1、高中一年級知識點一、集合集合與元素(1)集合元素的三個特征：確定性、互異性、無序性(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于關系，用符號或表示(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法、區間法(4)常用數集：自然數集N；正整數集N*(或N)；整數集Z；有理數集Q；實數集R.(5)集合的分類：按集合中元素個數劃分，集合可以分為有限集、無限集、空集集合間的基本關系(1)子集：對任意的xA，都有xB，則AB(或BA)(2)真子集：若AB，且AB，則AB(或BA)(3)空集：空集是任意一個集合的子集，是任何非空集合的真子集即A，B(B)(4)若A含有n個元素，則A的子集有2n個，A的非空子集有2n1個(5)

2、集合相等：若AB，且BA，則AB. 集合的基本運算(1)并集：ABx|xA，或xB(2)交集：ABx|xA，且xB(3)補集：UAx|xU，且xA(4)集合的運算性質ABABA，ABAAB；AAA，A；AAA，AA；AUA，AUAU，U(UA)A.一個性質要注意應用AB、ABA、ABB、UAUB、A(UB)這五個關系式的等價性兩種方法韋恩圖示法和數軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數軸圖示法要特別注意端點是實心還是空心三個防范(1)空集在解題時有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，時刻關注對空集的討論，防止漏解(2)認清集合元素的屬性(是點集、數集或其他情形

3、)(3)在解決含參數的集合問題時，要檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會因為不滿足“互異性”而導致結論錯誤二、簡易邏輯簡單的邏輯聯結詞(1)命題中的“且”“或”“非”叫做邏輯聯結詞(2)簡單復合命題的真值表：pqpqpq¬p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真全稱量詞與存在量詞(1)常見的全稱量詞有：“任意一個”“一切”“每一個”“任給”“所有的”等(2)常見的存在量詞有：“存在一個”“至少有一個”“有些”“有一個”“某個”“有的”等(3)全稱量詞用符號“”表示；存在量詞用符號“”表示全稱命題與特稱命題(1)含有全稱量詞的命題叫全稱命題(2)含有存在量詞的命題叫特稱命題命題的否定

4、(1)全稱命題的否定是特稱命題；特稱命題的否定是全稱命題(2)p或q的否定為：非p且非q；p且q的否定為：非p或非q.一個關系邏輯聯結詞與集合的關系“或、且、非”三個邏輯聯結詞，對應著集合運算中的“并、交、補”，因此，常常借助集合的“并、交、補”的意義來解答由“或、且、非”三個聯結詞構成的命題問題 兩類否定1含有一個量詞的命題的否定(1)全稱命題的否定是特稱命題全稱命題p：xM，p(x)，它的否定¬p：x0M，¬p(x0)(2)特稱命題的否定是全稱命題特稱命題p：x0M，p(x0)，它的否定¬p：xM，¬p(x)2復合命題的否定(1)綈(pq)(

5、2;p)(¬q)；(2)綈(pq)(¬p)(¬q) 三條規律(1)對于“pq”命題：一假則假；(2)對“pq”命題：一真則真；(3)對“¬p”命題：與“p”命題真假相反三、命題命題的概念在數學中用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題四種命題及其關系(1)四種命題命題表述形式原命題若p，則q逆命題若q，則p否命題若綈p，則綈q逆否命題若綈q，則綈p(2)四種命題間的逆否關系(3)四種命題的真假關系兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關系充

6、分條件、必要條件與充要條件(1)如果pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；(2)如果pq，qp，則p是q的充要條件一個區別否命題與命題的否定是兩個不同的概念：否命題是將原命題的條件否定作為條件，將原命題的結論否定作為結論構造的一個新的命題；命題的否定只是否定命題的結論，常用于反證法兩條規律(1)逆命題與否命題互為逆否命題；(2)互為逆否命題的兩個命題同真假三種方法充分條件、必要條件的判斷方法(1)定義法：直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假并注意和圖示相結合，例如“pq”為真，則p是q的充分條件(2)等價法：利用pq與綈q綈p，qp與綈p綈q，pq與綈q綈p的等價關系，對于條件或結論

7、是否定式的命題，一般運用等價法(3)集合法：若AB，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若AB，則A是B的充要條件四、函數函數的定義域、值域在函數yf(x)，xA中，x叫自變量，x的取值范圍A叫做定義域，與x的值對應的y值叫函數值，函數值的集合f(x)|xA叫值域值域是集合B的子集(3)函數的三要素：定義域、值域和對應關系(4)相等函數：如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，則這兩個函數相等；這是判斷兩函數相等的依據函數的三種表示方法表示函數的常用方法有：解析法、列表法、圖象法一個方法求復合函數yf(t)，tq(x)的定義域的方法：若yf(t)的定義域為(a，b)，則解不等式得aq(x)b

8、即可求出yf(q(x)的定義域；若yf(g(x)的定義域為(a，b)，則求出g(x)的值域即為f(t)的定義域兩個防范(1)解決函數問題，必須優先考慮函數的定義域(2)用換元法解題時，應注意換元前后的等價性 三個要素函數的三要素是：定義域、值域和對應關系值域是由函數的定義域和對應關系所確定的兩個函數的定義域和對應關系完全一致時，則認為兩個函數相等函數是特殊的映射，映射f：AB的三要素是兩個集合A、B和對應關系f.函數的單調性(1)單調函數的定義增函數減函數定義一般地，設函數f(x)的定義域為I.如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，

9、那么就說函數f(x)在區間D上是增函數當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數f (x )在區間D上是減函數圖象描述自左向右圖象是上升的自左向右圖象是下降的(2)單調區間的定義若函數f(x)在區間D上是增函數或減函數，則稱函數f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，區間D叫做f(x)的單調區間函數的最值前提設函數yf(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足條件.對于任意xI，都有f(x)M；對于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M存在x0I，使得f(x0)M.結論M為最大值M為最小值一個防范函數的單調性是對某個區間而言的，所以要受到區間的限制例如函數y分別在(，0

10、)，(0，)內都是單調遞減的，但不能說它在整個定義域即(，0)(0，)內單調遞減，只能分開寫，即函數的單調減區間為(，0)和(0，)，不能用“”連接兩種形式設任意x1，x2a，b且x1x2，那么0f(x)在a，b上是增函數；0f(x)在a，b上是減函數(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是增函數；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是減函數兩條結論(1)閉區間上的連續函數一定存在最大值和最小值當函數在閉區間上單調時最值一定在端點取到(2)開區間上的“單峰”函數一定存在最大(小)值四種方法函數單調性的判斷(1)定義法：取值、作差、變形、定號、下結論(2)復合法：同

11、增異減，即內外函數的單調性相同時，為增函數，不同時為減函數(3)導數法：利用導數研究函數的單調性(4)圖象法：利用圖象研究函數的單調性奇、偶函數的概念一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數奇函數的圖象關于原點對稱；偶函數的圖象關于y軸對稱奇、偶函數的性質(1)奇函數在關于原點對稱的區間上的單調性相同，偶函數在關于原點對稱的區間上的單調性相反(2)在公共定義域內兩個奇函數的和是奇函數，兩個奇函數的積是偶函數；兩個偶函數的和、積都是偶函數

12、；一個奇函數，一個偶函數的積是奇函數周期性(1)周期函數：對于函數yf(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數yf(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期一條規律奇、偶函數的定義域關于原點對稱函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要不充分條件兩個性質(1)若奇函數f(x)在x0處有定義，則f(0)0.(2)設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇奇奇，奇×奇偶，偶偶偶，偶

13、15;偶偶，奇×偶奇三種方法判斷函數的奇偶性，一般有三種方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)性質法三條結論(1)若對于R上的任意的x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，則yf(x)的圖象關于直線xa對稱(2)若對于R上的任意x都有f(2ax)f(x)，且f(2bx)f(x)(其中ab)，則：yf(x)是以2(ba)為周期的周期函數(3)若f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)，那么函數f(x)是周期函數，其中一個周期為T2a；(3)若f(xa)f(xb)(ab)，那么函數f(x)是周期函數，其中一個周期為T2|ab|.指數函數的圖象與性質yaxa10a1圖象定義域

14、R值域(0，)性質過定點(0,1)x0時，0y1x0時，y1.在(，)上是減函數當x0時，0y1；當x0時，y1；在(，)上是增函數對數的概念(1)對數的定義如果axN(a0且a1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作xlogaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數(2)幾種常見對數對數形式特點記法 一般對數底數為a(a0且a1)logaN常用對數底數為10lg N自然對數底數為eln_N對數的性質與運算法則(1)對數的性質alogaNN；logaaNN(a0且a1)(2)對數的重要公式換底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1)；logab，推廣logab·logbc·

15、logcdlogad.(3)對數的運算法則如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；log amMnlogaM.對數函數的圖象與性質a10a1圖象性質定義域：(0，)值域：R過點(1,0)當x1時，y0當0x1，y0當x1時，y0當0x1時，y0是(0，)上的增函數是(0，)上的減函數五、向量平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數1，2，使a1e12e2，其中不共線的向量e1，e2叫表示這一平面內所有向量的一組基底平面向量坐標運算(1

16、)向量加法、減法、數乘向量及向量的模設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標的求法若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共線的坐標表示設a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，當且僅當x1y2x2y10時，向量a，b共線一個區別向量坐標與點的坐標的區別：在平面直角坐標系中，以原點為起點的向量a，點A的位置被向量a唯一確定，此時點A的坐標與a的坐標統一為(x，y)，但應注意其表示形式的區別，如點A(x，y)，

17、向量a(x，y)當平面向量平行移動到時，向量不變，即(x，y)，但的起點O1和終點A1的坐標都發生了變化兩個防范(1)要區分點的坐標與向量坐標的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標中既有方向也有大小的信息(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因為x2，y2有可能等于0，所以應表示為x1y2x2y10.兩個向量的夾角已知兩個非零向量a和b(如圖)，作a，b，則AOB(0°180°)叫做向量a與b的夾角，當0°時，a與b同向；當180°時，a與b反向；如果a與b的夾角是90°，我們說a與b垂直，

18、記作ab.兩個向量的數量積的定義已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，則數量|a|b|cos 叫做a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b|a|b|cos ，規定零向量與任一向量的數量積為0，即0·a0.向量數量積的幾何意義數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的數量積向量數量積的性質設a、b都是非零向量，e是單位向量，為a與b(或e)的夾角則(1)e·aa·e|a|cos ；(2)aba·b0；(3)當a與b同向時，a·b|a|·|b|；當a與b反向時，a·b

19、|a|b|，特別的，a·a|a|2或者|a|；(4)cos ；(5)|a·b|a|b|.向量數量積的運算律(1)a·bb·a；(2)a·b(a·b)a·(b)；(3)(ab)·ca·cb·c.平面向量數量積的坐標運算設向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a與b的夾角為，則(1)a·bx1x2y1y2；(2)|a|；(3)cosa，b；(4)aba·b0x1x2y1y20.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，a，則|a|(平面內兩點間的距離公式)六、數列等差數列的定義

20、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示等差數列的通項公式若等差數列an的首項是a1，公差是d，則其通項公式為ana1(n1)d.等差中項如果A，那么A叫做a與b的等差中項等差數列的常用性質(1)通項公式的推廣：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an為等差數列，且mnpq，則amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若an是等差數列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數列(4)數列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差數列(5)S2n1(2n1)an.(6)

21、若n為偶數，則S偶S奇；若n為奇數，則S奇S偶a中(中間項)等差數列的前n項和公式若已知首項a1和末項an，則Sn，或等差數列an的首項是a1，公差是d，則其前n項和公式為Snna1d.等差數列的前n項和公式與函數的關系Snn2n，數列an是等差數列的充要條件是SnAn2Bn(A，B為常數)最值問題在等差數列an中，a10，d0，則Sn存在最大值，若a10，d0，則Sn存在最小值 一個推導利用倒序相加法推導等差數列的前n項和公式：Sna1a2a3an，Snanan1a1，得：Sn. 兩個技巧已知三個或四個數組成等差數列的一類問題，要善于設元(1)若奇數個數成等差數列且和為定值時，可設為，a2d

22、，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶數個數成等差數列且和為定值時，可設為，a3d，ad，ad，a3d，其余各項再依據等差數列的定義進行對稱設元四種方法等差數列的判斷方法(1)定義法：對于n2的任意自然數，驗證anan1為同一常數；(2)等差中項法：驗證2an1anan2(n3，nN*)都成立；(3)通項公式法：驗證anpnq；(4)前n項和公式法：驗證SnAn2Bn.注后兩種方法只能用來判斷是否為等差數列，而不能用來證明等差數列等比數列的定義如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示等比數列的通項公式設

23、等比數列an的首項為a1，公比為q，則它的通項ana1·qn1.等比中項若G2a·b(ab0)，那么G叫做a與b的等比中項等比數列的常用性質(1)通項公式的推廣：anam·qnm，(n，mN)(2)若an為等比數列，且klmn(k，l，m，nN)，則ak·alam·an.(3)若an，bn(項數相同)是等比數列，則an(0)，a，an·bn，仍是等比數列(4)公比不為1的等比數列an的前n項和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數列，其公比為qn.等比數列的前n項和公式等比數列an的公比為q(q0)，其前n項和為Sn，當q

24、1時，Snna1；當q1時，Sn. 一個推導利用錯位相減法推導等比數列的前n項和：Sna1a1qa1q2a1qn1，同乘q得：qSna1qa1q2a1q3a1qn，兩式相減得(1q)Sna1a1qn，Sn(q1) 兩個防范(1)由an1qan，q0并不能立即斷言an為等比數列，還要驗證a10.(2)在運用等比數列的前n項和公式時，必須注意對q1與q1分類討論，防止因忽略q1這一特殊情形導致解題失誤三種方法等比數列的判斷方法有：(1)定義法：若q(q為非零常數)或q(q為非零常數且n2且nN*)，則an是等比數列(2)中項公式法：在數列an中，an0且aan·an2(nN*)，則數列a

25、n是等比數列(3)通項公式法：若數列通項公式可寫成anc·qn(c，q均是不為0的常數，nN*)，則an是等比數列注：前兩種方法也可用來證明一個數列為等比數列數列求和的常用方法公式法直接利用等差數列、等比數列的前n項和公式求和(1)等差數列的前n項和公式：Snna1d；(2)等比數列的前n項和公式：Sn倒序相加法如果一個數列an的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數列的前n項和公式即是用此法推導的錯位相減法如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和即可用此法來求，如

26、等比數列的前n項和公式就是用此法推導的裂項相消法把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和分組轉化求和法一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和而后相加減并項求和法一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.一種思路一般數列求和，應從通項入手，若無通項，先求通項，然后通過對通項變形，轉化為與特殊數列有關或具備某種方法適用特點的形式，從而選擇合適的方法求和兩個提醒

27、在利用裂項相消法求和時應注意：(1)在把通項裂開后，是否恰好等于相應的兩項之差；(2)在正負項抵消后，是否只剩下了第一項和最后一項，或有時前面剩下兩項，后面也剩下兩項三個公式(1)；(2)；(3).三角函數同角三角函數的基本關系(1)平方關系：sin2cos21；(2)商數關系：tan .誘導公式公式一：sin(2k)sin ，cos(2k)cos_，其中kZ.公式二：sin()sin_，cos()cos_，tan()tan .公式三：sin()sin_，cos()cos_.公式四：sin()sin ，cos()cos_.公式五：sincos_，cossin .公式六：sincos_，coss

28、in_.一個口訣誘導公式的記憶口訣為：奇變偶不變，符號看象限三種方法在求值與化簡時，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan 化成正、余弦(2)和積轉換法：利用(sin ±cos )21±2sin cos 的關系進行變形、轉化(3)巧用“1”的變換：1sin2cos2cos2(1tan2)tan.三個防范(1)利用誘導公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角的三角函數為銳角三角函數，其步驟：去負脫周化銳特別注意函數名稱和符號的確定(2)在利用同角三角函數的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)C()：cos()cos_cos_si

29、n_sin_；(2)C()：cos()cos_cos_sin_sin_；(3)S()：sin()sin_cos_cos_sin_；(4)S()：sin()sin_cos_cos_sin_；(5)T()：tan()；(6)T()：tan().二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2：sin 22sin_cos_；(2)C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)T2：tan 2.有關公式的逆用、變形等(1)tan ±tan tan(±)(1tan_tan_)；(2)cos2，sin2；(3)1sin 2(sin cos )2,1sin 2(sin cos )2，sin ±cos sin.（*）輔助角公式函數f()acos bsin (a，b為常數)，可以化為f()sin()或f()cos()，其中可由a，b的值唯一確定兩個技巧(1)拆角、拼角技巧：2()()；()；.(2)化簡技巧：切化弦、“1”的代換等正弦定理：2R，其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形為：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，以解決不同的三角形問題余弦定理：a2b2c22bccos_A，