1、第2講 平面向量基本定理及其坐標表示【2013年高考會這樣考】1. 考查平面向量基本定理的應用.2. 考查坐標表示下向量共線條件.【復習指導】 本講復習時，應理解基本定理，重點運用向量的坐標進行加、減、數乘的運算以 及向量共線的運算.* J KAOJIZIZHUDAOXUE 0i 考基自主導學基礎梳理1.平面向量基本定理如果ei, e2是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任意向量 a， 有且只有一對實數 入，？2，使a=?iei +力矽，其中不共線的向量ei, e2叫表示這平面內所有向量的一組基底.2.平面向量坐標運算向量加法、減法、數乘向量及向量的模設 a= （xi，yi），b

2、= （X2，y2），貝Ua+ b= (xi+X2，yi+ y2), a b= (xi xg, y一y), ；a=(入 x,入y, |a|=x2 + yi.（2）向量坐標的求法若向量的起點是坐標原點，貝U終點坐標即為向量的坐標.設 A(xi, yi), B(x2, y2)，則AB= (x2 xi，yg y_ij, AB| = Q(X2xi)2 +(y2yi)2.3. 平面向量共線的坐標表示設 a= （xi，yi），b= （X2，y2），其中0，當且僅當xiy? X2yi= 0 時，向量a，b共線.一個區別 向量坐標與點的坐標的區別: 在平面直角坐標系中，以原點為起點的向量a，點A的位置被向量a唯

3、一確 定，此時點A的坐標與a的坐標統一為（X, y）,但應注意其表示形式的區別，如點 A(x, y),向量 a= OA= (x, y).當平面向量OA平行移動到OlAi時，向量不變，即C)iAi= OA= (x, y)，但OlAi的起點Ci和終點Ai的坐標都發生了變化.兩個防范(1)要區分點的坐標與向量坐標的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標中既有方向也有大小的信息.xiyi若a= (xi, yi), b=(X2, y2),貝U a/ b的充要條件不能表示成 玄=京，因為 沁,y2有可能等于0，所以應表示為xiy2 X2yi = 0.雙基自測i.(人教A版教材習題改編)已

4、知ai + a2 + an = 0,且an= (3,4)，則ai + a2+ an-1的坐標為().A. (4,3)B. ( 4, 3)C. ( 3, 4)D. ( 3,4)解析 ai+a2+ ani = an= ( 3, 4).答案 C2.若向量 a= (i,i), b= ( i,i), c= (4,2),貝U c=().A. 3a + b B. 3a b C. a + 3bD. a+ 3b解析 設 c= xa+yb,則 |x 'jx+ y= 2,3,ly= i.： c= 3a b.答案 B3 . (20i2鄭州月考)設向量a= (m,i), 則m的值為().b= (i, m),如果

5、a與b共線且方向相反,C. 2解析 設a= to( ?<0)，即m=入且i 解得m= ±，由于/<0, m= i.答案 A4 .設向量a= (i， 3), b= (2,4)，若表示向量4a、3b 2a、c的有向線段首 尾相接能構成三角形，則向量c=().解析設c=（X, y）.x= 4, y= 6.則 4a+ (3b 2a) + c= 0,4 6 2 + x= 0,12+12 + 6 + y= 0,答案 C 5已知向量 a= (2, 1),b= ( 1,m),c= ( 1,2),若(a+ b)/ c,則 解析 a+ b= (1, m 1) . (a+ b) / c,-2

6、( 1)(m 1) = 0,. m = 1.答案 1UDAOKI M力考向探究導析考向一 平面向量基本定理的應用【例11 ?（2012南京質檢）如圖所示，在 ABC中，H為BC上異于B, C的任點，M為AH的中點，若Am = :AB+ pAC,貝U入+尸審題視點由B, H , C三點共線可用向量AB,AC來表示AH.解析 由B, H , C三點共線，可令AH = xAB+ （1 x）AC,又M是AH的中點,所以AM = 2Ah = xAb +答案1方法總結*應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算，共線向量定理的應用起著至關重要的作 用.當基

7、底確定后，任一向量的表示都是唯一的.【訓練11如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起.若 AD = xAB+ yAC,則x=(1 x)Ac, 又Am = :AB+ 朮.所以 入+ 尸*+ (1 x)D解析 以AB所在直線為x軸，以A為原點建立平面直角坐標系如圖,令AB = 2,則AB= (2,0), AC= (0,2),過D作DF丄AB交AB的延長線于F，由已知得 DF = BF=/3，貝UAD= (2 + 羽， 羽). AD= xAb+ yAC,A (2+J3, yj3)= (2x,2y).Vs2+你 2x,x= 1+ 2，即有廠解得廠b/3 = 2y,I心另解：AD=Af + FD =1

8、+ 爭JAB+禁C,y書ly 2 .所以x= 1 + ¥答案1+爭爭考向二平面向量的坐標運算【例 2】?(2011 合肥模擬)已知 A(-2,4), B(3, 1), C(-3, 4),且CM = 3cA,CN = 2CB.求M, N的坐標和MN.審題視點求Ca, CB的坐標，根據已知條件列方程組求M , N.解 A(- 2,4), B(3,- 1), C(-3,- 4), Ca= (1,8), Cb= (6,3). CMi = 3CA= 3(1,8)= (3,24), CN= 2CB = 2(6,3)= (12,6).設 M(x, y),則 cM = (x+ 3, y+ 4).嚴

9、3 = 3，得產 0， M(0,20). y+ 4 = 24,ly= 20.同理可得 N(9,2),. MN = (9 0,2 20)= (9, 18).肓法總結曲利用向量的坐標運算解題，主要就是根據相等的向量坐標相同這一原則，通過列方程(組)進行求解；在將向量用坐標表示時，要看準向量的起點和終 點坐標，也就是要注意向量的方向，不要寫錯坐標.【訓練2】在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若AB= (2,4), AC= (1,3)，則 bD=().A. ( 2， 4)B. ( 3， 5)D. (2,4)C. (3,5)解析 由題意得 Bd = Ad AB = BC AB= (ACAB) A

10、B=AC2AB=(1,3) 2(2,4)= ( 3， 5).答案 B考向三 平面向量共線的坐標運算【例3】？已知a= (1,2)，b= ( 3,2)，是否存在實數k，使得ka+ b與a 3b共線,且方向相反?審題視點根據共線條件求k,然后判斷方向.解 若存在實數 k,貝U ka+ b= k(1,2)+ ( 3,2) = (k 3, 2k+ 2), a 3b= (1,2) 3( 3,2) = (10， 4).若這兩個向量共線，則必有(k 3)X ( 4) (2k + 2) X 10= 0.解得k= 1.這時ka+ b=(罟，3)1所以 ka+ b= 3(a 3b).即兩個向量恰好方向相反, 故題

11、設的實數k存在.育法總結向量共線問題中，一般是根據其中的一些關系求解參數值，如果向量是用坐標表示的，就可以使用兩個向量共線的充要條件的坐標表示列出方程，根據 方程求解其中的參數值.【訓練3】（2011西安質檢）已知向量a= （1,2）, b= （2, 3）,若向量c滿足（c+a) / b, c丄(a+b),貝U c=().A-&C-d，B.(- 7,解析設 c= (m, n),D(- 9,則 a+ c= (1 + m2+ n), a+ b= (3, 1).(c+ a) / b,.°. 3 X (1 + m) = 2 x (2 + n),又 cX (a+ b), 3m n =

12、0,解得 m= 7, n= 7.答案 Dam KAOTJZHUANXIAWeTU'P?03浄考題專項突破閱卷報告5平面幾何知識應用不熟練致誤【問題診斷】 在平面幾何圖形中設置向量問題，是高考命題向量試題的常見形 式，求解這類問題的常規思路是：首先選擇一組基向量，把所有需要的向量都用 基向量表示，然后再進行求解.【防范措施】 一是會利用平行四邊形法則和三角形法則；二是弄清平面圖形中 的特殊點、線段等.【示例】?（2011湖南）在邊長為1的正三角形 ABC中，設BC誤.=2BD, CA=3CE,則AD be=錯因搞錯向量的夾角或計算錯實錄2（填錯的結論多種）.正解由題意畫出圖形如圖所示,取一組基底AB, AC,結合圖形可得 AD =；（AB+ AC), Be=AE-AB= 2aCAb,a Ad Be= 2(AB+ Ac) Ac- AB卜 AC22A<b26ab Ac=31geos 60 = 4.1答案4【試一試】（2011天津）已知直角梯形 ABCD中，AD / BC,/ ADC= 90° AD= 2,BC= 1,P是腰DC上的動點，則|PA+ 3PB|的最小值為