或2%3.【解析】ABFE是平試題分析：(1)利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形行四邊形，然后根據平行四邊形的性質證得OE=OB,即可證得4AOE和4AOB是友好三角形；(2) AAOEADOE>友好三角形”，即可得到E是AD的中點，則可以求得 ABE ABF的面積

32、，根據 S四邊形cdoF=S矩形abcd"2Saabf即可求解.探究：畫出符合條件的兩種情況： 求出四邊形A DCBb平行四邊形，求出 BC和A出/ACB=90,根據三角形面積公式求出即可；求出高CQ求出DC勺面積.即可求出 ABC的面積.試題解析：(1)二.四邊形ABCD是矩形，.AD/ BC,. AE=BF,四邊形ABFE是平行四邊形，.OE=OB, AOE和 AOB是友好三角形.(2) .AOE和ADOE是友好三角形,Saaoe=Sadoe, AE=ED= AD=3, AOB與 AOE是友好三角形,Saaob=Saaoe,.AOEAFOB,Saoe=Sfob,Saaod=Sab

33、f:,111- S 四邊形 cdof=S矩形 abcd-2Saabf=4 X 6-2 X 4 X 3=.12探究:解：分為兩種情況：如圖1,- Sa acd=Sx bcd.12 .AD=BD= AB,沿CD折疊A和A重合，1111.AD=A，福Ex 4=2IIA' CD ABC重合部分的面積等于 ABC面積的工11 II 1111._4c_2c2.Sadoc= Saabc= Sabdc= Sadc= Saa dcdo=ob, a' o=co四邊形A' DCB平行四邊形,BC=A ' D=2過 B作 BMXACT M,. AB=4, /BAC=30,°I

34、I.BM=/AB=2=BC即C和M重合，/ ACB=90 ；由勾股定理得：ac=' ,1 II.ABC的面積是.X BCX AC=2%9=2%'2;如圖2,'A- Sa ace=Sx bcd.1 .AD=BD= AB,沿CD折疊A和A重合，1111 .AD=A，禧B工X 4=2II A' CD ABC重合部分的面積等于 ABC面積的*, 11 II 1111八 4c 2c 2c 2c.Sadoc= Saabc= Sabdc= Sadc= Saa dc .DO=OA'，BO=CO, 四邊形A' BDC平行四邊形， .A' C=BD=2過C作

35、CO! A'吁Q, . A' C=2/ DA' C=BAC=30 ,° 11 .CQ=A' C =1 1111/.SaabC=2Saadc=2Sa dC2 /X A' DX CQ =2XX 1;=2即 ABC的面積是2或2、？.考點：四邊形綜合題.10.如圖，現將平行四邊形 ABCD沿其對角線 AC折疊，使點B落在點B處.AB與CD交于 點E.(1)求證：AE44CEB'(2)過點E作EH AC交AB于點F,連接CF,判斷四邊形 AECF的形狀并給予證明.AF jj【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】(1)由題意可得 AD=

36、BC=B'C /B=/D=/ B',且/ AED=/ CEB；利用AAS證明全等，貝U結 論可得；(2)由AEgCEB可得AE=CE且EFLAC,根據等腰三角形的性質可得EF垂直平分AC, /AEF=Z CEF 即 AF=CF / CEF玄 AFE=Z AEF,可得 AE=AF,貝U可證四邊形 AECF是菱 形.【詳解】證明：(1)二.四邊形ABCD是平行四邊形.AD= BC, CD/ AB, / B= / D平行四邊形ABCD沿其對角線AC折疊BC= B'C, / B= / B'/ D= / B', AD= B'C且 / DEA= / B

37、9;EC.ADEAB'EC(2)四邊形AECF是菱形.ADEAB'EC.AE=CE. AE=CE) EF± AC，EF 垂直平分 AC, /AEF=/CEF.AF=CF1. CD/ AB/ CEF= / EFA且 / AEF= / CEF/ AEF= / EFA.AF = AE,-.AF = AE= CE= CF四邊形AECF是菱形【點睛】本題考查了折疊問題，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，菱形的判定，熟練 掌握這些性質和判定是解決問題的關鍵.11.如圖，拋物線 y=mx2+2mx+n 經過A ( - 3, 0) , C (0, - 1 )兩點，與x軸交于另

38、點B.(1)求經過A, B, C三點的拋物線的解析式;(2)過點C作CE/ x軸交拋物線于點 E,寫出點E的坐標，并求 AC BE的交點F的坐標(3)若拋物線的頂點為 D,連結DC DE,四邊形CDEF是否為菱形？若是，請證明；若不是，請說明理由.CE/ x軸, 求出直線由 E、C、三)兩點,嶗3 n-2，拋物線解析式為+x 【答案】(1) y=-x2+x- - ; (2) F點坐標為(-1, T) ; (3)四邊形CDEF是菱22形.證明見解析【解析】【分析】將A、C點的坐標代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組求得該拋物線的解析式；根據(1)題所得的拋物線的解析式，可確定拋物線的對稱軸方程以

39、及B、C點的坐標，由可知C、E關于對稱軸對稱。根據 A、C點求得直線AC的解析式，根據 B、E點BE的解析式，聯立方程求得的解，即為F點的坐標；F、D的坐標可知DF和EC互相垂直平分，則可判定四邊形CDEF為菱形.(1) ; 拋物線 y=mx2+2mx+n 經過 A (-3, 0) , C (0,9幣-6時n二0_ 3口一3- y=7Tx2+x-，拋物線對稱軸為直線 x= - 1,. CE/ x 軸,C、E關于對稱軸對稱，C ,3、 C (0, - 5)，,3、 E ( - 2, 一一)， A、B關于對稱軸對稱， B (1, 0),設直線AC BE解析式分別為y=kx+b, y=k'

40、x+b'則由題意可得解得k=-l2b=4直線AC BE解析式分別為y二聯立兩直線解析式可得IfF點坐標為(-1, - 1);x=-ly=-l(3)四邊形CDEF日至形.證明：1 y(x+1)2-2, D ( - 1, -2),- F ( - 1, T),，DF，x 軸，且 CE/ x軸,DFXCE,3 一,. C (0,)，且 F (T,1) , D ( 1, -2),DF和CE互相平分,四邊形CDEF【點睛】形.本題考查菱形的判定方法，二次函數的性質，以及二次函數與二元一次方程組.12.正方形ABCD的邊長為1,對角線 AC與BD相交于點。，點E是AB邊上的一個動點 (點E不與點A、

41、B重合)，CE與BD相交于點F,設線段BE的長度為x.CA-£圖1CB圖2(1)如圖1,當AD=2OF時，求出x的值；(2)如圖2,把線段CE繞點E順時針旋轉90°,使點C落在點P處，連接AP,設 APE 的面積為S,試求S與x的函數關系式并求出 S的最大值.(2) S=-(x-)12+8(0VXV 1),11111當乂=之時，S的值最大，最大值為 百，.【解析】試題分析：(1)過。作OM /AB交CE于點M,如圖1,由平行線等分線段定理得到CM=ME,根據三角形的中位線定理得到AE=2OM=2OF,得到OM=OF,于是得到 BF=BE=x|1-xJiX 寸1求得OF=OM

42、= 2解方程 22 ,即可得到結果；(2)過P作PG,AB交AB的延長線于 G,如圖2,根據已知條件得到 / ECB4 PEG 根據1全等三角形的性質得到 EB=PG=x由三角形的面積公式得到S= (1-x) ?x,根據二次函數的性質即可得到結論.試題解析：(1)過。作OM /AB交CE于點M,如圖1, .OA=OC,.CM=ME, .AE=2OM=2OF, .OM=OF,OM OFBF=BE=xOF=OM .AB=1, .OB= £ ,.支 +- 1,22(2)過P作PG±AB交AB的延長線于 G,如圖2, / CEP4 EBC=90,° / ECB4 PEG,

43、 ,. PE=EC Z EGP=Z CBE=90, 在 EPG與CEB中，= /POE LCEB =三PEC PE-EC.,.EPGACEB,EB=PG=x.AE=1-x,S=，(1 - x)?x= 一 x2+/x= 一(x-2)(0<x< 1),5V0,1當x=Z時，S的值最大，最大值為考點：四邊形綜合題13.如圖，在菱形 ABCD中，AB=6, /ABC=60°, AHBC于點H.動點E從點B出發，沿線段BC向點C以每秒2個單位長度的速度運動.過點 E作EH AB,垂足為點F.點E出 發后，以EF為邊向上作等邊三角形 EFG設點E的運動時間為t秒，4EFG和4AHC的

44、重合部分面積為S.(1) CE= (含t的代數式表示).(2)求點G落在線段AC上時t的值.(3)當S>0時，求S與t之間的函數關系式.(4)點P在點E出發的同時從點 A出發沿A-H-A以每秒 入出個單位長度的速度作往復運P在4EFG內部時t的取值范動，當點E停止運動時，點 P隨之停止運動，直接寫出點圍.£)3【答案】(1) 6-2t; (2) t=2; (3)當彳vtw時，S=：1t2hgt-3L;當 2vtw時，S=-65 口 |2九3 |33v3312t2+ ' t- * ; (4) Ltv S .【解析】試題分析：(1)由菱形的性質得出 BC=AB=6得出CE=

45、BC-BE=6-2即可；(2)由菱形的性質和已知條件得出4ABC是等邊三角形，得出 /ACB=60,由等邊三角形的性質和三角函數得出 /GEF=60, GE=EF=BE?sin6 0%1t,證出/ GEC=9 0,由三角函數求 I GE出CE=m6T=t,由BE+CE=BC導出方程，解方程即可；(3)分兩種情況： 當之vtw對，S=AEFG的面積-4NFN的面積，即可得出結果；當2vtw的，由的結果容易得出結論；3(4)由題意得出t1時，點P與H重合，E與H重合，得出點P在4EFG內部時，t的不 等式，解不等式即可.試題解析：(1)根據題意得：BE=2t, 四邊形ABCD是菱形，BC=AB=6

46、, .CE=BC-BE=6-2 t(2)點G落在線段AC上時，如圖1所示:圖1 四邊形ABCD是菱形，.AB=BC, / ABC=60 ； .ABC是等邊三角形，/ ACB=60 ； EFG是等邊三角形，/ GEF=60,° GE=EF=BE?sin60 Vt,=EF± AB,/ BEF=90-60 三30 ；/ GEB=90,°/ GEC=90,°GE 冏 .CE= f / i二t, BE+CE=BC ，2t+t=6 , 解得：t=2;(3)分兩種情況： 當2<tw此 如圖2所示:HES=A EFG的面積- NFN的面積=" XX (2

47、= " t2+P t-3V3,3即 S= ' t2+，-3/;當2vt w時，如圖3所示:GES=t2+ . t-3 .-(3% t-6%)2,65T 290 3%?即 S=- " t2+ ' t- 工；今(4) . AH=AB?sin60 =6好：33-2=,，tJ時，點P與H重合，E與H重合，3.點P在4EFG內部時,2v (t- ) x(2t-3)(2t-3),12解得：p,<t<即點P在4EFG內部時t的取值范圍為:<t<12T考點：四邊形綜合題.14.倡導研究性學習方式，著力教材研究，習題研究，是學生跳出題海，提高學習能力和

48、創新能力的有效途徑.下面是一案例，請同學們認真閱讀、研究，完成 類比猜想”的問 題.習題如圖（1）,點E、F分別在正方形 ABCD的邊BC CD上，/ EAF=45 ,連接EF,則 EF=BE+DF說明理由.解答：.正方形 ABCD 中，AB=AD, / BAD=/ ADC=Z B=90°,把ABE繞點A逆時針旋轉 90至ADE；點F、D、E在一條直線上. . / E' AF=905 -45 =/ EAF,又AE ' = A&F=AF.AEAAEF （SAS . EF=E ' F=DE ' +DF=BE+DF類比猜想：（1）請同學們研究：如圖（

49、2）,在菱形ABCD中，點E、F分別在BG CD上，當ZBAD=120 ,° /EAF=60時，還有 EF=BE+DF馬？請說明理由.（2）在四邊形 ABCD中，點E、F分別在BC CD上，當AB=AD, / B+/D=180 ,時,EF=BE+DF馬？請說明理由.【答案】證明見解析./ eaf4 / bad【解析】試題分析：（1）把4ABE繞點A逆時針旋轉120°至AADE,如圖（2）,連結E' ,F根據菱 形和旋轉的性質得到 AE=AE, /EAF=/ E' AF利用"SASE明4AE圖AE' E得至U EF=E乎 由于/ADE廿ADC=120 ,則點F、D、E不共線，所以 DE +D F EF,即由BE+DF> EF;（2）把 ABE繞點A逆時針旋轉/ BAD的度數至AADE,如圖（3）,根據旋轉的性質得 至ij AE' =A, /EAF=/ E' AF然后利用 “SASE明 AEH AE' F 得到 EF=E J 由于 /ADE'4ADC=180 知F、D、E共線，因此有 EF=DE ' +DF=BE+網前面的條件和結論 可歸納出結論.試題