1、空間向量與立體幾何解答題精選(選修2-1 )1 .已知四棱錐P ABCD的底面為直角梯形,AB/DC ,DAB 90 , PA 底面 ABCD，且 PA AD DC1,AB 2PB的中點(diǎn)。1,(n)(田)證明：面PAD 面PCD ;求AC與PB所成的角;求面 AMC與面BMC所成二面角的大小。證明:以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為-1A(0,0,0), B(0,2,0),。”。皿,0”。0,1),小0,”).證明：因 AP (0,Q1),DC (0,1,0)，故AP DC 0,所以AP DC.由題設(shè)知AD DC ,且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由

2、此得DC 面PAD.又DC 在面PCD上，故面 PAD PCD.(n)解:因 AC (1,1,0),PB (0,2, 1),(田)解:在MC上取一點(diǎn)N (x, y, z),則存在R,使 NC MC,MC,只需10即x z 0,解得 2要使AN由 AN MC0, BN MC 04AN MC,BN MC.所以 ANB為所求二面角的平面角.2.如圖，在四棱錐V ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD 底面ABCD .(I )證明：AB 平面VAD ;(n )求面VAD與面DB所成的二面角的大小.證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)圖系(I )證明：不防設(shè)作 A(1,0

3、,0),則 B(1,1,0) ,V(-,0,3),2 2由AB VA 0,得AB VA,又AB AD,因而AB與平面VAD內(nèi)兩條相交直線 VA , AD都垂直. AB 平面VAD.(II)解：設(shè)E為DV中點(diǎn)，則E(1,0,立)， 44由 EB DV 0,得EB DV,又EA DV.因此，AEB是所求二面角的平面角，解得所求二面角的大小為 arccos_21. 73 .如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱 PA 底面 ABCD , AB x/3, BC 1 , PA 2 ,E為PD的中點(diǎn).(I )求直線AC與PB所成角的余弦值；(II )在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N ,使NE 面PA

4、C ,并求出點(diǎn)N到AB和AP的距離.解：(I )建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A,B,C,D,P,E 的坐標(biāo)為 A(0,0,0)、B(T3,0,0)、C(73,1,0)、D(0,1,0)、1P(0,0,2)、E(0,-,1), 2從而 AC ( . 3,1,0), PB ( . 3,0, 2).設(shè)AC與麗的夾角為，則 AC與PB所成角的余弦值為 3-. 14(II)由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0, z),則一 1NE ( x,-,1 z),由 NE 面 PAC 可得，NE AP 0,NE AC 0.1(x,-1 z) (0,0,2) 0,z 1 0,即 2化簡(jiǎn)得 1(x,

5、，1 z) ( 3,1,0) 0.3x 2 0.、3x 6z 1即N點(diǎn)的坐標(biāo)為(<3,0,1),從而N點(diǎn)到AB和AP的距離分別為1但 664 .如圖所示的多面體是由底面為 ABCD的長(zhǎng)方體被截面AECiF所截面而得到的，其中AB 4,BC 2,CC1 3,BE 1.(I )求BF的長(zhǎng)；(n)求點(diǎn)c到平面aecf的距離.解：(I)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，A(2,0,0), C(0,4,0), E(2,4,1),C1(0,4,3)設(shè) F(0, AEC1F為平行四邊形，(II )設(shè)n；為平面AECF的法向量，又CC1 (0,0,3)，設(shè)CC1與n1的夾角為，則C到平面AEC1F的距離為5

6、 .如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD A1B1C1D1 ,中，AD AA1 1,AB 2 ,點(diǎn)E在棱AD上移動(dòng).(1) 證明：D1E A1D ;(2)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E至J面ACD1的距離；(3) AE等于何值時(shí)，二面角 D1 EC D的大小為一.4解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA,DC,DD1分別為x, y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE x, 貝U 2(1,0,1),5(001), E(1,x,0), A(1,0,0), C(0,2,0)(1)因?yàn)檎?五 (1,0,1),(1,x, 1) 0,所以DA1 D1E.(2)因?yàn)?E為 AB 的中點(diǎn)，則 E(1,1,0),從而 D1E (1,1,

7、1),AC ( 1,2,0),AD1 ( 1,0,1),設(shè)平面 ACD1 的法向量為 n (a,b,c),則 n AC 0,n AD10,也即a 2b 0,得a 2b,從而n (2,1,2),所以點(diǎn)E到平面ACDi的距離為 a c 0 a c(i,x 2,0),DiC(0,2, i),DDi (0,0,i),nD1C0,2bc由1,nCE0,ab(x02) 0.令b 1,2,a二 n (2 x,1,2).依題意 cos-1n DDi |4|n| | DDi|2(x 2)2 5 xi2 M3 (不合，舍去)，x223 . AE 2遮時(shí)，二面角Di EC D的大小為6 .如圖，在二棱柱4ABC A

8、B1cl 中，AB 側(cè)面 BB1cle,E為棱CCi上異于C,Ci的一點(diǎn),EA EB1 ,已知 AB板,BBi 2, BC i, BCCi ,求:3(I )異面直線AB與EBi的距離;(II )二面角AEBi A的平面角的正切值.(3)設(shè)平面 DiEC的法向量n (a,b,c), CE解：(I)以B為原點(diǎn)，函、BA分別為y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.由于，AB ,2, BBi 2,BC 1, BCCi 一 3在三棱柱ABC AB1cl中有3 1.33B(0,0,0), A(0,0, .2), Bi(0,2,0) , C(一, l,0),Ci(一,一 ,0) 222 2設(shè) E(、3,a,0),由

9、EA EB1，得EA 函 0,即 2又AB 側(cè)面BBiCiC，故AB BE.因此BE是異面直線 AB, EBi的公垂線，則|BE | 3- 1 1 ,故異面直線AB, EBi的距離為1. 4 4(II )由已知有 EA 國(guó)，融山，故二面角 A EBi Ai的平面角 的大小為向量B1A與EA的夾角.7.如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為矩形，PD 底面ABCD , E是AB上1 一點(diǎn)，PF EC.已知 PD V2,CD 2,AE -,2求(I )異面直線PD與EC的距離；(n )二面角E PC D的大小.解：(I)以D為原點(diǎn)，DA > DC、5P分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)

10、系.由已知可得 D(0,0,0), P(0,0, .,2), C(0,2,0)設(shè) A(x,0,0)(x 0),則 B(x,2,0),1 1一 3E(x,-,0), PE (x, , J2),CE(x, ,0).由 PE CE得PE CE 0,2 22即 x2 3 0,故x 3.由 DE CE ( ,-,0) (, -,0) 0#DECE ,422 222又PD DE,故DE是異面直線 PD與CE的公垂線，易得| DE | 1,故異面直線PD, CE的距離為1.(n )作 DG PC ,可設(shè) G(0, y,z).由 DG PC 0 得(0, y, z) (0,2, J2) 0即 z 桓y,故可取 DG (0,172)，作 EF PC于 F ,設(shè) F(0,m,n),則 EF ( * 2,n).,131_由 EF PC 0得( ,m -,n) (0,2, 72) 0,即2m 1 V2n